初二数学因式分解

1、初二数学：因式分解（一）因式分解提公因式法（一）、内容提要多项式因式分解是代数式中的重要内容，它与第一章整式和后一章分式联系极为亲密；因式分解是在学习有理数和整式四就运算的基础上进行的，它为今后学习分式运算、解方程和方程组及代数式和三角函数式的恒等变形供应必要的基础；因式分解的概念是把一个多项式化成n 个整式的积的形式，它是整式乘法运算的逆过程，而提公因式法是因式分解的最基本的也是最常见的方法；它的理论依据就是乘法的安排律；运用这个方法， 第一要对欲分解的多项式进行考察，提出字母系数的公因数以及公有字母或公共因式中的最高公因式； 学问要点 ：1明白因式分解的意义和要求2懂得公因式的概念3把握提

2、公因式的概念，并且能够运用提公因式法分解因式（二）、例题分析例 1以下从左到右的变形，属于因式分解的有（）21.x+1x-2=x-x-22.ax-ay-a=ax-y-a2 32323.6xy =2x · 3y3224.x-4=x+2x-25.9a-6a +3a=3a3a-2aa、0 个b、1 个c、2 个d、3 个分析： 从左到右，式1 是整式乘法； 式 2 右端不是积的形式；式 3 中左右两边的均是单项式，原先就是乘积形式，我们说的因式分解， 指的是将多项式分解成n 个整式的乘积形式；式 5 的右边括号内漏掉了“1”这项；只有式4 是正确的；（答案）解：b2 33 22例 2把 -

3、3a b +6a b c+3a b 分解因式2分析：假如多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“- ”号，使括号内的第一项的系数是正的；此题各项系数的最大公约数是3，相同字母的最低次项是a b.2 33 222 33 2222解： -3ab +6a b c+3a b=-3ab -6a b c-3a b=-3abb -2abc-1评注：当公因式和原多项式中某项相同时提公因式后，该项应为1 或-1 ，而不是零； 122作为项的系数通常可以省略，但假如单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉，为防止错误，可利用因式分解是乘法运算的逆过程的原理来检查；例如，观看-3abb-2abc-1是否等于2 33 2

4、2-3ab +6a b c+3ab，从而检查分解是否正确以及丢项漏项；22例 3分解因式3a b2x-y-6aby-2x分析：由于y-2x=-2x-y,就是说 y-2x与 2x-y 实质上是相同因式，因此此题的公因式是 3ab2x-y.2解： 3a b2x-y-6ab2y-2x22=3a b2x-y+6ab2x-y=3ab2x-ya+2b评注： 此题的公因式是多项式，此类型题只要把2x-y看作一个整体即可；另外，留意因式分解的结果，单项式写在多项式的前面；例 4分解因式： 2aa-b3-a 2a-b2+abb-a22222分析：要找出这三个项的公因式；由于b-a=-a-b=a-b，因此 a-b

5、式，分解结果有相同的因式要写成幂的形式；就是公因解： 2aa-b=2aa-b-a a-b3322-a a-b+abb-a2222+aba-b=aa-b22a-b-a+b2=aa-ba-b3=aa-b.评注： 多项式中的公因式，有些比较简洁，有些就比较复杂，需要进行些运算才能发觉公因式，但不能生搬硬套；记住下面结论是有益的；当 n 为奇数时， x-yn=-y-xn;nn当 n 为偶数时， x-y=y-x.23例 5不解方程组求 7yx-3y-23y-x的值；23分析：先把7yx-3y-23y-x进行因式分解，再将2x+y=6 和 x-3y=1 整体代入；解： 7yx-3y=7yx-3y23-23

6、y-x23+2x-3y2=x-3y7y+2x-3y=x-3y22x+y2原式 =1 × 6=6评注：先化简再求值以及整体代入的思想在求值问题中常常运用；200019991998例 6求证： 3-4 × 320001999+10×31998能被 7 整除；分析：先把3-4 × 3+10× 3200019991998因式分解证明： 3-4 × 3+10× 319982=3×3 -4 × 3+101998=7 × 31998 32000-4 × 31999+10× 3能被 7 整除

7、；（三）、练习一、挑选题：2232（ 1）在以下四个式子中，从等号左边到右边的变形是因式分解的是（）a 、-5xy =-5xyxyb、x -4-3x=x+2x-2-3xc 、ab2-2ab=abb-2d 、x-3x+3=x2-933（ 2） 49a bc+14a b c-21abc 在分解因式时，应提取的公因式是（）2222222 22 2 233a 、7abcb 、7ab cc、7a b cd、7a bc（ 3）把多项式3mx-y-2y-x2 分解因式的结果是（）a 、 x-y3m-2x-2yb 、 x-y3m-2x+2yc 、 x-y3m+2x-2yd 、y-x2x-2y+3m（ 4）在以

8、下各式中： a-b=b-a;22 a-b=b-a; a-b2=-b-a2; a-b a-b=b-a33;33=-b-a; a+ba-b=-a+b-a-b正确的等式有（）a 、1 个b 、 2 个c、3 个d、4 个3（ 5）在分解 -5x3a-2b+2b-3a时，提出公因式-3a-2b后，另一个因式是（）2333322a 、5xb 、5x +1c、5x -1d 、-5x（ 6）以下各组代数式中没有公因式的是（）2222a 、 5ma-b 与 b-ab 、a+b与-a-bc、mx+y 与 x+yd、-a+ab 与 a b-ab（ 7）以下各题因式分解正确选项（）23 2322a 、3x -5xy

9、+x=x3x-5yb、4xy -6xy z=-2xy2x -yz+3322222c、3aba-b-6aa-b=3a-bab-2ad、-56xyz+14xy z-21xyz =-7xyz8x-2xy+3yz1999（ 8）把 -21999+-22000分解因式后是（）1999a 、2b 、-2c 、 -2d 、 -1n+2（ 9）把 3a+15an-1-45a分解因式是（）-1a、3an+2n-13a+5a-15annnab、3a a2-13+5a-15c、3an-1+5-15ad 、 3an-1+5-15a 答案 :1.c2.a3. b4. c5.c6.c7.d8.a9.d二、填空题：2 2

10、3231单项式 -4a b c ， 12ab c, 8ab33的公因式是 ；2多项式9x y-36xy+3xy 提取公因式 后，另一个因式是 ；2nn3多项式8x-4x提取公因式后，括号内的代数式是 ；24分解因式：xm-na-b-yn-mb-a= . 5分解因式：xx+yx-y-xy+x= .6 2yx-2-x+2分解因式 ； 答案 ：1. 4ab 22. 3xy, 3x2-12y 2+13. 2xn-14. m-na-bx-y5. -2xyx+y6. x-22y-1三、解答题：1把以下各多项式分解因式52 32(1) ab-a b +a b2 -7x2y-14xy 2+49x2y 2223

11、 x+ya2+a+1-x-ya2+a+1234 18xx-2y-24xy2y-x-12x2y-x5 xx+y-z+yx+y-z+zz-x-y226 y2x-y-2xy-2x2运算以下各式1 7.6× 200.1+4.3 × 200.1-1.9× 200.11192 10-5 × 103先化简，再求值；43342(1) 已知 2x-y=, xy=2,求 2x y -x y 的值；2(2) 已知 4x+7x+2=4, 求-12x-21x 的值；-74求证以下各题20001 证明 7-719991998能被 41 整除(2) 求证：奇数的平方减去1 能被 8

12、整除(3) 求证：连续两个整数的积，再加上较大的整数其和等于较大整数的平方； 答案 ：23211aba-b +12-7xyx+2y-7xy 32ya2+a+12246x2y-x5x-8y 5x+y-z226 原式 =y2x-y=2x-y-2x2x-y2y-2x3=-2x-y21 原式 =200.1 × 7.6+4.3-1.9=200.1 ×10=2001922 原式 =10 × 10=109× 95-510=9.5 × 1031 解： 2x-y=, xy=2,4 33 43 33 2xy -x y =x y 2x-y=2·=.2 解：

13、 4x2+7x+2=42 4x +7x=222 -12x -21x=-34x+7x=-3 × 2=-6.4-71 证明： 72000-7 1999-7 1998=71998 7 2-7-1=41× 71998-7 7200019991998能被 41 整除；(2) 证明：设奇数为2n+1,2就2n+1-1=2n+1-12n+1+1=2n· 2n+2=4nn+1又相邻两个整数的积肯定是偶数 nn+1 是偶数即 nn+1 是 2 的倍数， 4nn+1 是 8 的倍数， 故原命题成立；(3) 证明：设n 为整数，就n, n+1是两个连续整数，2 n· n+1+

14、n+1=n+1n+1=n+1,故原命题成立；课外：初二同学数学学法指津初一匆忙过去， 初二迎面而来， 假如说一个人成才的基础工程在中学，而这个工程的核心就在初二；所以高度重视仔细探究学习方法、争论学习方法具有重要意义；下面我们一起来就初二学习的内容，学习内外部环境, 学习方法指导等方面探求、分析；一、初二学习内、外部环境的变化；、学科上的变化：和初一比较，初二开头添设几何和物理，这两个学科都是思维训练要求较强的学科，直接为进入高一级学科或就业服务的学科；、学科思维训练的变化：初二各学科在概念的演化、推理的要求、思维的全面性、深刻性、严密性、制造性方面都提出了比初一更高的要求；、思维进展内部的变

15、化：思维进展从思维进展心理学的角度看已进入新的阶段，即已经炽烈地、急剧地进入第五个飞跃期的高峰；这个“飞跃”期是否会缩短，“飞跃”的质量是否抱负要靠两个条件：1）老师细心的指导；）自己不懈地努力；、外部干扰因素的变化：初二正是你性格定型加快节奏，幻想重重的年龄期，常常表现出心理状态和心情的不稳固，例如逆反心情进展；这给外部的诱惑和干扰制造了乘虚而入的条件； 不要由于这些阻碍自己正常地接受老师和家长的指导，破坏了专一学习的正常心理状态；要学会“冷静” 、“自抑”，把充足的青春活力投入到学习活动中去；二、初二学法指导要点；、积极培育自己对新添学科的学习爱好；平面几何是规律推理、形象思维、 抽象思维

16、的训练， 平几学习的好坏， 直接影响你的思维进展，影响你顺当地完成第五个思维进展飞跃； 理化学科是你将来从事理工科的基础，语文的快速阅读和写作训练也在为你今后的进展奠定基础；切记勿偏科，中学阶段的全部学科都是你和谐完善进展的第一块基石； 、用好“读、听、议、练、评”五字学习法，把握学习主动权；读：读书预习；听：听课；议：讲议争论；练：复读练习，形成技能；评：自我评判把握学习内容的水平；、在评判中学习，在评判中达标： “在评判中学习”是指给自己提出明确的学习目标， 在目标的指导和鞭策下学习；“在评判中达标”是指只有进入“自我评判状态的学习”，才能有效地达到学习目标，剧烈的自我追赶学习目标，才能高

17、质量、高水平的达到目标；、听课要诀： （）在自学预习的基础上听；（）手脑并用，勤于实践议练，勤于笔 记，养成笔记的习惯； （）勇于发言，发问，暴露自己的疑点、弱点；（）把握重点和难点；对“重点”要“练而不厌”，对“难点”要锲而不舍； （）形散神不散；课堂上，老师 的读、讲、议、练、评活动支配从形式上可能有些“散”，你要积极参加协作，做到45 分钟形散神不散； （）重视每节课的归纳小结，把感性熟悉上升为理性熟悉；就数学而言要学会归纳学问结构、题型、数学思想和方法； 、重视学问、题型积存，更重视思维训练和才能进展；你要适应21 世纪初人才需求的标准， 必需是既有学问，又有才能， 会摸索、 会运筹的

18、人； 怎样培育自己的才能呢？（）在听懂双基学问点的同时，着力弄清思路和方法；（）学会多方面地摸索问题，就是在研究问题的证与解的同时，着力摸索多解和多变，自己编一些变条件，变解答过程、变结论的问题；（）有目的地提高自己的动手才能；常言道：“动脑不动手，沙地起高楼”，不行行；新的见解，常出于实践训练之中；（）有目的地提高自己的特异思维才能，不要只满意于老师讲的，书上写的解法和证法；一题多解，胜练十题，特异思维的一次胜利，就是思维进展的一次飞跃；临时介绍这些初二学法要点，祝同学们学习顺当，胜利！中考分析：提公因式法的中考考点1正确懂得因式分解的概念及它与整式乘法的区分与联系；2能够用提公因式法把多项

19、式进行因式分解；考点讲解1 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解；留意：必需是把一个多项式因式分解；如： -2 ab=-2 a· b -2 ab 不是多项式，-2 ab=-2 a·b 不是因式分解；因式分解的结果必需是几个整式的积的形式；如： 3x2+6xy-12 x=3x x+2y-4a2- b2= a+b a- b都是正确的，但像222（ 1） a - b = a+b ·；2（ 2） x -4+3 x= x+2 x-2+3 x；就不是因式分解了；由于（ 1）中不是整式；（ 2）中 x+2 x-2+3 x 不是积的形式；2本节另一个重点是把握提公因式

20、方法，关键是确定公因式，难点是查找隐含的公因式；利用提公因式法进行因式分解时，可按如下法就进行：提出的公因式必需是各项系数的最大公约数与各项都含有的字母的最低次幂的积；把确定的公因式提出写在括号外面作为一个因式，而括号里面的每一个因式是多项式除以公因式的商；2 利用提公因式法分解因式时，要防止显现以下错误：提不“全”或提不“净”现象：如 12 a2-6 a2-18 a=3a4 a2-2 a-6 的错误缘由是只留意到字母的指数，而没有提系数的最大公约数；显现“丢项” ：2 222222如 3 x y -9 x y-3 x =3x y -3 y 的错误缘由是丢项（ -3 x ），当某一项恰是这个多

21、项式各项的公因式时，它被提出后不是没有了，而是仍有“1”；又如 - a2+ab- ac=- a a+b- c 的错误缘由是提“- a”后括号内各项没有变号；考题例析1 因式分解：= ； 考点：提公因式法；平方差公式法；分解因式；评析思路：先提公因式，然后再用平方差公式进行分解.说明：分解因式要完全；2答案： x x-4y2 分解因式： 4q1-p3+2p-1222考点：提公因式法2分析：留意到p-1=1-p2,把1-p看作一个整体，且最低次幂是1-p,系数的最大公约数是2，故提 21-p.解： 4q1-p32+2p-12=21-p=21-p2q1-p+122q-2pq+1.真题实战1挑选：如二

22、次三项式x2+ax-1 可分解为 x-2x+b,就 a+b 的值为（）；a、-1b 、1c 、-2d 、2分析：解此类题关键在于懂得因式分解的概念，依据题意x2+ax-1=x-2x+b,把右边绽开后，再由恒等式的性质即可求解，应选（a）；2挑选：把ab+a-b-1分解因式的结果为（）a、a+1b+1b 、a-1b-1c 、a+1b-1d 、a-1b+1解： ab+a-b-1=ab+a-b+1=ab+1-b+1=b+1a-1答案： d3填空：分解因式2ab+c-3b+c= .解：应填 b+c2a-3.2224分解因式：x y-xy.2解： xy-xy=xyx-y.25分解因式：a-ab = 答案

23、： a1+b1-b26因式分解：x xy= 答案： xx-y初二数学：因式分解 二一、学习指导221代数中常用的乘法公式有： 平方差公式：a+ba-b=a-b222完全平方公式：a ± b =a ±2ab+b2因式分解的公式：将上述乘法公式反过来得到的关于因式公解的公式来分解因式的方法，主要有以下三个公式：22平方差公式：a -b =a+ba-b222完全平方公式：a ± 2ab+b =a ± b3应用公式来分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，也就是要从它们的项数系数，符号等方面把握它们的特点；明确公式中字母可以表示任何数，单项式或多项式；同时对

24、相像的公式要防止发生混淆，只有牢记公式，才能敏捷运用公式；运用公式法进行因式分解有肯定的局限性，只有符合其公式特点的多项式才能用公式法来分解；二、因式分解公式的结构特点；221. 平方差公式： a -b =a+ba-b的结构特点；1) 公式的左边是一个两项式的多项式，且为两个数的平方差；222) 公式的右边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项a 是完全相同的， 即为左边式子中被减数a 的底数，另一项b 和-b 是互为相反数，即b 是左边式子中减数b 的底数；3) 要熟记 1 20 的数的平方；2222、完全平方公式：a ± 2ab+b =a ± b的结构特点；1) 公式

25、的左边是一个三项式, 首末两项总是平方和的形式, 中间项的符号有正有负, 当为正号 负号 时右边的两项式中间符号为正 为负 ， 2ab 中的“ 2”是一个固定的常数；2) 公式的右边是两数和或差的平方形式；3) 要确定能不能应用完全平方公式来分解，先要看两个平方项，确定公式中的a 和 b在这里是什么，然后看中间哪一项不是相当于+2ab 或-2ab ，假如是的，才可以分解为两数 和或差的平方形式；初学时中间的过渡性步骤不要省掉；三、例题分析：例 1分解因式： 14a222分析（ 1）：22-9b2-25a2 416y +16b2 4a =2a,9b=3b, 那么只要把2a 和 3b 看作平方差公

26、式中的a 和 b 即可；将两项交换后，这两项式是平方差的形式；22解：4a-9b222=2a-3b=2a+3b2a-3b2注：为保证解题正确要将中间步骤2a分析（ 2）：这是个两项式，且两项符号相反-3b写上，即先化为公式的左边形式； 16b168 2=4b 242225a y =5ay 82那么可将4b解： -25a 2y 4+16b16和 5ay看作平方差公式中的a 和 b 即可；16=16b8-25a y2422 2=4b -5ay8282=4b +5ay4b-5ay 8 22 2862102注：要先将原式写成公式左边的形式，写成4b -5ay4例 2分解因式：1 36bx -9c2 x

27、+2y-x-2yy分析：381x 8-y 843a+2b2-2a+3b2(1) 题二项式有公因式9 应当先提取公因式，再对剩余因式进行分解，符合平方差公式；(2) 题的两项式符合平方差公式，x+2y 和 x-2y 分别为公式中的a 和 b；(3) 题也是两项式，9x 4 和 y4 是公式中的a 和 b ；(4) 题也是两项式，3a+2b 和 2a+3b 是平方差公式中的a 和 b ；486y10解1 ： 36b x -9c48=94b x -c2 46 10y23 5 2=92bx -cy 2 43 52 43 5=92b x +cy 2bx -c y 注：解题的其次步写成公式的左边形式肯定不

28、要丢；解2 ： x+2y22-x-2y=x+2y+x-2yx+2y-x-2y=x+2y+x-2yx+2y-x+2y=2x4y=8xy注：此例可以用乘法公式绽开，再经过合并同类项得到8xy ，由本例的分解过程可知，因式分解在某些情形下可以简化乘法与加减法的混合运算；88解3 ： 81x -y=9x 4 2-y 4 24+4y 94x-y44+4y 3x22-y2 2 4+4y 3x2+y2223x-y442222=9x=9x=9x=9x+y 3x+y 3x-y 注：第一次应用平方差公式后的其次个因式9x4-y 4 仍可以再用平方差公式分解；223x -y在有理数范畴内不能分解了，由于3 不能化成

29、有理数平方的形式；22解4 ： 3a+2b-2a+3b=3a+2b+2a+3b3a+2b-2a+3b=3a+2b+2a+3b3a+2b-2a-3b=5a+5ba-b=5a+ba-b注： 5a+5b 这个因式里仍有5 可以再提取，应当再提取出来；例 3分解因式：2m-n 2-121m+n 2-4m+n 2+25m-2n 2分析：2(1) 题的其次项应写成11m+n就可以用平方差公式分解，2m-n 和 11m+n 为公式中的 a 和 b；(2) 题中将这二项先利用加法交换律后再将每一项写成平方形式就找到公式中的a 和 b分别为 5m-2n 和 2m+n ，再应用平方差公式分解；解1 ： 2m-n

30、2-121m+n 222=2m-n-11m+n=2m-n+11m+n2m-n-11m+n=2m-n+11m+11n2m-n-11m-11n=13m+10n-9m-12n=-313m+10n3m+4n注：（ -9m-12n ）这项应提取公因式-3；22解2 ： -4m+n+25m-2n22=25m-2n-4m+n22=5m-2n-2m+n=5m-2n+2m+n5m-2n-2m+n=5m-10n+2m+2n5m-10n-2m-2n=7m-8n3m-12n=37m-8nm-4n注：利用平方差分解后的两个因式要进行整式的四就运算，并要留意运算时去括号法就的应用；例如： -2m+n=-2m-2n -2m

31、+2n ；例 4分解因式：1 ab-a b2am+n-bm+n3-544分析：这三道题都有公因式,应先提取公因式再应用平方差公式；留意要分解到不能分解为止；b-ab解1： a5=aba4-1=aba2+1a 2-12=aba +1a+1a-1注： a2+1 在有理数范畴不能分解，a2-1 可以分解；解2： a4m+n-b 4m+n=m+na 4-b4=m+na 2+b2a 2-b2=m+na 2+b2a+ba-b解3： -=-a2-16=-a+4a-4注：提取分数公因式-便于后面用公式法分解；例 5运算 1.22222 ×9-1.3333 2× 4分析：这是数字的运算问题,

32、如按运算次序一步步做很繁,我们仔细观看,寻求简便算法,发觉题中的两项,每一项都可以写成一个数的完全平方,再可以用平方差公式进行因式分解,这样可以使运算简化；解： 1.22222× 9-1.3333 2×4=1.2222 × 32-1.3333× 22=1.2222 × 3+1.3333 × 21.2222 ×3-1.3333 ×2=3.6666+2.66663.6666-2.6666=6.3332 × 1=6.3332例 6分解因式： 1xx 2-1-x 2+12x 2+x+2x 2+x+7-6分析： 1

33、可看成二项式：将-x 2 +1 变形为 -x 2-1 就可提取公因式x 2-1再将公因式用平方差公式分解；-1-x解1： xx 22 +1=xx 2 -1-x 2-1=x 2-1x-1=x+1x-1x-12=x+1x-1分析： 2 题如将此式绽开肯定繁琐，留意到 x2+x+2 与 x2+x+7 的平均数为x 2+x+，故可用换元法解：解：设 y=x 2+x+就x 2 +x+2x 2+x+7-6=y-y+-6=y 2 -6=y 2-=y+y-=x 2+x+x 2+x+-=x 2+x+8x 2+x+1注：此题也可以绽开式子x 2+x 2+9x 2+x+8 再应用十字相乘法进行；例 7如 248-1

34、可以被 60 和 70 之间的两个数整除，求这两个数；分析：第一应分析248-1 的特别形式为平方差，由题意248-1 能被两个数整除说明248-1能分解成哪两个数与其它因式的积，并将248-1 进行因式分解；并留意这两个整数的取值范畴是大于60 且小于 70；48解： 2 -124 222424=2 -1 =2+12-1241212=2+12+12-1241266=2+12+12+12-1 26+1=65 为整数， 26 -1=63 为整数， 224+1 和 212+1 都为整数=224+1212+126-1为整数；=2 24+12 12+12 6+1也为整数； 248-1 被 60 和 7

35、0 之间的两个数整除，这两个数为65 和 63 ；说明：此题虽然题目中没有因式分解的要求，但是248-1 是因式分解的平方差公式的基+1 的因式， 2本形式；将其进行等价转化，逐步地运用平方差公式，直到显现26显现 26-1=63 ；由于 23+1=9 ， 23 -1=8 ，这两个数已经不符合此题的要求了；例 8求证：任意两个连续整数之积是2 的倍数，证明：设这两个连续整数分别为n 和 n+1就这两个连续整数之积为：nn+11假如 n 为偶数，可设n=2kk 为整数 就 nn+1=2k2k+1=k2k+1 k 为整数， k2k+1 为整数； nn+1 是 2 的倍数；2假如 n 为奇数，可设n

36、=2k+1k 为整数 就 nn+1=2k+12k+1+1=2k+12k+2=22k+1k+16+1=65 ，及=2k+1k+1 k 为整数， 2k+1k+1 也为整数； nn+1 是 2 的倍数；任意两个连续整数之积是2 的倍数； 注：此题的证明，主要是明确以下几点： 1连续整数的表示法，留意数之间差为1；22 的倍数是什么意思；即被2 整除，也就是说除以2 所得的商是一个整数；3要进行分类争论，将n 分为偶数和奇数来进行争论；例 9、分解因式： 1x 2+6ax+9a22-x 2-4y2 +4xy39a-b 2+6a-b+1分析： 这题的三个小题都为三项式，又都没有公因式，可考虑是否能用公式

37、中的完全平方公式；(1) 题的 x 2=x 2，9a2=3a 2，且这两项的符号相同，可写成平方和；这样 x 和 3a 就为公式中的 a 和 b 了；另外6ax 正好是 2x3a 即公式中的2ab 项，这样这题就可用和的完全平 方公式分解；解1： x22+6ax+9a=x 2+2x3a+3a 2=x+3a 2注：再写第一步的三个项的和时实际上先写x2 和3a2 项，再写固定的“2”常数再将公式中的 a、b 数即 x 和 3a 写进二个括号内；运算出来为6ax，即原题中的中间项；分 析 ： 2 题 中 的 -x 2 -4y2 ， 这 两 项 符 号 相 同 ， 提 取 负 号 后 可 写 成 平

38、 方 和 ， 即-x2 -4y2=-x 2 +2y 2， 4xy 正好是2x2y 是公式中的2ab 项，此题可用完全平方公式；留意提取负号时4xy 要变号为 -4xy ；解2： -x 2-4y2+4xy22=-x -4xy+4y=-x 2-2x2y+2y 2=-x-2y 2分析：3题 9a-b2+1 可写成平方和3a-b 2+12，就找到公式中的a 和 b 项为 3a-b和 1， 6a-b正好是 2× 3a-b× 1 为公式中的2ab 项，符合完全平方公式；解3： 9a-b2+6a-b+122=3a-b+2× 3a-b ×1+1=3a-b+1 2=3a-

39、3b+1 2例 10、分解因式：1 a4x2-4a2x 2y+4x 2y 22 x+y 2-12x+yz+36z 23x 2+4x 2+8x 2+4x+164x 2-2y 22 -2x 2-2y 2y 2+2y 4分析： 1题有公因式x2 应先提取出来，剩余因式a4-4a2y+4y 2正好是 a2-2y 2x解1： a422-4a x22 2y+4x y=x 2a4 -4a2y+4y 2=x 2a 22-2a22y+2y 2222=x a -2y分析： 2中可将 x+y 看作一个整体，那么这个多项式就相当于 x+y 的二次三项式，并且降幂排列，公式中的 a 和 b 分别为 x+y 和6z ，中

40、间项 -2ab 为-2x+y6z ，正好适合完全平方公式；解2： x+y 2-12x+yz+36z 2=x+y 2-2x+y6z+6z 22=x+y-6z注：此题中的多项式，切不行用乘法公式绽开后再分解，而要留意观看、分析，依据多项式本身的形式特点，善于将多项式中的某一项或一部分 作为整体与因式分解公式中的字母对应起来；如此题中将x+y 代换完全平方公式中的a，6z 换公式中的b；分析： 3的题型与 2题相同，只不过公式中的a 和 b 为 x2 +4x 和 4，分解为 x 2+4x+4 2后再将 x 2+4x+4 再用一次完全平方公式分解，分解到不能分解为止；解3： x 2+4x 2+8x 2

41、 +4x+16=x 2+4x 2+2x 2+4x ×4+4 2=x 2+4x+4 2=x+22 24 =x+2分析： 4题把 x 2-2y2 和 y2 看作为一个整体，那么这个多项式就是关于x2-2y2 和 y 2 的二次三项式， 但首末两项不是有理数范畴内的完全平方项，不能直接应用完全平方公式，但注意把首项系数提出后，括号里边实际上就是一个完全平方公式；留意分解到不能分解为止；解4：x 2-2y22-2x 2-2y2 y 2+2y 4=x 2 -2y22-4x 2-2y2y 2 +4y 4=x 2 -2y22-2x 2-2y22y 2 +2y 22=x2-2y22 2-2y =x

42、2-4y22=x+2yx-2y2=x+2y 2x-2y 2例 11、分解因式：1 9a-b 2+12a2 -b2+4a+b 22 3a4-6a2 +3 an+1 +an-1-2an4 m 2+n2+1 2-4m 2n2分析： 1题中的 9a-b2=3a-b 2，4a+b 2=2a+b 2 而中间项，12a2-b2=12a+ba-b=2 ×3a-b × 2a+b，正好是公式中的2ab 项；解1： 9a-b2+12a2-b2+4a+ 2 3a-b 2+12a+ba-b+2a+b 2=3a-b 2+2× 3a-b ×2a+b+2a+b 2=3a-b+2a+b

43、2=3a-3b+2a+2b 22=5a-b分析： 2此题的三项式可看作a2 的二次三项式 ,且应先提取公因式3，再用公式进行分解；解2： 3a4-6a2+3=3a 4-2a2+1=3a 2-122=3a+1a-1=3a+1 2a-12注：应用完全平方公式后留意再将因式a2 -1 再用平方差公式分解；留意用积的乘方法就；分析： 3题有公因式an-1，先提取公因式再用公式；留意先按降幂排列好次序； 解3： an+1+an-1-2an=an+1 -2an+an-1=an-1a2 -2a+1=an-1a-1 2分析： 4题是一个二项式，符合平方差公式；用平方差公式分解后的两个多项式的因式都可再用平方差

44、公式；解4： m2+n 2-12-4m2n2=m2 +n2-1+2mnm 2+n2 -1-2mn=m 2+2mn+n 2-1m 2-2mn+n 2-1=m+n 2-12m-n 2-12=m+n+1m+n-1m-n+1m-n-1例 12：分解因式：m2 -1n2-1+4mn.-1n分析：将m 22-1绽开得 m2 2n -m22-n +1=m2 2n +1-n222+m 可将 m n22+1 与 n +m2 均配成完全平方就可用平方差公式分解；22解： m -1n-1+4mn2 222=m n -m -n +1+4mn2 222=m n +1-n+m+4mn=m2n2+2mn+1-m 2-2mn

45、+n222=mn+1 -m-n=mn+1+m-nmn+1-m+n课外立方和立方差公式立方和立方差公式是旧教材中的必学内容，但新教材已经将这两个公式删去，现我们做简洁的讲解，让同学们对立方和差公式有所明白！内容：立方和与立方差公式： a ba2 ab b2 a3+b3 a ba2 ab b2 a3-b3把这两式反过来，就得到3 b3 a ba 2 ab b2aa3 b3 a ba 2 ab b2其特点是：等号左边是两数的立方和（或差），等号右边是二数和（或差）与一个三项式的积， 三项式中有两项为这两数的平方，另一项为这两数的积，其符号与左边中间的符号相反；运用这两个公式，可以把形式是立方和（或差）的多项式分解因式；例 1把以下多项式分解因