概率论与数理统计期末考试卷附答案2

概率论与数理统计期末考试卷

课程名称：概率论与数理统计考试时间

专业班学号姓名

题号—三四五总得分

得分

评卷人复核人

一、填空题（每格3分，共18分）

1.设，相互独立，则（1）至少出现一个的概率为（2）恰好出现一个的概率

为…一。

2.设，，，则

3.设是相互独立二、单项选择题（每小题2分，共10分）

的两个随机变量,

它们的分布函数分

别为，则的分

布函数

是。

4.若随机变量

服从正态分布，

是来自的一个

样本，令，则

服从分

布。

5.若对任意给定的

、随机变量的条

件概率密度..则

关于的回归函

数……

得分

1.设函数在区间上等于，而在此区间外等于0,若可以做为某连续型随机

变量的密度函数，则区间为...)o

(A)[0,；(B)[0,乃]；

7F

(O(D)[0,y]。

2.假设随机变量的概率密度为，即，期望与方差都存在，样本取自

是样本均值，则有...)

(A)x~f(x)；(B)minXi-f(x)：

(D)肉/2「一/〃)~日/(七)。

(C)maxXj〜/(x)；

1<:<H

»=i

3.总体，已知，...)时，才能使总体均值的置信度为的置信区间长不

大于。()

(A)15cr2/L2；(B)15.3664cr2/L2；

(C)16cr2/L2；(D)16o

4.对回归方程的显著性的检验，通常采用3种方法，即相关系数检验法，检验法

和检验法，下列说法正确的...)。

(A)尸检验法最有效；

(B)，检验法最有效；

(03种方法是相通的，检验效果是相同的；

(D)检脸法和检验法，可以代替相关系数的检验法。

5.设来自正态总体的样本（已知），令，并且满足（），则在检验水

平下，检验时，第一类和第二类错误的概率分别是（）和（）.

（A）P{|U|<U当"o成立}；

P[\U\<U‘I当”0不成立｝;

P[\U\>U°I当Ho成立｝;

1---

P(\u\>u当"0不成立｝。

I---

三、计算题（每小题10分，共20分）

1.设有甲、乙、丙三门炮，同时独立地向某目标射击命中率分别处为020.3.0.5,目标被

命中一发而被击毁的概率为02被命中两发而被击毁的概率为06被命中三发而被击毁

的概率为0.9,求：

（1）三门火炮在一次射击中击毁目标的概率；

（2）在目标被击毁的条件下，只由甲火炮击中的概率。

解：设事件分别表示甲、乙、丙三门炮击中目标，表示目标被击毁，表示有门炮

同时击中目标（），由题设知事件相互独立，故

P(H1)=P(ABCuABCuABC)

=P(ABC)+P(4BC)+P(ABC)

=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)

=0.47

P(772)=0.22,P(”3)=O.O3

(1)由全概率公式，得

P(O)=ZP(，,)P(Q|"J

=0.47X0.2+0.22X0.6+0.03x0.9=0.253

（2）由贝叶斯公式，得

P(ABCD)P(ABC)P(D\ABC)

P(ABC|D)=

P(D)P(D)

0.2x0.7x0.5x0.2

=0.0554

0.253

2.随机变量在区间上服从均匀分布，随机变量

V_J-1若U“1y=jT若UR

"[1若u>--[o若U>1°

试求：（1）和的联合概率分布；（2）；（3）的概率分布。

解：(1)因随机变量在区间上服从均匀分布，故

p(x=一1,y=-1)=P(U<-1,[/<!)=P(U<-1)=J：%=；；

p(x=—i,y=o)=p(u<-1,f7>n)=P0)=o；

p(x=1,y=-I)=p(u>-\,U<1)=P(-l<17<1)=['-dx=-

42

p(x=i,y=o)=p(u〉>i)=p(u〉i)=

故和的联合概率分布如下：

故，

131

E(X+D=£(X)+E(y)

（3）z=x?+y2的概率分布为

Z=X12+Y212

P1/43/4

得分四、计算题（每小题10分，共20分）

1.设随

机变量具有概率密度函数

Ax八

（、一70<X<7T

/c*）=</,

0其他

试求（1）常数A；（2）y=sinX的概率密度函数：（3）P（|sinX|<l/2）o

解：（1）由得

,得；

（2）由于在内取值，的取值区间为，故的可能取值区间外,

故

{/<y}={0<X<arcsiny}u{乃一arcsiny<X<TT]

FY(y)=P{Y<y}=(x)公+仁i/3公

farcsiny2xt产

=I­彳dx+I

JO万/J/7-arcsiny

在上式两端对求导，得

1122-1

(3)P(|sinX|<-)=«：-.........jy=一arcsin)喝=-

2°p2j-),2p3

2.设二维随机变量的联合分布密度为

[24(1-x)y0<x<l,0<y<x

Pg')=[o其它

(1)求随机变量x与y的边际分布；

(2)若x,y分别为一矩形木板的长与宽，求木板面积的数学期望；

(3)求条件分布密度〃HXGIx=')。

2

解：(1)

〃")')=匚〃(X，y)公=[24(1-x)必=12)，(y-2)o<y<1

(2)E(XY)=jjxyp(x,y)dxdyO={(x,y)10«xK1,0Ky«x}

24孙(1一x)ydy

4

=T5

(3)当时，

当时，

得分五、计算题(每小题10分，共20分)

_______(1)1

.设总体的分布律为，其中为未知参数，是来自总体的样本，试求：

(2)参数〃的矩估计量；(2)参数〃的极大似然估计量(只需列出方程)。

2.假设随机变量服从正态分布，是来自的10个观察值，要在的水平下检验

〃o=-0,〃]:“0

取拒绝域为R={|元色C}。

(1)求C=?；

(2)若已知M=1,是否可以据此样本推断//=0(a=0.05)；

(3)如果以R={|M|21.15}作为该检验H0:〃=0的拒绝或，试求检验的显著水平a.

其中，，。

解：⑴；

选择统计量U=三二展回天

//yjn

当时，

对于，查表知

因此拒绝域R={|U|21.96}={VlOx>1.96}={|x|>0,62}

即C=0.62

(2)对于，即，因此不能据此样本推断；

(3)P[\x|>1.15}=P{\VlOx|>1.15V10)

=l-P{h^0x|<1,15Vi())