高中数学平面向量知识点总结及常见题型

1、1 平面向量一. 向量的基本概念与基本运算1向量的概念：向量： 既有大小又有方向的量向量一般用cba,来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：ABuuu r几何表示法ABuuu r，a；坐标表示法),(yxyjxia向量的大小即向量的模（长度），记作 |ABuuu r| 即向量的大小，记作a向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小零向量： 长度为 0 的向量， 记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行零向量a0a 0由于0r的方向是任意的，且规定0r平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件（注意与0 的区别）单位向量：模为 1 个单位长度

2、的向量向量0a为单位向量0a 1平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上 方向相同或相反的向量，称为平行向量记作ab由于向量可以进行任意的平移( 即自由向量 )，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为ba大小相等，方向相同),(),(2211yxyx2121yyxx2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设,ABa BCbuuu ru uu rrr，则a+br=ABBCuuu ruuu r=ACuuu r（1）aaa00； （2）向量加法满足交换律与结合律；向量加

3、法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：2 ABBCCDPQQRARu uu ruuu ruuu ru uu ru uu ru uu rL，但这时必须“首尾相连”3向量的减法 相反向量

4、： 与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量记作a, 零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有：（i ）)( a=a； (ii) a+(a)=(a)+a=0；(iii)若a、b是互为相反向量，则a=b,b=a,a+b=0向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作：)( baba求两个向量差的运算，叫做向量的减法作图法：ba可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点）4实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度与方向规定如下：（）aa；（）当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，0a，方向是任意的数乘向量满足交换律、

5、结合律与分配律5两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b= a6平面向量的基本定理：如果21,ee是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,使：2211eea，其中不共线的向量21,ee叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7 特别注意 : （1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关3 二. 平面向量的坐标

6、表示1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量,ijr r作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量ar可表示成axiyjrrr，由于ar与数对 (x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量ar的坐标，记作ar=(x,y)，其中 x 叫作ar在 x 轴上的坐标， y叫做在 y 轴上的坐标(1) 相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2) 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关2平面向量的坐标运算：(1) 若1122,ax ybxyrr，则1212,abxxyyrr(2) 若2211,yxBy

7、xA，则2121,ABxx yyuuu r(3) 若ar=(x,y)，则ar=(x, y) (4) 若1122,ax ybxyrr，则1221/0abx yx yrr(5) 若1122,ax ybxyrr，则1212a bxxyyrr若abrr，则02121yyxx3向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1 平行四边形法则2 三角形法则1212(,)a bx x y yrrabba)()(cbacbaABBCACu u u ruuu ruu u r向量的减法三角形法则1212(,)a bx x y yrr)

8、( babaABBAu uu ruu u rOB OAABu u u ruuu ruuu r4 向量的乘法a是一个向量 , 满足 : 0 时 ,a与a同向 ; 0 时 ,a与a异向 ; =0 时, a=0),(yxaaa)()(aaa)(baba)(abab向量的数量积ba ?是一个数0a或0b时, ba?=0 0a且0b时, ?bababa,cos|1 21 2a bxxy y?rrabba?)()()(bababa?cbcacba?)(22| aa,22|yxa|baba ?三平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量ar与br，它们的夹角为，则arbr=arbrcos叫做ar与

9、br的数量积（或内积）规定00arr2向量的投影：brcos=|a barrrR，称为向量br在ar方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义：arbr等于ar的长度与br在ar方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：22|a aaarrrr5乘法公式成立：2222ababababrrrrrrrr；2222abaa bbrrrrrr222aa bbrrrr6平面向量数量积的运算律：5 交换律成立：a bb arrrr对实数的结合律成立：aba babRrrrrrr分配律成立：abca cb crrrrr rrcabrrr特别注意：（ 1）结合律不成立：ab ca bcrrrrrr；（

10、2）消去律不成立a ba crrr r不能得到bcrr（3）a brr=0不能得到ar=0r或br=0r7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)ax ybxyrr，则arbr=1212x xy y8 向量的夹角：已 知 两 个 非 零 向 量ar与br， 作OAu uu r=ar, OBuuu r=br, 则 AOB=（001800）叫做向量ar与br的夹角cos=cos,aba bab?rrrrrr=222221212121yxyxyyxx当且仅当两个非零向量ar与br同方向时， =00， 当且仅当ar与br反方向时 =1800， 同时0r与其它任何非零向量之间不谈夹

11、角这一问题9垂直：如果ar与br的夹角为900则称ar与br垂直，记作arbr10两个非零向量垂直的充要条件：ababO02121yyxx平面向量数量积的性质题型 1. 基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量. （2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点. （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的. （4）四边形ABCD是平行四边形的条件是ABCDuu u ruu u r. （5）若ABCDu uu ruu u r，则 A、B、C、D四点构成平行四边形. （6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量. （7）若ar与br共线，br与cr共线，则ar与cr共线 . （8）若

12、mambrr，则abrr. 6 （9）若manarr，则mn. （10）若ar与br不共线，则ar与br都不是零向量. （11）若| |a babr rrr，则/ /abrr. （12）若| |ababrrrr，则abrr. 题型 2. 向量的加减运算1. 设ar表示“向东走8km”, br表示“向北走6km”, 则|abrr . 2. 化简()()ABMBBOBCOMuuu ruu u ruu u ruuu ru uuu r . 3. 已知| 5OAuu u r,| 3OBuuu r, 则|ABuuu r的最大值和最小值分别为、 . 4. 已知ACABADuuu ru uu ru uu r为

13、与的和向量，且,ACa BDbu uu rr uuu rr，则ABuuu r，ADuu u r . 5. 已知点 C在线段 AB上，且35ACABuuu ru uu r, 则ACu uu rBCuuu r，ABuuu rBCuuu r. 题型 3. 向量的数乘运算1. 计算：（1）3()2()ababrrrr（2）2(253 )3( 232 )abcabcrrrrrr2. 已知(1, 4),( 3,8)abrr，则132abrr . 题型 4. 作图法球向量的和已知向量,a br r，如下图，请做出向量132abrr和322abrr. arbr题型 5. 根据图形由已知向量求未知向量1. 已知

14、在ABC中，D是BC的中点，请用向量AB ACuu u r uuu r，表示ADuuu r. 2. 在平行四边形ABCD中，已知,ACa BDbuuu ruu u rrr，求ABADuuu ru uu r和. 题型 6. 向量的坐标运算1. 已知(4,5)ABu uu r，(2,3)A，则点B的坐标是 . 2. 已知( 3, 5)PQu uu r，(3,7)P，则点Q的坐标是 . 3. 若物体受三个力1(1,2)Fr,2( 2,3)Fr,3( 1, 4)Fr, 则合力的坐标为 . 7 4. 已知( 3,4)ar，(5,2)br，求abrr，abrr，32abrr. 5. 已知(1,2),(3,

15、2)AB, 向量(2,32)axxyr与ABuuu r相等，求, x y的值 . 6. 已知(2,3)ABu uu r，(, )BCm nuuu r，( 1,4)CDu uu r，则DAu uu r . 7. 已知O是坐标原点，(2, 1),( 4,8)AB，且30ABBCu u u ruuu rr，求OCuuu r的坐标 . 题型 7. 判断两个向量能否作为一组基底1. 已知12,e eu r u u r是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：A.1212eeeeu ru u ru ru u r和 B.1221326eeeeu ru u ru u ru r和4 C.12213

16、3eeeeu ru u ru u ru r和 D.221eeeu u ru u ru r和2. 已知(3,4)ar，能与ar构成基底的是（）A.3 4(,)5 5 B.4 3(,)5 5 C.34(,)55 D.4( 1,)3题型 8. 结合三角函数求向量坐标1. 已知O是坐标原点，点A在第二象限，| 2OAu uu r，150 xOAo，求OAu uu r的坐标 . 2. 已知O是原点，点A在第一象限，| 4 3OAuuu r，60 xOAo，求OAuu u r的坐标 . 题型 9. 求数量积1. 已知|3,| 4abrr，且ar与br的夹角为60o，求（ 1）a brr， （2）()aab

17、rrr，（3）1()2abbrrr， （4）(2) (3 )ababrrrr. 2. 已知(2, 6),( 8,10)abrr，求（ 1）|,|abrr， （2）a brr， （3）(2)aabrrr，（4）(2) (3 )ababrrrr. 题型 10. 求向量的夹角8 1. 已知|8,| 3abrr，12a brr，求ar与br的夹角 . 2. 已知(3,1),( 2 3,2)abrr，求ar与br的夹角 . 3. 已知(1,0)A，(0,1)B，(2,5)C，求cosBAC. 题型 11. 求向量的模1. 已知|3,| 4abrr，且ar与br的夹角为60o，求（ 1）|abrr， （2

18、）| 23 |abrr. 2. 已知(2, 6),( 8,10)abrr，求（ 1）|,|abrr， （5）|abrr， （6）1|2abrr. 3. 已知| 1 |2abrr，| 32| 3abrr，求| 3|abrr. 题型 12. 求单位向量【与ar平行的单位向量：|aearrr】1. 与(12,5)ar平行的单位向量是 . 2. 与1( 1, )2mr平行的单位向量是 . 题型 13. 向量的平行与垂直1. 已知(6,2)ar，( 3,)bmr，当m为何值时，（1）/ /abrr？（ 2）abrr？2. 已知(1,2)ar，( 3,2)br， （1）k为何值时，向量kabrr与3abr

19、r垂直？（2）k为何值时，向量kabrr与3abrr平行？3. 已知ar是非零向量，a ba crrr r，且bcrr，求证：()abcrrr. 题型 14. 三点共线问题1. 已知(0,2)A，(2,2)B，(3,4)C，求证：,A B C三点共线 . 9 2. 设2(5 ),28 ,3()2ABabBCab CDabuuu rrruuu rrr uuu rrr，求证：ABD、 、三点共线 . 3. 已知2 ,56 ,72ABab BCab CDabu uu rrr u uu rrr uuu rrr，则一定共线的三点是 . 4. 已知(1, 3)A，(8,1)B，若点(21,2)Caa在直线

20、AB上，求a的值 . 5. 已 知 四 个 点 的 坐 标(0,0)O，(3,4)A，( 1,2)B，(1,1)C， 是 否 存 在 常 数t， 使OAtOBOCu u u ruuu ruuu r成立？题型 15. 判断多边形的形状1. 若3ABeu uu rr，5CDeuuu rr，且| |ADBCu uu ruuu r, 则四边形的形状是 . 2. 已知(1,0)A，(4,3)B，(2,4)C，(0, 2)D，证明四边形ABCD是梯形 . 3. 已知( 2,1)A，(6,3)B，(0,5)C，求证：ABC是直角三角形. 4. 在平面直角坐标系内，( 1,8),( 4,1),(1,3)OAO

21、BOCuuu ru uu ruu u r, 求证：ABC是等腰直角三角形 . 题型 16. 平面向量的综合应用1. 已知(1,0)ar，(2,1)br，当k为何值时，向量kabrr与3abrr平行？2. 已知( 3,5)ar，且abrr，| 2br，求br的坐标 . 3. 已知abrr与同向，(1,2)br，则10a br r，求ar的坐标 . 3. 已知(1,2)ar，(3,1)br，(5,4)cr，则crarbr. 10 4. 已知(5,10)ar，( 3, 4)br，(5,0)cr，请将用向量,a brr表示向量cr. 5. 已知(,3)amr，(2,1)br， （1）若ar与br的夹角为钝角，求m的范围；（2）若ar与br的夹角为锐角，求m的范围 . 6. 已知(6,2)ar，( 3,)bmr，当m为何值时，（1）ar与br的夹角为钝角？（2）ar与br的夹角为锐角？7. 已知梯形ABCD的顶点坐标分别为( 1,2)A，(3,4)B，(2,1)D，且/ /ABDC，2ABCD，求点C的坐标 . 8. 已知平行四边形ABCD的三