勾股定理易错题分析

1、学习必备欢迎下载勾股定理易错题分析勾股定理是中学几何的重要学问，是几何中的常用工具；初学时，许多同学常易犯各种各样的错误；下面仅挑选几例，供同学们参考和借鉴，以免犯这类错误；【例 1】在 rt abc 中， a=3 ， b=4 ，求 c错解由勾股定理，得c=a2b2 =4232 =5诊断这里默认了c 为直角其实，题目中没有明确哪个角为直角，当b a时， b 可以为直角，故此题解答遗漏了这一种情形当 b 为直角时， c=b2a2 =4232 =7【例 2】已知rt abc 中， b=rt ,a=2 ,c= 22 ,求 b.错解由勾股定理，得b=c2a2 =22 22 2 =6诊断这里错在盲目地套

2、用勾股定理“a2 b2=c2”殊不知，只有当c=rt 时， a2 b2=c 2 才能成立，而当b=rt 时，就勾股定理的表达式应为a2 c2=b 2正确解答 b=rt ，由勾股定理知a2 c2=b 2 b=c2a2 =22 22 2=10【例 3】如直角三角形的两条边长为6cm、 8cm，就第三边长为 学习必备欢迎下载错解设第三边长为xcm 由勾股定理，得x 2=6 2 82x=6282 =3664 =10即第三边长为10cm诊断这里在利用勾股定理运算时，误认为第三边为斜边，其实题设中并没有说明已知的两边为直角边，所以第三边可能是斜边，也可能是直角边正确解法设第三边长为xcm 如第三边长为斜边

3、，由勾股定理，得x=6282 =3664 =10cm如第三边长为直角边，就8cm 长的边必为斜边，由勾股定理，得x=8262 =28 = 27 cm因此，第三边的长度是10cm 或者 27 cm.【例 4】如图，已知rt abc 中， bac=90 °， ad 是高， am 是中线，且am=1bc=223 ad. 又 rt abc 的周长是 6+23 cm. 求 ad 3错解 abc 是直角三角形，学习必备欢迎下载 ac:ab:bc=3:4:5 ac ab bc=3 4 5 ac=3 6+23 = 331224ab=126+23 = 6233bc=5 6+23 =1215536又 1

4、 acab = 1 bcad22 ad=acab =bc33623231553633233=533= 2 3+3 cm5诊断我们知道，“勾三股四弦五”是直角三角形中三边关系的一种特别情形，并不能代表一般的直角三角形的三边关系上述解法犯了以特别代替一般的错误正确解法 am=23 ad3 md= 23ad 23ad 2 =3 ad3学习必备欢迎下载又 mc=ma， cd=md 点 c 与点 m 关于 ad 成轴对称 ac=am ， amd=60 ° = c b=30 ° ,ac= 123bc,ab=bc2 ac+ab+bc=1 bc+3bc+bc=6+ 23 .22 bc=4

5、123bc=23ad, ad=1 bc2233=3 cm【例 5】在 abc中， a b c=9 15 12， 试判定 abc 是不是直角三角形错解依题意，设a=9k ， b=15k ， c=12kk 0 a2 b2=9k 2 15k 2=306k 2， c2=12k 2=144k 2， a2 b2 c2 abc 不是直角三角形诊断我们知道“假如一个三角形最长边的平方等于另外两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形”而上面解答错在没有辨论清晰最长边的情形下，就盲目套用勾股定理的逆定理正确解法由题意知b 是最长边设a=9k， b=15k ， c=12kk 0 a2 c2=9k 2 12k 2=8

6、1k 2 144k 2=225k 2 b2=15k 2=225k 2， a2 c2 =b2学习必备欢迎下载 abc 是直角三角形【例 6】已知在abc 中， ab ac ， ad 是中线， ae 是高求证：ab 2ac 2 =2bc · de 错证如图 ae bc 于 e， ab 2=be 2 ae 2，ac 2=ec 2 ae 2 ab 2 ac 2=be 2 ec2=be ec · be ec=bc · be ec bd=dc ， be=bc ec=2dc ec ab ac22=bc · 2dc ec ec=2bc · de 诊断题设中既没

7、明确指出abc 的外形，又没给出图形，因此，这个三角形有可能是锐角三角形，也可能是直角三角形或钝角三角形所以高ae 既可以在形内，也可以与一边重合，仍可以在形外，这三种情形都符合题意而这里仅只证明白其中的一种情形，这就犯了以偏概全的错误；剩下的两种情形如下列图；学习必备欢迎下载，正确证明由读者自己完成【例 7】已知在abc 中，三条边长分别为a， b， c， a=n，n2b=-1,c=4n 244n 是大于 2 的偶数 ；求证 : abc 是直角三角形；错证 1 n 是大于 2 的偶数，取n=4 ，这时a=4 ， b=3 ， c=5 =4 a2 b2 322=25=52=c2， abc 是直角三角形勾股定理的逆定理 由勾股定理知abc 是直角三角形2正解