抛物线顶点坐标的求法(公式法)

1、抛物线顶点坐标的求法（公式法）1、二次函数表达式的 “一般形式”为; 李丹与王涓（2019届bobo） 2、二次函数表达式的“配方形式”为 ;一、怎样由“公式法”来求抛物线的顶点坐标 一21、先把 一般形式 的二次函数y ax bx c （ a 0）转化成 配万形式为,再依据由“配方式”看顶点坐标的方法，可知其顶点坐标 为,我们把这个“坐标结论”称为二次函数的“顶点坐标公式”、求二次函数y 2x2- 5x 3的顶点坐标以及最值？ b解：由顶点坐标公式得：x而播2a24ac by顶纵一：；4a顶点坐标为；又; 抛物线开口向 ,有最 点，：y有最 值；即：当x 时， ;2、求二次函数y 2x 12

2、x13的顶点坐标，并对函数的增减性作出描述？ b解：由顶点坐标公式得：x顶横-2a，把x顶横 代入函数表达式得： y顶纵 ；顶点坐标为；又;抛物线开口向,所以，在对称轴的左侧，即当自变量 x 时，y的值随x的增大而2、求二次函数y 2x在对称轴的右侧，即当自变量 x 时，y的值随x的增大而12x13的顶点坐标、并在当4Vx 5时，求函数y的最值?解：由顶点坐标公式得：x顶横 2a可设抛物线的表达式为：y x,则顶点坐标为原表达式化为配方式为 又x顶横 ,不在“ 4Vx 5”的范围内，： 函数y的最值“不在”顶点处取, 由图形可知，当 x 时，ymin 变式：如果把“ 4Vx 5”改为“ 4 x

3、 5”，问y有最大值吗？答： ;点评：第题是严格运用“顶点坐标”公式，分别求 x顶横和y顶纵（不妨命名为：全求分别法）；第题是先求x顶横，然后代入函数表达式，再求出 y顶纵（不妨命名为：半求代入法）；第题是先求x顶横，然后“拼凑”出配方式，再求出y顶纵k （不妨命名为：半求拼凑法）；以上“三种”方法，请根据实际情况灵活选择，以便于计算作为“选择依据”！ ！二、怎样由“交点式”来求抛物线的顶点坐标1、基本事实依据：什么叫抛物线的对称轴？答：第一种说法，经过抛物线的顶点，且垂直于 轴的直线，叫做抛物线的对称轴； 第二种说法，抛物线上任意一对“对称点”连线的 线，叫做抛物线的对称轴；2、二次函数的表

4、达式的“交点形式"为y ax x1 x x2 （a 0）.其中，“ a值”与“一般形式" y ax2 bx c（ a 0）中“ a值”的相等，而“ x1、x2 ”分别代表抛物线y ax2 bx c（a 0）与x轴的交点横坐标，即是说“ x1、x2 ”是一元二次方2程ax bx c 0 （a 0）的二根，所以抛物线的“交点形式”,也可称“二根形式”。23、重要思路 ：如果抛物线y ax bx c（a 0）与x轴有两个交点，分别为 A（x1, 0）、b （ x2, 0）,那么线段AB的“垂直平分线”必为抛物线的 ,这条对称轴的表达式为：直线x x1广也 x顶横（关于这一结论，可

5、以通过举例，来加以理解！）。知道了 x顶横，就可以根据表达式 y a x-x1 x-x2 ,利用“半求代入法”,求出“ y顶纵”,岂不快哉！如此一来，也能“又快、有准”地写出“配方形式"y a x h 2 k ,岂不美哉！、求二次函数y 3x-1 x 6的顶点坐标以及最值，并把解析式化为配方式.到百计抛物线：y 3 x-1 x 6解：联乂3x 轴：y 0得：3x 1 x 60,解得：x1, x2 ；抛物线的对称轴为：直线 x ；把x顶横 代入y 3 x 1 x 6,得y顶纵 ；顶点坐标为，;当x 时， ；则抛物线的配方形式为；、求抛物线y 9x2 6x 1的顶点坐标，并在 一1 x&

6、lt; 4的范围内，求函数y的最值?、某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足关系：m 140 2x,（1）、写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式；（2）、如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？4、提出问题：如果抛物线y.2ax bx c ( a0）与x轴“没有交点”，那么怎样由“交点式”“某条直线”：如ym有两个交点,来求抛物线的顶点坐标呢？思路：假设抛物线与平行于 x轴的则联立 抛物线：y ax2 bx cx 轴：y m22得：ax bx c m,即：

7、ax bx c-m 0,设此方程的二根为 x1、x2,一.原始bb由韦达te理可知： x1 x 2 j-,1 2 原始aam）、点 b（ x2,m ）必然是抛物线上的一对“对称点”x Xc b .对称轴为：直线X >2 2也 X顶横2 2ab 2.然后把x顶横代入抛物线表达式 y ax bx c可得：y顶纵2a:抛物线的顶点坐标为；,24ac b4a启示：无论抛物线与x轴是否有公共点，其顶点横标，即对称轴直线“永远”为:x顶横b2a再借“三法之一”就可求出顶点的纵坐标！ !三、应用练习21、函数y x 3x 7化为配方式为 ,可知顶点坐标为 ,当x 时，y有最 值为；2、抛物线y - x

8、-3 x 5先向右平移3个单位，再向下平移 2个单位后，所得新抛物线的表达式为,新抛物线的顶点坐标为 ；23、已知点 A（ 6, y1 ）、B（ 5 , y2 ）、C（ 1, y3）在抛物线 y a x 4 k 上，且直线 y ax经过第二、四象限，试比较 y1、y2、y3的大小关系 （用来连接）；4、抛物线y 3 x-6 x-3的顶点坐标为 ,当自变量x的取值范围满足：2 x<5时，函数y的取值范围满足：；25、已知抛物线y ax bx c的对称轴是直线x 2,函数y的取值范围是y 9,则抛物线的开口向,若抛物线与y轴的交点坐标是（0, 3）,则抛物线的表达式 为，它与x轴的两个交点的坐标为 ；6、已知抛物线 y ax2 bx c与y 2x2 x的开口方向相反，开口大小程度一样，且它与直线y3的两个交点的横坐标分别为一5和一1,则抛物线的表达式为 它与x轴的两个交点