第3节 变量间的相关关系与独立性检验

1、第3节变量间的相关关系与独立性检验课时训练 练题感 提知能 【选题明细表】知识点、方法题号相关关系的判定1回归直线2、3、4、6、7、8、10、11、13综合应用5、9、12一、选择题1.对变量x,y有观测数据(xi,yi)(i=1,2,10),得散点图(1);对变量u,v有观测数据(ui,vi)(i=1,2,10),得散点图(2).由这两个散点图可以判断(C)(A)变量x与y正相关,u与v正相关(B)变量x与y正相关,u与v负相关(C)变量x与y负相关,u与v正相关(D)变量x与y负相关,u与v负相关解析:由正、负相关的定义知,x与y负相关;u与v正相关,故选C.2.某产品的广告费用x与销售

2、额y的统计数据如表:广告费用x(万元)4235销售额y(万元)49263954根据表可得回归方程y=bx+a中的b为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(B)(A)63.6万元(B)65.5万元(C)67.7万元(D)72.0万元解析:样本中心点是(3.5,42),则a=y-bx=42-9.4×3.5=9.1,所以回归方程是y=9.4x+9.1,把x=6代入得y=65.5.故选B.3.(2014青岛市模拟)某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关,则其回归方程可能是(A)(A)y=-10x+200(B)y=10x+200(C)y=-10x-200(D)y=10x-2

3、00解析:由于销售量y与销售价格x负相关,因此回归方程中的系数b<0,故排除选项B,D.选项C中,当x=0时,y=-200,与实际问题不符合,排除选项C.故选A.4.设(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)是变量x和y的n个样本点,直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图),以下结论正确的是(A)(A)直线l过点(x,y)(B)x和y的相关系数为直线l的斜率(C)x和y的相关系数在0到1之间(D)当n为偶数时,分布在l两侧的样本点的个数一定相同解析:样本点的中心(x,y)必在回归直线上.故选A.5.在一次试验中,测得(x,y)的四组数值分别为A(1,3),B(2

4、,3.4),C(3,5.6),D(4,6),假设它们存在相关关系,则y与x之间的回归方程为(A)(A)y=1.7+1.12x(B)y=1.7x+1.12(C)y=1.7-1.12x(D)y=1.7x-1.12解析:x=1+2+3+44=52,y=3+3.4+5.6+64=92,b=i=14xiyi-4x yi=14xi2-4x2=(1×3+2×3.4+3×5.6+4×6)-4×52×92(12+22+32+42)-4×522=1.12.a=y-bx=92-1.12×52=1.7,y=1.7+1.12x,故选A.6.

5、(2014合肥一中质量检测)某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析,所得数据如表:x681012y2356则y对x的线性回归方程为(C)(A)y=2.3x-0.7(B)y=2.3x+0.7(C)y=0.7x-2.3(D)y=0.7x+2.3解析:由题中表格,x=9,y=4,i=14xiyi=158,i=14xi2=344,b=158-4×9×4344-4×92=0.7,a=4-0.7×9=-2.3,回归直线方程为y=0.7x-2.3.故选C.7.(2013年高考福建卷)已知x与y之间的几组数据如表:x123456y021334假设根据如表数

6、据所得线性回归直线方程为y=bx+a,若某同学根据表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y=bx+a,则以下结论正确的是(C)(A)b>b,a>a(B)b>b,a<a(C)b<b,a>a(D)b<b,a<a解析:由两组数据(1,0)和(2,2)可求b=2-02-1=2,a=0-2×1=-2.利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据,可求得b=i=16xiyi-6x·yi=16xi2-6x2=58-6×72×13691-6×(72) 2=57,a=y-bx=136-57&#

7、215;72=-13,所以b<b,a>a.故选C.二、填空题8.(2014济南三模)某市居民20092013年家庭年平均收入x(单位:万元)与年平均支出Y(单位:万元)的统计资料如表所示:年份20092010201120122013年平均收入x11.512.11313.315年平均支出Y6.88.89.81012根据统计资料,居民家庭年平均收入的中位数是,家庭年平均收入与年平均支出有线性相关关系. 解析:5个x值是按从小到大的顺序排列的,因此居民家庭年平均收入的中位数是13万元.以家庭年平均收入x作为x轴,年平均支出Y作为y轴,描点得到散点图如图所示:观察散点图可知,这些

8、点大致分布在一条直线的附近,且总体呈上升趋势,因此家庭年平均收入与年平均支出有正线性相关关系.答案:13万元正9.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了5次试验.根据收集到的数据(如表),由最小二乘法求得回归方程y=0.67x+54.9.现发现表中有一个数据模糊看不清,请你推断出该数据的值为. 解析:依题意,x=15×(10+20+30+40+50)=30.由于直线y=0.67x+54.9必过点(x,y),于是有y=0.67×30+54.9=75,因此表中的模糊数据是75×5-(62+75+81+89)=68.答案:6810.已

9、知x,y之间的一组数据如表:x23456y34689对于表中数据,现给出如下拟合直线:y=x+1;y=2x-1;y=85x-25;y=32x.则根据最小二乘法的思想求得拟合程度最好的直线是(填序号). 解析:由题意知x=4,y=6,b=i=15(xi-x)(yi-y)i=15(xi-x)2=85,a=y-bx=-25,y=85x-25,填.答案:11.某工厂经过技术改造后,降低了能源消耗,经统计该厂某种产品的产量x(单位:吨)与相应的生产能耗y(单位:吨)有如下几组样本数据:x3456y2.5344.5根据相关性检验,这组样本数据具有线性相关关系,通过线性回归分析,求得回归直线的斜率

10、为0.7.已知该产品的年产量为10吨,则该工厂每年的生产能耗大约为吨. 解析:由题知,x=3+4+5+64=4.5,y=2.5+3+4+4.54=3.5,故样本数据的中心点为A(4.5,3.5).设回归方程为y=0.7x+a,将中心点坐标代入得:3.5=0.7×4.5+a,解得a=0.35,故回归方程为y=0.7x+0.35,所以当x=10时,y=0.7×10+0.35=7.35,即该工厂每年的生产能耗大约为7.35吨.答案:7.35三、解答题12.(2013年高考重庆卷)从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i个家庭的月收入xi(单位:千元)与月储蓄yi(单位:千

11、元)的数据资料,算得i=110xi=80,i=110yi=20,i=110xiyi=184,i=110xi2=720.(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a;(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关;(3)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.附:线性回归方程y=bx+a中,b=i=1nxiyi-nx-y-i=1nxi2-nx-2,a=y-bx-,其中x-,y-为样本平均值,线性回归方程也可写为y=bx+a.解:(1)由题意知n=10,x=8,y=2,又i=1nxi2-nx2=720-10×82=80,i=1nxiyi-nx-y-=184-10&#

12、215;8×2=24,由此得b=i=1nxiyi-nx-y-i=1nxi2-nx-2=2480=0.3,a=y-bx=2-0.3×8=-0.4,故所求回归方程为y=0.3x-0.4.(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b=0.3>0),故x与y之间是正相关.(3)将x=7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7-0.4=1.7(千元).13.如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x吨与相应的生产能耗y吨标准煤的几组对照数据:x3456y2.5344.5(1)请画出表中数据的散点图;(2)请根据表中提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=bx+a;(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?(参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)解:(1)所画散点图如图.(2)i=14xiyi=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5,x=3+4+5+64=4.5,y=2.5+3+4+4.54=3.5,i=14xi2=32+42+52+62=86.b=i=14xiyi-4x yi=