平面向量数乘运算及其几何意义

1、!3向量数乘运算 及其几何意义1.向量加法三角形法则:2.向量加法平行四边形法则:特点:首尾顺次连，起点 指终点特点:起点相同，对角为和a A3.向量减法三角形法则:特点：平移同起点，方向指被减B作一作，看成果已知非零向量作出a + a + a，你能发现什么?与Q方向相同 即 3a =3类比上述结论,（-a）+（-a）+（-a）又如何呢?p _3方一3&与a方向相反 即 一3° = 3 a一般地，我们规定实数入与向量方的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘，记作免方, 规定如下：它的长度和方向 I A,a 1=1 AII6? I;(2)当2()时，的方向与a的方向相同; 当2

2、 < 0时，肪的方向与云的方向相反。特别的，当2 = 0时况方=0练一练：书本卩90,练习2,3(1) 根据定义，求作向量3(&)和(6h)(6为非零向量)，労进行比较。_(2) 已知向量求作向量2(a+b)和&+2b, 并进行比较。_丿 3(25)2(云+方)=2云+ 2b2a向量的数乘运算满足如下运算律：A, “是实数，ff(1) ；1(中)=(")°；fff(2) (/1 + 小 a =+ “a； *(3) 免(a + )=兄。+ 兄.特别地：(-2)。=久(-町兄(a _ »)=加_处向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算例1、计

3、算下列各式(1)(3) x = -12a(2)30+b) 20 b) 0 =5b(2a+3b-c)-(3a-2b+c)a + 5b 2c练一练：书本P90,练习5思考：（1）若& = Aa（a丰6）,则°,&位置关系如何?b II a（2）若Z/d（d h 6）,贝1S二加是否成立？成立向量共线定理:向量Q（Q丰6）与牍线，当且仅当有唯一一个实数2, 使乙=Xa.即°与触线<=> b = 2。（。丰6）思考;1）&为什么要是非零向量?2） b可以是零向量吗？练一练:书本P90,练习4例2如图已知辰3陌 DE3BC；试判断AC写AE是否共线

4、。c：'AE =AD+DE a= 3AB+3BC= 3（AB+BC）EB= 3AC:.AC AE共线.例3如图，已知任意两个向量方、乙，试作0A = q + 5,OB = a + 2b,OC = a + 3b.你能判断A、B、C三点之总结:证明三点共线的方法:A*B,C三点共线已知两个非零向量弓和幺2不共线，如果AB = 2弓 + 3e2BC = 6e1 + 23e2,CD = 4 幺8e2? 求证：4、B、D三点共线.升 提 力 匕匕 厶rm设石疋2是两个不共线的向量而=2石+阪岳二才+3石, CD = 2e-7f若A、B、D三点共线，求k的值例5如图，平行四边形ABCD的两条对角线

5、相交于点M,且AB = a,AD = b，你能用Q、方来表示顾祐、融和呪5练一练：书本P92,11题课堂基础达标1下列命题中正确的有 (一5)(62) = 30：； 7(2 + 5) + 6 方=7 方+13 3； 若a = m ?i ib = 3Cm 九)，则2与”共线;(D)4 个 (a 5 b) + (a + 5 &) = 2 a ,则a 乙.(A)l 个 (B)2 个(03 个2.点C在线段AB上,且AC(A)yBC(C)寻加 o4-aiL则aJ等于（n）（B）yBC（d）-4bc3. 已知实数m .n,向量a，方，给岀下列命题;加（u 一 b= m a 一 m b厂、>

6、>>C2）（m n）a = m a n a 若m a = m b，则：=b若a =兀a （ a工6）今则m = n. 其中正确命题的序号是在矩形ABCD中。为AC.BD的交点，若BC3a, DC =4 厶，则人64(3 2 + 4 /；)4. (1)化简a 3 方)+£一*-(6 a 7 ")；334(2)设向量 a 3 i2 j ；b = 2 i j,求 5) (a9/. > 6) + (2 b a)3 (42)a +(-342 , 5 >11->、5亠lly=(a /32122=3“b18、 1(2)原式= a b-d + -|-6 + 2 b>a1 、一 (o 1 l)a-+ (-1+ 2)633rr0 - 1 0 T3a+ 3hj + 2 j)+5 (23-(5+；)汩103-5 ) J =3 "5 -r3厂o.i > o >7 t【解析】(1)原式=亍(4 a3 b- b-ar b)5j2丿)小结:、入a的定义及运算律向量共线定理(a*0)b =Aa向量a与b共线定理的应用:2.3.