平面向量的等和线问题

1、平面向量复习课(2)平面向量共线定理：已知页=WB + 还,若;I + “ = 1,贝!)A,B,C三点共线，反之亦然. 等和线：平面内的一组基底OA,OB任一向量丽，丽= WA + “面， 若点P在直线AB上或平行于AB的直线上，则2 + “二氐(定值)， 反之亦成立我们把直线AB或平行于AB的直线叫做等和线.(1) 当等和线恰为AB时山=1；(2) 当等和线恰在O点与AB之间时，氐g (0,1)；(3) 当直线AB在O点与等和线之间时，氐g (1,+s);(4) 当等和线过O点时,k = 0;若两等和线关于O点对称，则定值互为相反数；利用三点共线求参数和范围 例1如图,ABCD与AABC的

2、面积之比为2,点P是 区域ABCD内任意一点（含边界），且I?二AAB + pAC（兄，“wR）,则兄+ “的取值范围是（）40,1?B.0,2? C0,3?D0,4|解:过点尸作GHUBC.AC.AB的延长线于G，H，则OP = xAG + yAHx + y -1，当点P位于D点时分别位于ABCD与AABC的面积之比为2八AC1 = 3AC.AB1 = 3AB所以，OF 二 xAG + yAH - xAC' yAB' - xEHHC + jEBDAB = AAB + juAC所以丿=3y，“ = 3兀二 兄+ “ = 3兀+ 3y二3 当点P位于A点时，显然有：;I + “

3、= 0,所以，选CCr例1 - 2如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中,P是ACDEfy（含边界）的动点，设向量AP=mAB+nAF（加/为实数）侧加+兀的取值范围是（解：当点P位于D点时，AP = A£> = 2BC 二 2AB + 2AF丿 + “二2+2二 4 当点F位于直线CE上，如C,E,H点时，AP = -BC = -AB + -AF92+h = 32 2 2EDAB所以，选C.例1 -3如图,四边形OABC是边长为啲正方形，点D在04 的延长线上，且0D二2,点F为ABCDrt（含边界）的动点，设帀二aOC + 0而，则a + 0的最大值等于解：当点P位于B点

4、时，过B作GH/BC,分别交的延长线于 贝屈 = OB = 2而 + 迈瓦且2 +1，由几何知识可知，四边形BCDH为平行四边形， 所以，CG = -OC.DH = -OD2 2所 ,OP = OB = AOG + pOH =-AOC +2fiOD aOC + pOD33所以，a = § m33AD、H所以，a + 0 二( + /z) = 例1-4给定两个长度为1的平面向量鬲和而，它们的 夹角为120°如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动若况二xOA + yOBx,y g R,则兀+y的最大值 是=.O y解法1：当点C位于D点时，OD - OA + OB x =丿

5、二 1,所以 9工 + 丿=2解法2:设ZAOC = a,OC OA = xOA OA + yOB OA9©、XOC OB = xOA OB + yOB OB,1cosa = x- y2cos(l20° - a)-x + yx +j = 2cosa + cos(120° a) = cosa +VJsina = 2sin(a + ) < 26解法 3:设 O C 与 AB 交于= 乂?硕=xOA + yOBOMM9A9B共线x + y - 1，即兀 + y =>，= t> '(x + y) =- OM OMIOM lmin例1 -5设长方形

6、边长分别是AD二1,AB二2,点F在ABCD内部和边界上运动，设AP = xAB+yADf贝!J的兀+ 2y取值范围是（41,2?B.l,3? C2,3?D0,2解:AP = xAB + yAD = xAB + 2y AD = xAB + 2yAE, 如图,连BE,当点F在B点时，三点B,E,P共线， 且丽= AB,即兀 + 2y = 1 + 0 = 1，AB当点P 在C 点时，丽=AC = AB + 2AE = xAB + 2yAE, 所以，兀+ 2y = l + 2 = 3,选B例1 - 6 如图所示,A,B,C是圆0上的三点,CO的延长线与线段B4的延长线交于圆O外的点0若況=mOA+nOB,则加+ 的取值范围是（A.(Ol)； B.(l，+oo)； C(oo，1)； £)(10)解：因为三点共线，所以，而=AOA + “而，且2 + “二1， 又由已知可设而=-xOC,其中兀 h.-xOC = AOA + pOB.即：OC -OA-OBmOA + nOBx x所以，721 n (a + “)= G (1，0)XXcB如例7 在平面直角坐标系中,0为坐标原点,两定点A,满足 0A=0B 1= 0AWB = 2,则点集P0P =