第一章数字信号处理基础

1、第一章第一章 数字信号处理基础数字信号处理基础1.1 1.1 离散时间信号和离散时间信号和 离散时间系统离散时间系统1.2 1.2 离散时间信号离散时间信号序列序列 nx nx nxnq 几种基本的离散时间信号几种基本的离散时间信号 otherwisenn, 00, 1（2）单位阶跃序列（Unit step sequence） otherwisennu,00,1（3）复指数序列（Complex exponential sequence ）正弦序列（Sinusoidal sequence） nAnxcosnenjnenj sin cos njneennj sin cos实指数序列（Real ex

2、ponential sequence）10 (4) 任意序列（Arbitrary sequence） kknkxnx练习练习 542 33212 122342nnnnnnnnnnx数字频率（数字频率（Digital FrequencyDigital Frequency）模拟频率（Analog frequency）取样周期（Sampling period）取样频率（Sampling frequency）sfTssffffT21 2周期序列（Periodic Sequences） Nnxnx , 1, 0kkNnxnx序列的能量 nnx2序列的运算序列的运算 nynx nynx nax0nnx1.

3、3 离散时间系统（Discrete Time Systems） nxTny nxbTnxaTnbxnaxT2121knxTknykn nhk nx kkkknhkxknTkxknkxTnxTny nhknk nh nknknh nhnxknxkhknhkxnykk nhnTnxTny系统的单位取样响应或单位冲激响应（Unit-sample response or unit-impulse response ） kknkxnx kknkxTnxTny kknTkx knhkxk线性移不变性knhknT移不变性 nhnxknhkxknxkhnykk2.1例例2.32.3练习练习答案答案交换律交换律

4、 nxnhnhnxny khknxknhkxnykk结合律结合律 nhnhnxny21 nhnhnx12 nhnhnx21加法分配律加法分配律 nhnxnhnx21 nhnhnxny21 Mnx ny kkhS(1)练习练习 确定线性移不变系统确定线性移不变系统 的稳定性。的稳定性。 nunhn 1111 0nnnnnnunhS10该系统是稳定的。该系统是稳定的。6. 6. 因果系统因果系统q 输出的改变不领先于输入的改变的系统。输出的改变不领先于输入的改变的系统。 系统在任何时刻系统在任何时刻 的响应只取决于的响应只取决于 时的输入值时的输入值 。q 一个系统是线性的和移不变性的充分和一个系

5、统是线性的和移不变性的充分和 必要条件是必要条件是移不变性、因果性和稳定性是系移不变性、因果性和稳定性是系统统 的互不相关的性质的互不相关的性质。 0,0nnh0nn 0n nx练习练习 已知系统的输入和输出之间有下列关系已知系统的输入和输出之间有下列关系判别该系统的线性、移变性、稳定性和因果判别该系统的线性、移变性、稳定性和因果性。性。 26nxny 2626 266 26212121nxbnxanbxnaxnbxnaxny系统不是线性的。系统不是线性的。（1）线性）线性knxTknxknyknxknxT2626系统是非移变的。系统是非移变的。 2626MnxnyMnx系统是稳定的。系统是稳

6、定的。（2）移变性）移变性（3）稳定性）稳定性（4）因果性）因果性 系统的输出只取决于现时的输入，故系系统的输出只取决于现时的输入，故系统是因果的。统是因果的。练习练习 已知系统的输入和输出之间有下列关系已知系统的输入和输出之间有下列关系 2312nxnxnxny求系统的单位取样响应，并判别该系统的线求系统的单位取样响应，并判别该系统的线性、移变性、稳定性和因果性。性、移变性、稳定性和因果性。 2312nnnnh（1）系统的单位取样响应）系统的单位取样响应（2）线性）线性（2）移变性）移变性knxTknxknxknxknyknxknxknxknxT 23122312系统是非移变的。系统是非移变

7、的。系统是线性的。系统是线性的。 2312 2312 223 112222111212121nxnxnxbnxnxnxanbxnaxnbxnaxnbxnaxny（3）稳定性）稳定性 6321nnhS系统是稳定的。系统是稳定的。（4）因果性）因果性 0 , 02312nnnnnh系统是因果的。系统是因果的。 线性移不变系统可用常系数差分方程线性移不变系统可用常系数差分方程 描述描述MrrNkkrnxbknya00 001 , , 0rrrnxbnyaMN在下列情况下，该差分方程即因果系在下列情况下，该差分方程即因果系统的线性卷积关系统的线性卷积关系1.4 1.4 离散时间信号和离散时间系统离散时

8、间信号和离散时间系统 的频域描述的频域描述1.4.1 1.4.1 离散时间信号的傅里叶变换离散时间信号的傅里叶变换 nnjjenxeX deeXnxnjj21（1 1）线性）线性（2 2）时移）时移（3 3）调制）调制（4 4）折叠）折叠 jjebXeaXnbxnaxFT2121jnjeXennxFT00 00jnjeXnxeFTjeXnxFT1.4.2 1.4.2 离散时间信号傅里叶变换的性质离散时间信号傅里叶变换的性质（5 5）乘以）乘以（6 6）共轭）共轭（7 7）卷积）卷积（8 8）乘法）乘法n jeXddjnnxFT jeXnxFT jjeYeXnynxFT deYeXnynxFTj

9、j211.4.3 1.4.3 离散时间系统的频率响应离散时间系统的频率响应 jeHjjjIjRkkjjjnjkkjnjkknjknjeeHejHeHekheHeHeekheekhknxkhnynenxarg , neHAeeeHAeHeeAeHeeAnyeeAeeAnAnxjnjnjjjnjjjnjjnjjnjj00cos 2 2222cos00000000000argjeH1.61.6 Z 变换变换 nnznxzX njnjenxeX nnjnjernxreX nnrnx nrnx如果如果 绝对可和，即绝对可和，即那么，级数（或傅里叶变换）那么，级数（或傅里叶变换） 绝对（或一绝对（或一致）

10、收敛，且均匀收敛于致）收敛，且均匀收敛于 的连续函数的连续函数1.6.21.6.2 Z 变换的收敛域变换的收敛域xxRzR 是一个幂是一个幂xRxR可为无穷大可为无穷大可为零可为零 1nuanxn azazazazazazzaznuaznxzXnnnnnnnnnnnn1or 1 ,1 1 111 例例 求序列求序列 的的Z Z变换。变换。 nx zX(1) (1) 有限长序列有限长序列 0 0 0,z0 0z0 0212121znnnnznxzXnnnn xnnnRznxzXz ,1设级数在某个圆设级数在某个圆 上绝对收敛上绝对收敛 11nnnznx对于对于 ，式（，式（1 1）级数每项对应比

11、式（）级数每项对应比式（2 2）小）小(2)(1)z1zz 1zz 0 ,0 , 1011111nznxznxznxnznxznxnnnnnnnnnn对任何有限的对任何有限的 值，右边第一个级数为有限值。值，右边第一个级数为有限值。01n01nzz当当 时，即时，即因果序列，因果序列，Z变变换在换在 收敛。收敛。当当 时，时，Z变换在变换在 不不收敛。收敛。右边序列的右边序列的Z变变换的收敛域是一换的收敛域是一个圆的内部。个圆的内部。1lim1nnnaa0nna xnnnnnRnxnxzznxnxznxznx1lim11lim1lim11zRnx :01zRnx :0101nxR 的计算的计算

12、：若 ，则 收敛。因果序列因果序列(3) (3) 左边序列左边序列xnnnnnRnxnxzznxnxznxznx1lim11lim1lim1xRzn :02xRzn0 :02逆因果序列逆因果序列02n zXzXznxznxznxzXnnnnnn2101 zX2（4）双边序列）双边序列 zX1只含只含Z的正幂的正幂只含只含Z的负幂的负幂 xnnnnnRnxnxzznxnxznxznx1lim11lim1lim11xnnnnnRnxnxzznxnxznxznx1lim11lim1lim1 zX2 zX1xxRzR练习练习 1 1 nubnxn bbbnxnxRzbzbzbzzbzbzbzzbzXn

13、nnnxnnn111110lim1limor or 11111练习练习 2 2 1nubnxn bbbnxnxRzbzbzbzbzbzbzbzbzzbzXnnnnxnnnnn1lim1limor 1or 1111111练习练习 3 3 , 2 , 1 , 0nbnxn ) 1( 1 111 201bbzbbzbzbzbzzbzbzzbzbzbzXnnnnnnnnn练习练习 4 4 是双边序列，可看成是由一个因果序列（收是双边序列，可看成是由一个因果序列（收敛域敛域 ）和一个逆因果序列）和一个逆因果序列( (收敛域收敛域 ) )相加组成，故相加组成，故 的收敛域是这两个的收敛域是这两个收敛域的重

14、叠部分，即圆环区域收敛域的重叠部分，即圆环区域 。零。零点为点为0 0和和 , ,极点为极点为 和和 。 01nnnnnnnnnzazazazX01nnnnnnzaza1111azazazazazaz112 nx zaaz10 zXaza1aa1练习练习5 5 nunnx0sin 1 1cos2sin 21 21sin0200000000zzzzezzezzjzeejznzXjjnnnjnjnn练习练习6 6 nubnnxn 2211201001 bzbzbzbzzXbzbzznbzXznbznbzXnnnnnnnnn练习练习7 7 banbnanxnn 0,0, bzabzazbazzzaz

15、bzXnnnnnn2 1练习练习8 8121 121611,11 11-N1,11 1110102202110010NNnNNNnaanaaaNaanaaaaaaaNnNnnnNNNnnnnNNnn计算计算 Z Z 变换时变换时常用的级数公式常用的级数公式 n Nnunun111zzNN0z nun111 zz1nun111 zznzz111121 z序号序列序列收敛域11all z2345常用的常用的 Z Z 变换公式变换公式Z Z 变换变换1.6.4 Z 1.6.4 Z 变换的性质变换的性质 nbynax zbYzaX,min,maxyxyxRRzRRmnx zXzmxxRzR nxanz

16、aX1xxRazRa11nx 1zX11xxRzR性质性质序列序列Z Z 变换变换收敛域收敛域线性线性位移位移乘以指乘以指数序列数序列折叠折叠 nx zXxxRzR nnx dzzdXzxxRzR zXxz lim0 zXxz0lim0 1limlim1zXznxzn共轭共轭乘以乘以时间时间初值初值定理定理因果序列因果序列逆因果逆因果序列序列 因果序列因果序列Z 变换的性质（续）终值终值定理定理 nynx zYzX,min,maxyxyxRRzRR nynx CdvvvYvzXj121yxyxRRzRR ncdvvvYvXjnynx1*121yxyxRRzRR nxRe *21zXzXxxRz

17、R nxIm *21zXzXjxxRzR卷积卷积复卷积复卷积定理定理帕什瓦帕什瓦关系关系复序列复序列的实部的实部Z 变换的性质（续）复序列复序列的虚部的虚部1.7 1.7 系统函数系统函数 nnjjenheH zXzYznhzHnn线性移不变系统的描述方法：线性移不变系统的描述方法：（1 1）冲激响应：）冲激响应： 输入时系统的输出输入时系统的输出（2 2）频率响应：）频率响应： 的傅里叶变换的傅里叶变换（3 3）系统函数：）系统函数： 的的Z Z变换变换 nh nh n nh（1 1）卷积和关系）卷积和关系 kkkhknxknhkxny（2 2）线性常系数差分方程关系）线性常系数差分方程关系

18、MrrNkkrnxbknya00（3 3）频域中的乘积关系）频域中的乘积关系 jjjeHeXeY zHzXzY（4 4）Z域中的乘积关系域中的乘积关系练习练习 843121211zzzzH（1 1）画出极点）画出极点-零点图零点图（2 2）求收敛域并讨论系统的稳定性）求收敛域并讨论系统的稳定性 214121843121211zzzzzzzzH（1）极点：极点：零点：零点：21z , 021z21z ,4121z极点极点-零点图零点图(a) 1843121limlim211zzzzHzzstable is system the21 z(b)stablenot is system the410 z(c) stablenot is system the2141 z（2 2） 0814321lim 843121limlim2021100zzzzzzzzHzzz练习练习 下图所示为一因果系统下图所示为一因果系统（1）写出系统的差分方程）写出系统的差分方程（2）画