（人教B版必修5）第三章不等式本章回顾学案（含答案）

1、本章回顾1不等式的基本性质(1)比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有ab>0a>b；ab0ab；ab<0a<b.另外，若b>0，则>1a>b；1ab；<1a<b.(2)不等式的性质对称性：a>bb<a；传递性：a>b，b>ca>c；加法法则：a>bac>bc；移项法则：ab>ca>cb；同向可加性：a>b，c>dac>bd；乘法法则：a>b，c>0ac>bc或a>b，c<0ac<bc；同向正数不等式可乘性：a

2、>b>0，c>d>0ac>bd；乘方法则：a>b>0，nN*an>bn；开方法则：a>b>0，nN*>.2不等式的解法(1)一元一次不等式的解法一元一次不等式axb>0 (a0)的解集为当a>0时，；当a<0时，.(2)一元二次不等式的一般形式为ax2bxc>0，或ax2bxc<0 (a0)一元二次不等式、一元二次方程及二次函数间的关系判别式b24ac>00<0方程ax2bxc0有两不等实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1x2无实根2 / 10二次函数yax2bxc (a&

3、gt;0)的图象不等式ax2bxc>0 (a>0)的解集x|x<x1，或x>x2x|xR不等式ax2bxc<0 (a>0)的解集x|x1<x<x23.二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(1)二元一次不等式AxByC>0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧的平面区域(半平面)且不含边界直线；不等式AxByC0所表示的平面区域(半平面)包含边界直线(2)对于直线AxByC0同一侧的所有点(x，y)，使得AxByC的值的符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式AxByC>0(或AxByC<0)，而位于

4、另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式AxByC<0(或AxByC>0)(3)判断不等式AxByC>0所表示的平面区域，可在直线AxByC0的某一侧的半平面内选取一个特殊点，如选原点或坐标轴上的点来验证AxByC的符号的正负当C0时，常选用原点(0,0)；当C0时，选用点(1,0)或(0,1)这种方法概括为“直线定边界，特殊点定区域”4均值不等式及常用变形(1)对于任意实数a、b，都有a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立(2)如果a0，b0，那么，当且仅当ab时，等号成立(3)设a，b为正实数，则有：mina，b maxa，b(4)若ab>0，则2.(5)a，b

5、R，都有ab成立(6)a，b，cR，都有a2b2c2abbcca.一、分类讨论思想在解含参数不等式中的应用例1解关于x的不等式ax2(a1)x1<0.分析先求出相应方程的根，再就两根的大小进行讨论解原不等式可化为(x1)(ax1)<0.(1)当a0时，原不等式化为x1<0，x>1，所以原不等式的解集为x|x>1；(2)当a<0时，原不等式化为(x1)>0，又<0，x<或x>1，所以原不等式的解集为；(3)当a>0时，原不等式化为(x1)<0，对应方程(x1)0的两根为1和.当0<a<1时，>1，1<

6、x<；当a1时，原不等式可化为(x1)2<0，无解；当a>1时，<1，<x<1.综上所述，当a<0时，原不等式的解集为；当a0时，原不等式的解集为x|x>1；当0<a<1时，原不等式的解集为；当a1时，原不等式的解集为；当a>1时，原不等式的解集为.二、数形结合思想在线性规划中的应用例2已知实数x，y满足(1)若z2xy，求z的最大值和最小值；(2)若zx2y2，求z的最大值和最小值；(3)若z，求z的最大值和最小值分析表示点(x，y)与原点(0,0)的距离，表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率解不等式组表示的平面区域如图

7、所示图中阴影部分即为可行域由得A(1,2)；由得B(2,1)；由得M(2,3)(1)z2xy，y2xz，当直线y2xz经过可行域内点M(2,3)时，直线在y轴上的截距最大，此时z也最大，zmax2×237.当直线y2xz经过可行域内点A(1,2)时，直线在y轴上的截距最小，此时z也最小，zmin2×124.所以z的最大值为7，最小值为4.(2)过原点(0,0)作直线l垂直直线xy30，垂足为N，则直线l的方程为yx，由得N，点N在线段AB上，也在可行域内此时可行域内点M到原点的距离最大，点N到原点的距离最小又OM，ON ，即 .x2y213，所以，z的最大值为13，最小值为

8、.(3)kOA2，kOB，2，所以z的最大值为2，最小值为.三、分离参数在恒成立问题中的应用例3设函数f(x)lg ，其中aR，nN*且n2，如果当x(，1时，f(x)有意义，求a的取值范围解由题意知，当x(，1时，12x3x(n1)xnx·a>0恒成立(nN*且n2)所以a>，令g(x)，因为函数yx (1kn1)在(，1上递增，所以g(x)在(，1上递增，所以g(x)g(1)(n1)，所以a>(n1)即为所求例4若关于x的方程4xa·2xa10有实数解，求实数a的取值范围解令2xt>0，换元后转化为一元二次方程在(0，)上有实数解求a的范围，另外

9、若将参数a分离出来，则问题转化为求函数值域问题，用均值不等式很容易求解令2xt>0，原方程化为t2ata10a2222.a的取值范围是a2.四、函数单调性在求最值中的应用例5已知a，b为正实数，且ab1，求y的最小值解yabababab2.令abt，ab1，ab.t，yab2t2在上单调递减，ymin82.当且仅当t，ab，即ab时取“”例6(综合应用)某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示)如果池四周围墙建造单价为400元/m，中间两道隔墙建造单价为248元/m，池底建造单价为80元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计(1)试设计污水处理池的长和宽，

10、使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16 m，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价分析首先把造价表示为某一变量的函数，再利用均值不等式、函数单调性等知识求出最小值解设污水处理池的长为x m，则宽为 m，再设总造价为y元，则有(1)y2x×400×2×400248×2×80×200800x16 000216 0002×800×1816 00044 800，当且仅当800x，即x18 m时，y取得最小值当污水池的长为18 m，宽为 m时总造价最低，为44 800元

11、(2)0<x16,0<16，12.5x16，x18，不能用均值不等式，但我们可用函数单调性定义证明上述目标函数在区间12.5,16上是减函数，从而利用单调性求得最小值由(1)知，y(x)80016 000 (12.5x16)对任意x1、x212.5,16，设x1<x2，则(x1)(x2)800>0.(x1)>(x2)，故y(x)在12.5,16上为减函数从而有(x)(16)45 000，当污水池的长度为16 m，宽为12.5 m时有最低总造价，最低总造价为45 000元五、放缩法在证明不等式中的应用例7已知0<a<1，x2y0，求证：loga(axay

12、)loga2.证明0<a<1，左边loga(axay)loga(2)loga2logaaloga2(xy)loga2(xx2)loga22loga2右边loga(axay)loga2.六、比较法在证明不等式中的应用例8如果a2b2c21，a，b，c是实数，试证：abbcca1.证明先证：abbcca11(abbcca)(a2b2c2)(abbcca)(a2b22ab)(b2c22bc)(c2a22ca)(ab)2(bc)2(ca)201abbcca即abbcca1.再证：abbcca.abbccaabbccaabbcca(a2b2c22ab2bc2ca)(abc)20.abbcca

13、.即abbcca综上所述，abbcca1.1灵活拆项求函数最值例1求函数y的最小值解y.24.当且仅当，即x0时，取到最小值4.因为，当x0时，取到最小值.所以，ymin4.当且仅当x0时取到这一最小值2分数的小性质有着大用途例2求证：····<.证明由真分数的性质知：<<<<<<<<设A·····B·····易知：0<A<B，A2<AB.即2<·2<········即2<<····<.3利用一次函数的保号性证明不等式例3设|a|<1，|b|<1，|c