第3章 土中应力分布及计算

1、本课程中所有计算均可取本课程中所有计算均可取g=10m/sg=10m/s2 2w w=10kN/m=10kN/m3 3土中应力分布及计算第三章第三章：土中应力分布及计算第三章：土中应力分布及计算u自重应力计算自重应力计算u基底接触压力计算基底接触压力计算u土中附加应力计算土中附加应力计算2第四章第四章 土的压缩性与地基沉降计算土的压缩性与地基沉降计算u土的压缩试验（固结试验、平板荷载试验、旁压试验）土的压缩试验（固结试验、平板荷载试验、旁压试验）u地基沉降计算（分层总和法）地基沉降计算（分层总和法）u有效应力原理、渗流固结理论有效应力原理、渗流固结理论第五章第五章 土的抗剪强度土的抗剪强度uM

2、-C强度理论、极限平衡理论强度理论、极限平衡理论u直剪试验、三轴试验、无侧限抗压强度试验、十字板直剪试验、三轴试验、无侧限抗压强度试验、十字板剪切试验剪切试验u孔压系数、应力路径、应力历史孔压系数、应力路径、应力历史力力变形变形本构关系本构关系33 土中的应力分布及计算强度问题强度问题变形问题变形问题地基中的应力状态地基中的应力状态应力应变关系应力应变关系土力学中应力符号的规定土力学中应力符号的规定应力状态应力状态自重应力自重应力附加应力附加应力基底压力计算基底压力计算建筑物修建以后，建筑物建筑物修建以后，建筑物重量等外荷载在地基中引重量等外荷载在地基中引起的应力，所谓的起的应力，所谓的“附加

3、附加”是指在原来自重应力基础是指在原来自重应力基础上增加的压力。上增加的压力。建筑物修建以前，地基建筑物修建以前，地基中由土体本身的有效重中由土体本身的有效重量所产生的应力。量所产生的应力。 集中力集中力 分布荷载分布荷载43.1 3.1 概述概述 应力状态应力状态? 3.2 ? 3.2 土的自重应力计算土的自重应力计算? ? 3.3 3.3 基础底面压力分布和计算基础底面压力分布和计算? ? 3.4 3.4 集中力作用下土中应力计算集中力作用下土中应力计算? ? 3.5 3.5 分布荷载作用时的土中应力计算分布荷载作用时的土中应力计算3 土中的应力分布及计算53.1 3.1 概述概述3 土中

4、的应力分布及计算一一. . 土中的应力按原因可分为：土中的应力按原因可分为：(1)(1)由土本身有效自重在地基内部引起的由土本身有效自重在地基内部引起的自重应力自重应力; ;(2)(2)由外荷由外荷( (静荷载或动荷载静荷载或动荷载) )在地基内部引起的在地基内部引起的附加应力附加应力。土体中应力状态土体中应力状态发生发生变化变化引起地基土的变形，导致引起地基土的变形，导致建筑物的沉降，倾斜或水建筑物的沉降，倾斜或水平位移。平位移。当应力超过地基土的强度时，当应力超过地基土的强度时，地基就会因丧失稳定性而破地基就会因丧失稳定性而破坏，造成建筑物倒塌。坏，造成建筑物倒塌。3.1 3.1 概述概述

5、3 土中的应力分布及计算7均匀一致各向同性体均匀一致各向同性体（土层性质变化不大时）（土层性质变化不大时）线弹性体线弹性体（应力较小时）（应力较小时）连续介质连续介质（宏观平均）（宏观平均） 、E与与(x, y, z)无关无关与方向无关与方向无关 理论 方法弹性力学解弹性力学解求解求解“弹性弹性”土体中的应力土体中的应力解析方法解析方法优点：简单，易于绘成图表等优点：简单，易于绘成图表等3 土体中的应力计算碎散体碎散体非线性非线性弹塑性弹塑性成层土成层土各向异性各向异性p pe e线弹性体线弹性体加载加载卸载卸载3.1 3.1 应力状态应力状态二二. . 土的应力土的应力- -应变关系的假定应

6、变关系的假定 3.1 3.1 概述概述3 土中的应力分布及计算8yzxo一一. . 土力学中应力符号的规定土力学中应力符号的规定 三三. .应力状态应力状态x z y xy yz zx x y xy yz zx xz zy yx z ij = =地基：地基：半无限空间半无限空间3 土中的应力分布及计算9一. 土力学中应力符号的规定 3.1 3.1 概述概述x z xz zx x z xz zx 莫尔圆应力分析莫尔圆应力分析材料力学材料力学+-+-土力学土力学正应力正应力剪应力剪应力拉为正拉为正压为负压为负顺时针为正顺时针为正逆时针为负逆时针为负压为正压为正拉为负拉为负逆时针为正逆时针为正顺时针

7、为负顺时针为负3 土中的应力分布及计算二二. . 地基中常见的应力状态地基中常见的应力状态 yzxo1.1.一般应力状态一般应力状态三维问题三维问题x y xy yz zx xz zy yx z ij = =x y xy yz zx xz zy yx z ij = =x y xy yz zx z 3.1 3.1 概述概述3 土中的应力分布及计算11yzxo2. 2. 平面应变条件平面应变条件二维问题二维问题x y xy yz zx z x z xz zx ; 0y 0;0zxyzyx l沿长度方向有足够长度，沿长度方向有足够长度，L/B10；l垂直于垂直于y轴切出的任意断面的几轴切出的任意断面

8、的几何形状均相同，其地基内的应力何形状均相同，其地基内的应力状态也相同；状态也相同；l平面应变条件下，土体在平面应变条件下，土体在x, z平平面内可以变形，但在面内可以变形，但在y方向没有方向没有变形。变形。二. 地基中常见的应力状态 3.1 3.1 概述概述3 土中的应力分布及计算122. 2. 平面应变条件平面应变条件二维问题二维问题应变条件应力条件独立变量; 0y 0EEzxyy zxy )z, x(F;,;,xzzxxzzx 二. 地基中常见的应力状态 3 土体中的应力计算3.1 3.1 应力状态应力状态x y xy yz zx xz zy yx z ij = =x y xy yz z

9、x xz zy yx z ij = =0 00 00 00 00 00 00 00 00 0y 0;0zxyzxy 3.1 3.1 概述概述3 土中的应力分布及计算133.3.侧限应力状态侧限应力状态一维问题一维问题水平地基水平地基半无限空间体；半无限空间体；半无限弹性地基内的自重应力只与半无限弹性地基内的自重应力只与Z Z有关；有关；土质点或土单元不可能有侧向位移土质点或土单元不可能有侧向位移侧限应变条件；侧限应变条件；任何竖直面都是对称面任何竖直面都是对称面, ,X,YX,Y平面处于同等地位平面处于同等地位应变条件; 0 xy 0zxyzxy ABsBsA 3 土体中的应力计算3.1 3.

10、1 应力状态应力状态二. 地基中常见的应力状态 yzxo3.1 3.1 概述概述3 土中的应力分布及计算14应变条件应力条件独立变量; 0 xy 0zxyzxy ; 0zxyzxy ; 0EEzyxx ;K1z0zyx ;yx)z(F,zz 3.3.侧限应力状态侧限应力状态一维问题一维问题3 土体中的应力计算3.1 3.1 应力状态应力状态二. 地基中常见的应力状态 x y xy yz zx xz zy yx z ij = =x y xy yz zx xz zy yx z ij = =0 00 00 00 00 00 00 00 00 0y 0 00 00 00 00 0 x K K0 0：侧

11、压力系数：侧压力系数理论研究和工程实践中广泛应用理论研究和工程实践中广泛应用3.1 3.1 概述概述3 土中的应力分布及计算 建筑地基基础设计时必须计算地基变形，且必须将其控制在允建筑地基基础设计时必须计算地基变形，且必须将其控制在允许范围内。为此，首先要计算地基应力。许范围内。为此，首先要计算地基应力。 地基应力包括：地基应力包括： 1、自重应力自重应力土本身自重引起，在建筑物建造前即存在。土本身自重引起，在建筑物建造前即存在。 2、附加应力附加应力建筑物荷载引起，一般采用弹性理论计算。建筑物荷载引起，一般采用弹性理论计算。 地基应力改变是引起建筑物基础沉降的主要原因，地基的稳地基应力改变是

12、引起建筑物基础沉降的主要原因，地基的稳定也与应力密切相关。因此必须重视应力的计算。定也与应力密切相关。因此必须重视应力的计算。3.1 3.1 概述概述3 土中的应力分布及计算三三. . 地基中应力的分类地基中应力的分类 163土中的应力分布及计算 3.1 3.1 概述概述 应力状态应力状态 3.2 3.2 土的自重应力计算土的自重应力计算? ? 3.3 3.3 基础底面压力分布和计算基础底面压力分布和计算? ? 3.4 3.4 集中力作用下土中应力计算集中力作用下土中应力计算? ? 3.5 3.5 分布荷载作用时的土中应力计算分布荷载作用时的土中应力计算3.23.2 土的自重应力计算土的自重应

13、力计算均质土的自重应力均质土的自重应力假定：假定：水平地基水平地基半无限空间体半无限空间体半无限弹性体半无限弹性体 侧限应变条件侧限应变条件一维问题一维问题定义：定义：在修建建筑物以前，地基中由土体本身的有效重量而产生的应力。在修建建筑物以前，地基中由土体本身的有效重量而产生的应力。目的：目的：确定土体的初始应力状态确定土体的初始应力状态计算：计算：地下水位以上用天然重度，地下水位以下用浮重度地下水位以上用天然重度，地下水位以下用浮重度3土中的应力分布及计算1 12233;czhhhcziih成层地基成层地基1.1.计算公式计算公式均质地基均质地基czW FzF Fz竖直向：竖直向：0cxcy

14、czK00cxcycziiKKhz1h2h3h3.23.2 土的自重应力计算土的自重应力计算czz水平向：水平向：01K竖直向：竖直向：水平向：水平向：重度：重度：地下水位以上用天然重度地下水位以上用天然重度 地下水位以下用浮重度地下水位以下用浮重度2 23 31 13土中的应力分布及计算2. 2. 分布规律分布规律自重应力分布线的斜率是重度；自重应力分布线的斜率是重度；自重应力在等重度地基中随深度呈直线分布；自重应力在等重度地基中随深度呈直线分布；自重应力在成层地基中呈折线分布；自重应力在成层地基中呈折线分布；在土层分界面处和地下水位处发生转折。在土层分界面处和地下水位处发生转折。 均质地基

15、均质地基1 2 2 )(21 成层地基成层地基3.23.2 土的自重应力计算土的自重应力计算3土中的应力分布及计算3.23.2 土的自重应力计算土的自重应力计算3土中的应力分布及计算三三. . 有地下水时土中自重应力计算有地下水时土中自重应力计算 当计算地下水位以下土的自重应力时，应根据土的当计算地下水位以下土的自重应力时，应根据土的性质性质确定是否需要考确定是否需要考虑水的虑水的浮力浮力作用。作用。 通常认为水下的通常认为水下的砂性土砂性土是应该考虑浮力作用的。是应该考虑浮力作用的。3.23.2 土的自重应力计算土的自重应力计算3土中的应力分布及计算3.23.2 土的自重应力计算土的自重应力

16、计算3土中的应力分布及计算天然地面天然地面h1h2h3 3 3 2 2 1 1 水位面水位面 1 h1 1 h1 + 2h2 1 h1 + 2h2 + 3h3 1ncziiih地下水位位于同一土层中，地下水位位于同一土层中，计算自重应力时，地下水位计算自重应力时，地下水位面应作为分层的界面面应作为分层的界面3.23.2 土的自重应力计算土的自重应力计算3土中的应力分布及计算2m2m3m3m粉质粘土粉质粘土r=18.6kN/mr=18.6kN/m3 3r rsatsat=18.8kN/m=18.8kN/m3 3砂质粘土砂质粘土r=18.1kN/mr=18.1kN/m3 3r rsatsat=18

17、.4kN/m=18.4kN/m3 337.537.5kPkPa a91.591.5kPkPa aa ab bc c【例题例题3-13-1】某土层及其物理性质指标如图某土层及其物理性质指标如图3-63-6所示，计算土中自重应所示，计算土中自重应力并绘出分布图。力并绘出分布图。 情况情况1 1：没有地下水；：没有地下水； 情况情况2 2：地下水位在地表下：地下水位在地表下1.0 m1.0 m。 图图3-6 3-6 例题例题3-13-1图（没有地下水）图（没有地下水）【解解】情况情况1 1：没有地下水：没有地下水第第1 1层：层： a a 点：点：z z=0 m=0 m， b b 点：点： z z=

18、2 m =2 m kPazcz018.6 237.2czkPa18.6218.1 337.254.391.5czkPa3.23.2 土的自重应力计算土的自重应力计算3土中的应力分布及计算第第2 2层：层： c c 点：点：z z=5 m=5 m， 土层中的自重应力分布，如图土层中的自重应力分布，如图3-63-6所示。所示。第第1 1层：层： a a 点：点：z=0 mz=0 m， b b 点：点：z=1 mz=1 m， c c 点：点：z=2 mz=2 m，kPazcz018.6 118.6czkPa 18.6 1 (18.8 10) 118.68.827.4czkPa 18.6 1 (18.

19、8 10) 1 (18.4 10) 318.68.825.252.6czkPa 图图3-7 3-7 例题例题3-13-1图（有地下水）图（有地下水）3.23.2 土的自重应力计算土的自重应力计算3土中的应力分布及计算情况情况2 2：有地下水：有地下水第第2 2层：层： d d 点：点：z=5 mz=5 m，土层中的自重应力分布，如图土层中的自重应力分布，如图3-73-7所示。所示。253.2253.2kPkPa a2m2m8m8m4m4m水面水面粗砂粗砂r=19kN/mr=19kN/m3 3r rsatsat=19.5kN/=19.5kN/m m粘土粘土r=19.3kN/mr=19.3kN/m

20、3 3 r rsatsat=19.4kN/m=19.4kN/m3 3w=20%,ww=20%,wl l=55%,w=55%,wp p=24%=24%7676kPkPa a176176kPkPa aa ab bc c【例题例题3-23-2】计算如图计算如图3-83-8所示水下地基中的自重应力分布。所示水下地基中的自重应力分布。 图图3-8 3-8 例题例题3-23-2图图【解解】水下的粗砂层受到水的浮力作水下的粗砂层受到水的浮力作用，其有效重度：用，其有效重度： 粘土层因为粘土层因为w w w wp p, ,所以所以I Il l0,0,故认为土故认为土层不受水的浮力作用，土层面上还受层不受水的浮

21、力作用，土层面上还受到上面的静水压力作用。土中各点的到上面的静水压力作用。土中各点的自重应力计算如下：自重应力计算如下： a a 点：点：z z=0 m=0 m， b b 点：点： z z=8 m=8 m，该点位于粗砂层中，该点位于粗砂层中，3/5 . 9105 .19mkNwsat0czkPa76 10 10176czwwzhkPabb 点：点： z z=8 m=8 m，但该点位于粘土层中，但该点位于粘土层中 c c 点：点：z z=12 m, =12 m, 土层中的自重应力分布，如图土层中的自重应力分布，如图3-83-8所示。所示。9.5 876czzkPa 176 19.3 4253.2

22、czkPa3.23.2 土的自重应力计算土的自重应力计算3土中的应力分布及计算273 土体中的应力计算3.1 3.1 概述概述 应力状态应力状态3.2 3.2 土的自重应力计算土的自重应力计算3.3 3.3 基础底面压力分布和计算基础底面压力分布和计算？3.4 3.4 集中力作用下土中应力计算集中力作用下土中应力计算？3.5 3.5 分布荷载作用时的土中应力计算分布荷载作用时的土中应力计算3土中的应力分布及计算283.3 3.3 基底压力分布和计算基底压力分布和计算基底压力基底压力：基础底面传递基础底面传递给地基表面的压力，也称给地基表面的压力，也称基底接触压力基底接触压力。3 土体中的应力计

23、算基底压力基底压力附加应力附加应力地基沉降变形地基沉降变形基底反力基底反力基础结构的外荷载基础结构的外荷载上部结构的自重及各上部结构的自重及各种荷载都是通过基础种荷载都是通过基础传到地基中的。传到地基中的。影响因素影响因素计算方法计算方法分布规律分布规律上部结构上部结构基础基础地基地基建筑物设计建筑物设计v暂不考虑上部结构的影响，暂不考虑上部结构的影响，使问题得以简化；使问题得以简化；v用荷载代替上部结构。用荷载代替上部结构。3土中的应力分布及计算29一一. . 影响因素影响因素基底压力基底压力基础条件基础条件刚度刚度形状形状大小大小埋深埋深大小大小方向方向分布分布土类土类密度密度土层结构等土

24、层结构等3.3 3.3 基底压力计算基底压力计算3 土体中的应力计算荷载条件荷载条件地基条件地基条件30抗弯刚度抗弯刚度EIEI= = MM0 0；反证法反证法: : 假设基底压力与荷载分布相同，假设基底压力与荷载分布相同，则地基变形与柔性基础情况必然一致；则地基变形与柔性基础情况必然一致；分布分布: : 中间小中间小, , 两端无穷大。两端无穷大。二二. .基底压力分布基底压力分布弹性地基，绝对刚性基础弹性地基，绝对刚性基础基础抗弯刚度基础抗弯刚度EIEI=0 =0 M=0M=0；基础变形能完全适应地基表面的变形基础变形能完全适应地基表面的变形; ;基础上下压力分布必须完全相同，若不基础上下

25、压力分布必须完全相同，若不同将会产生弯矩。同将会产生弯矩。3.3 3.3 基底压力计算基底压力计算3 土体中的应力计算条形基础，竖直均布荷载条形基础，竖直均布荷载31弹塑性地基，有限刚度基础弹塑性地基，有限刚度基础3.3 3.3 基底压力计算基底压力计算3 土体中的应力计算二.基底压力分布 荷载较小荷载较小 荷载较大荷载较大砂性土地基砂性土地基粘性土地基粘性土地基 接近弹性解接近弹性解 马鞍型马鞍型 抛物线型抛物线型 倒钟型倒钟型32根据根据圣维南原理圣维南原理，基底压力的具体分布形式对地基应，基底压力的具体分布形式对地基应力计算的影响仅局限于一定深度范围；超出此范围以力计算的影响仅局限于一定

26、深度范围；超出此范围以后，地基中附加应力的分布将与基底压力的分布关系后，地基中附加应力的分布将与基底压力的分布关系不大，而只取决于荷载的大小、方向和合力的位置。不大，而只取决于荷载的大小、方向和合力的位置。3.3 3.3 基底压力计算基底压力计算3 土体中的应力计算三三. . 实用简化计算实用简化计算基底压力的基底压力的分布形式十分布形式十分复杂分复杂简化计算方法：简化计算方法：假定假定基底压力按基底压力按直线分布的材料力学方法直线分布的材料力学方法基础尺寸较基础尺寸较小小荷载不是很荷载不是很大大（kPa）FGpAF F = = 作用于基础上的竖向力设计值作用于基础上的竖向力设计值( (kNk

27、N) )G G = = 基础及其上回填土总重基础及其上回填土总重( (kNkN) ) 即即 ，其中，其中 kNkN/ /m m3 3 ，地下水位以下取有效重度，地下水位以下取有效重度 d d = = 基础埋深基础埋深 ( (m m) )，从设计地面或室内外平均设计地面算起，从设计地面或室内外平均设计地面算起A A = = 基底面积基底面积 ( (m m2 2) )，对矩形：，对矩形：A A = = lb lb ( (长长宽宽) )；对于条形基础：沿长；对于条形基础：沿长度方向取度方向取1 1单位长度计算单位长度计算 ( (即取即取 l l = 1)= 1)，故，故A A = = b b1= 1

28、= b bGGAd20G(一一) 中心荷载下的基底压力中心荷载下的基底压力式中：式中：3.3 3.3 基底压力计算基底压力计算3 土体中的应力计算 式中式中: M = (FG)e，作用于，作用于 基底的力矩设计值；基底的力矩设计值；e = 偏心距；偏心距； ，基础底面的抗弯截面模量。，基础底面的抗弯截面模量。 将将M = (F+G)e代入有：代入有：maxminpFGMplbW26blW maxmin61pFGeplbl（二）偏心荷载下的基底压力（二）偏心荷载下的基底压力 （1）单向偏心荷载下）单向偏心荷载下一般取基底长边方向与偏心一致。短边边缘最大和最小压力设计一般取基底长边方向与偏心一致。

29、短边边缘最大和最小压力设计值：（值：（材料力学材料力学中的中的短柱偏心受压短柱偏心受压公式）公式）3.3 3.3 基底压力计算基底压力计算3 土体中的应力计算当当e0，基底压力呈梯形分布，基底压力呈梯形分布 当当e=l/6时，时，pmax0，pmin=0，基底压力呈三角形分布，基底压力呈三角形分布 p pmaxmaxp pminminel/6时，时，pmax0，pminl/6p pmaxmaxp pminmin00p pmaxmaxp pminmin= =0 0基底压力重分布基底压力重分布3.3 3.3 基底压力计算基底压力计算3 土体中的应力计算 此时局部压力为负，如虚线所示。但由于地此时局

30、部压力为负，如虚线所示。但由于地基土不能承受拉力（即负压力，地基土将与基基土不能承受拉力（即负压力，地基土将与基础局部脱开），使基底压力重新分布。因此，础局部脱开），使基底压力重新分布。因此，根据偏心荷载应与基底反力相平衡的条件，荷根据偏心荷载应与基底反力相平衡的条件，荷载载 (F+G) 应通过三角形反力分布的形心（实线，应通过三角形反力分布的形心（实线，k = l/2 e），由此有：），由此有：p pmaxmaxp pminmin3()2leF+G2lemaxmax13()22232lepbFGFGple bPPmaxmax3.3 3.3 基底压力计算基底压力计算3 土体中的应力计算基础四个

31、角点处压力：基础四个角点处压力：式中，式中，Mx，My = 荷载合力分别对荷载合力分别对 x 和和 y 轴的力矩设计值，即：轴的力矩设计值，即： Mx = ey (F+G)，My = ex (F+G)；maxminyxxypMMFGplbWWyyxxWMWMlbGFpp2126xlbW 26yblW （2 2） 双向偏心双向偏心下的基底压力下的基底压力3.3 3.3 基底压力计算基底压力计算3 土体中的应力计算 三、三、 基底附加压力基底附加压力00cpppd式中：式中：p p 基底地基反力，为区别与附加压力，又称基底总压力；基底地基反力，为区别与附加压力，又称基底总压力； 土中自重应力标准值

32、，基底处土中自重应力标准值，基底处: : 基础底面标高以上天然土层的加权重度，基础底面标高以上天然土层的加权重度， 其中地下水位下土层的重度取有效重度；其中地下水位下土层的重度取有效重度； d d 基础埋深，简称基础埋深，必须从天然地面算起。基础埋深，简称基础埋深，必须从天然地面算起。0/i iihh0()cd kPac0基底附加压力基底附加压力：基础及上部结构在基底平面处产生的新基础及上部结构在基底平面处产生的新( (净净) )压力。压力。因为地基土中存在自重应力。因此，基底平面处的土体在建筑物因为地基土中存在自重应力。因此，基底平面处的土体在建筑物建造前即已经受了该处自重应力建造前即已经受

33、了该处自重应力( (或即该平面以上上覆土重或即该平面以上上覆土重) )的作的作用，而前面所述的基底压力显然包含着这部分应力。因此，在用，而前面所述的基底压力显然包含着这部分应力。因此，在基基底压力底压力中中扣除基底平面处原有的自重应力扣除基底平面处原有的自重应力，才是新增加于基底平，才是新增加于基底平面处的附加压力面处的附加压力( (即净压力即净压力) )。此即。此即基底附加压力基底附加压力 p p0 0，故有：，故有：1 122012hhhh其中：3.3 3.3 基底压力计算基底压力计算3 土体中的应力计算【例例】一墙下条形基础底宽一墙下条形基础底宽1m,1m,埋深埋深1m,1m,承重墙传来

34、的竖向荷载为承重墙传来的竖向荷载为150kN/m,150kN/m,试试求基底反力求基底反力p p【解解】)(1701201150kPadbFAGFpG3.3 3.3 基底压力计算基底压力计算3 土体中的应力计算【问问】若原地基土体天然重度为若原地基土体天然重度为17kN/m17kN/m，求基底附加应力，求基底附加应力p p0 000170 17 1153() cpppdkPa【例例】如图中的柱下单独基础底面尺寸为如图中的柱下单独基础底面尺寸为3 32m2m2 2，柱传给基础的竖向力，柱传给基础的竖向力F F=1000=1000kNkN, ,弯矩弯矩M M=180=180kN.mkN.m，试按图

35、中所给的资料计算，试按图中所给的资料计算p p、p pmaxmax、p pminmin、p p0 0，并画，并画出基底压力的分布图。出基底压力的分布图。 【解解】max22min2201(22.6)2.3( )21000201020 2.3 10 1.1201.7()2 366 180201.7261.7()2 366 180201.7141.7()2 3201.7 18 0.9(19 10) 1.1175.6()wcddmFpdhkPaAMppkPablMppkPablpppkPa3.3 3.3 基底压力计算基底压力计算3 土体中的应力计算413 土体中的应力计算3.1 3.1 概述概述 应

36、力状态应力状态3.2 3.2 土的自重应力计算土的自重应力计算3.3 3.3 基础底面压力分布和计算基础底面压力分布和计算 3.4 3.4 集中力作用下土中应力计算集中力作用下土中应力计算？3.5 3.5 分布荷载作用时的土中应力计算分布荷载作用时的土中应力计算3土中的应力分布及计算3.4 3.4 集中力作用下土中应力计算集中力作用下土中应力计算3 土体中的应力计算竖直竖直集中力集中力矩形面积竖直均布荷载矩形面积竖直均布荷载矩形面积竖直三角形荷载矩形面积竖直三角形荷载水平水平集中力集中力矩形面积水平均布荷载矩形面积水平均布荷载竖直线布荷载竖直线布荷载条形面积竖直均布荷载条形面积竖直均布荷载圆形

37、面积竖直均布荷载圆形面积竖直均布荷载特殊面积、特殊荷载特殊面积、特殊荷载主要讨论主要讨论竖直应力竖直应力空间问题空间问题平面问题平面问题条形面积竖直三角形荷载条形面积竖直三角形荷载433 土体中的应力计算yzxox y xy yz zx z QMxyzrRMx y xy yz zx z （P；x,y,z；R, , ）222222zyxzrR 3.4 3.4 集中力作用下土中应力计算集中力作用下土中应力计算443532zQ zR3 35 52 2 5 5/ /2 22 23 33 31 12 22 2 1 1( (/ /) ) z zQ Q z zQ QR Rr rz zz z 2 2 5 5/

38、 /2 23 31 12 2 1 1( (/ /) ) r rz z 2 2z zQ Qz z 2532zxQ xzR2532zyQ yzR3.3 3.3 地基中附加应力的计算地基中附加应力的计算一. 竖直集中力作用下的附加应力计算布辛内斯克课题3 土体中的应力计算x:y:z:zxzyz 222222zyxzrR 查表查表3 31 1集中力作用下的集中力作用下的应力分布系数应力分布系数3.4 3.4 集中力作用下土中应力计算集中力作用下土中应力计算450.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0r/zr/z0.50.50.40.40.30.30.

39、20.20.10.10 02 2 5 5/ /2 23 31 12 2 1 1( (/ /) ) r rz z 3.3 3.3 地基中附加应力的计算地基中附加应力的计算1竖直集中力作用下的附加应力计算 布辛内斯克课题3 土体中的应力计算2 2z zQ Qz z yzxoQMxyzrRM特点特点1.1.z z与与无关，应力呈轴对称分布无关，应力呈轴对称分布2.2.z z: :zyzy: :zxzx= z:y:x, = z:y:x, 竖直面上合力过原点，与竖直面上合力过原点，与R R同向同向3.4 3.4 集中力作用下土中应力计算集中力作用下土中应力计算【解解】各点的竖向正应力可按式各点的竖向正应

40、力可按式 计算，计算结果分别见表计算，计算结果分别见表3-23-2和表和表3-33-3，同时可绘出分布图。见图同时可绘出分布图。见图3-153-15。2252)(1 1232zQzrzQzr(m)01234r/z00.477517.90.50.273310.210.08443.171.50.02510.94120.00850.319)(kPaz表表3-2 Z=2m3-2 Z=2m处水平面上的竖向正应力计算处水平面上的竖向正应力计算3 土体中的应力计算3.4 3.4 集中力作用下土中应力计算集中力作用下土中应力计算z(m)0123456r/z0020.00851.2810.08443.170.6

41、670.19053.080.50.27332.560.40.32941.980.3330.36681.53)(kPaz表表3-3 r=2m3-3 r=2m处竖直面上的竖向正应力计算处竖直面上的竖向正应力计算从图从图3-153-15的竖向正应力分布曲线可见：的竖向正应力分布曲线可见：l 在半无限土体内任一水平面上，随着与集中力作用点距离的增大，在半无限土体内任一水平面上，随着与集中力作用点距离的增大，z z值迅速的减小。值迅速的减小。l 在不通过集中力作用点的任意竖向剖面上，在土体表面处在不通过集中力作用点的任意竖向剖面上，在土体表面处z z =0=0l 随着深度的增加，随着深度的增加， z z

42、逐渐增大，在某一深度处达到最大值，此后又逐渐增大，在某一深度处达到最大值，此后又逐渐减小。逐渐减小。3 土体中的应力计算3.4 3.4 集中力作用下土中应力计算集中力作用下土中应力计算482 2 5 5/ /2 23 31 12 2 1 1( (/ /) ) r rz z 特点特点3.3.Q Q作用线上，作用线上，r=0, =3/(2r=0, =3/(2）,z=0, ,z=0, z，z，z=04.4.在某一水平面上在某一水平面上z=constz=const，r=0, r=0, 最大，最大，rr，KK减小，减小，z减小减小5.5.在某一圆柱面上在某一圆柱面上r=constr=const，z=0,

43、 z=0, z=0，zz，z先增加后减小先增加后减小6.6.z 等值线应力泡等值线应力泡3.3 3.3 地基中附加应力的计算地基中附加应力的计算一. 竖直集中力作用下的附加应力计算布辛内斯克课题3 土体中的应力计算2 2z zQ Qz z 应力应力球根球根球根球根QQ0.1Q0.1Q0.05Q0.05Q0.02Q0.02Q0.01Q0.01Q3.4 3.4 集中力作用下土中应力计算集中力作用下土中应力计算自习内容自习内容3 土体中的应力计算3.4 3.4 集中力作用下土中应力计算集中力作用下土中应力计算503.3 3.3 地基中附加应力的计算地基中附加应力的计算二二* *. . 水平集中力作用

44、下的附加应力计算水平集中力作用下的附加应力计算西罗提课题西罗提课题3 土体中的应力计算x y xy yz zx z Qh2 25 53 32 2h hz zQ Qx xz zR R yzxoMxyzrRM3.4 3.4 集中力作用下土中应力计算集中力作用下土中应力计算( , )dQp x y d d 单元上的分布荷载单元上的分布荷载图图3-17 3-17 分布荷载作用分布荷载作用下土中应力计算下土中应力计算 335222 5 233( , )22()()zzFFFzdQzP x y d ddRxyz 分布荷载分布荷载p p( (x x, ,y y) )dFd d 单元面积单元面积M M点的竖向

45、正应力值点的竖向正应力值（1 1）分布荷载）分布荷载p p( (x x, ,y y) )的分布规律及其大小；的分布规律及其大小；（2 2）分布荷载的分布面积）分布荷载的分布面积F F的几何形状及其大小；的几何形状及其大小；（3 3）所求应力的位置）所求应力的位置M M点的坐标。点的坐标。3.5 3.5 分布荷载作用下土中应力计算分布荷载作用下土中应力计算3 土体中的应力计算一、空间问题一、空间问题图图3-18 3-18 圆形面积均布荷载圆形面积均布荷载 作用下土中应力计算作用下土中应力计算 的函数。的函数。查表查表3-43-4和和是应力系数，是是应力系数，是z zR R 设圆形均布荷载作用面半

46、径为设圆形均布荷载作用面半径为R R，荷载，荷载密度为密度为p p，采用圆柱坐标，如图。地基中任，采用圆柱坐标，如图。地基中任意点意点M M( (, ,r,zr,z) )处的应力分量表达式如下：处的应力分量表达式如下：32222 5 20032(2cos)RzzApzd ddrrz 上式可表达成简化形式：上式可表达成简化形式： zcpr rR R12222221(2cos)Rlzrrzc3 土体中的应力计算3.5 3.5 分布荷载作用下土中应力计算分布荷载作用下土中应力计算【例题例题3-43-4】半径半径R R=2m=2m的圆形基础，其上作用中心荷载的圆形基础，其上作用中心荷载Q Q=150k

47、N=150kN，求基础，求基础边缘下的竖向应力边缘下的竖向应力z z的分布。将计算结果与例题的分布。将计算结果与例题3-33-3中把中把Q Q作为集中力作作为集中力作用时的计算结构（见表用时的计算结构（见表3-33-3）进行比较。）进行比较。【解解】在圆形基础底面的压力认为是均匀分布的，其值为在圆形基础底面的压力认为是均匀分布的，其值为215011.92QpkPaA圆形基础边缘下的竖向应力按圆形基础边缘下的竖向应力按 式计算式计算z zc cp p z(m)集中力集中力Q作用时作用时圆形面积均布荷载圆形面积均布荷载p作用时作用时0124600.00850.08440.27330.366801.

48、283.172.561.530.50.4180.3320.1960.1185.954.973.952.331.40)(kPaz()zcp kPac基础深度超过宽度的基础深度超过宽度的1.521.52倍时，荷载分布倍时，荷载分布形式对土中应力分布的形式对土中应力分布的影响已不明显影响已不明显3 土体中的应力计算3.5 3.5 分布荷载作用下土中应力计算分布荷载作用下土中应力计算322202252232()lblbzzddpzp 在荷载面内取微元在荷载面内取微元 d dd d，微元，微元上的分布荷载以集中力上的分布荷载以集中力P P = = p p d dd d 来代来代替，则由布西奈斯克解可得中

49、点替，则由布西奈斯克解可得中点 O O下深度为下深度为 z z 的的M M点处由该集中力引起的竖向附加应力。点处由该集中力引起的竖向附加应力。 图图3-19 3-19 矩形面积均布荷载矩形面积均布荷载作用下土中应力计算作用下土中应力计算 式中式中 应力系数应力系数a a0 0是是n n= =l l/ /b b和和m m= =z z/ /b b的函数，即的函数，即a a0 0也可由也可由 相应表格（相应表格（3-63-6）查得查得 22022222221(18)arc214(1 4)(4)214mnnmntgnmmnmmnm3 土体中的应力计算3.5 3.5 分布荷载作用下土中应力计算分布荷载作

50、用下土中应力计算322222 5 22232()()22alblbzzd dpblzp 图图3-193-19所示均布荷载作用下，计算矩形面积所示均布荷载作用下，计算矩形面积角点角点c c下深度下深度z z处处N N点的竖向应力点的竖向应力z z时，同样时，同样可其将表示成如下形式：可其将表示成如下形式： 图图3-19 3-19 矩形面积均布荷载矩形面积均布荷载作用下土中应力计算作用下土中应力计算 式中：应力系数式中：应力系数a aa a是是n n= =l l/ /b b 和和m m= =z z/ /b b 的函数，即的函数，即a aa a也可由也可由 相应表格（相应表格（3-73-7）查得查得

51、 2222222221(12)arc21()(1)1amnnmntgmnmnmmmn，3 土体中的应力计算3.5 3.5 分布荷载作用下土中应力计算分布荷载作用下土中应力计算z z 计算非角点下的竖向应力，可先将矩形面积按计算点位置分成计算非角点下的竖向应力，可先将矩形面积按计算点位置分成若干小矩形若干小矩形; ;再用（再用（3-423-42）算出小矩形面积角点下土中竖向应力后，再）算出小矩形面积角点下土中竖向应力后，再采用叠加原理求出计算点的竖向应力值。这种计算方法一般称为采用叠加原理求出计算点的竖向应力值。这种计算方法一般称为角点法角点法。1) 计算点在荷载面内：计算点在荷载面内：zMoI

52、VIIIIIIoIIIIIIIVpz) p(aaaa3 土体中的应力计算3.5 3.5 分布荷载作用下土中应力计算分布荷载作用下土中应力计算IIIooIIIIoIVoII2) 计算点在基底边缘计算点在基底边缘3) 计算点在基底边缘外计算点在基底边缘外z) p(aaz) p(aaaa3 土体中的应力计算3.5 3.5 分布荷载作用下土中应力计算分布荷载作用下土中应力计算4) 计算点在基底角点外计算点在基底角点外IooIIIIIIVz) p(aaaa3 土体中的应力计算3.5 3.5 分布荷载作用下土中应力计算分布荷载作用下土中应力计算【解解】（1 1）按式）按式 计算计算 pz0z【例题例题3-

53、53-5】有一矩形面积基础有一矩形面积基础b b=4=4m m, ,l l=6=6m m, ,其上作用均布荷载其上作用均布荷载p p=90=90kNkN/ /m m2 2, ,计算矩形基础中点计算矩形基础中点o o下深度下深度z z=8=8m m处处M M点的竖向应力点的竖向应力 值。值。已知已知l/bl/b=6/3=1.5=6/3=1.5，z/bz/b=8/4=2,=8/4=2,由表由表3-63-6差得应力系数差得应力系数则则 =0.153=0.15390=13.8kPa90=13.8kPa。153. 02161. 0145. 00z（2 2）用角点法计算）用角点法计算M M点的竖向应力点的

54、竖向应力对于矩形面积对于矩形面积afoeafoe，已知，已知l l1 1/b/b1 1=1.5, =1.5, z z/ /b b1 1=4=4，由表，由表3-73-7查得应力系数查得应力系数038. 02040. 0036. 0a有有kPaafoez7 .1390038. 0443 土体中的应力计算3.5 3.5 分布荷载作用下土中应力计算分布荷载作用下土中应力计算【解解】如图所示，将如图所示，将k k点置于假设的矩形受荷面积得角点处，按角点法点置于假设的矩形受荷面积得角点处，按角点法计算计算N N点的竖向应力。点的竖向应力。N N点的竖向应力为点的竖向应力为 【例题例题3-63-6】同例题同

55、例题3-53-5，求矩形基础外，求矩形基础外k k 点下深度点下深度z z=6=6m m 处处N N点的竖向应力值。点的竖向应力值。将其计算结果列于下表将其计算结果列于下表3-83-8()()()()zz ajkiz iksdz bjkrz rksc荷载作用面积n=l/bm=z/baajkiiksdbjkrrksc9/3=39/1=93/3=13/1=36/3=26/1=66/3=26/1=60.1310.0510.0840.0353 土体中的应力计算3.5 3.5 分布荷载作用下土中应力计算分布荷载作用下土中应力计算荷载密度荷载密度 p p 沿沿 x x 方向线性变化，即方向线性变化，即 ，

56、则微面积，则微面积 d dx xd dy y 上的上的微集中荷载微集中荷载: :它在角点它在角点1 1（即（即x x = 0, = 0, p p = 0 = 0 处）引处）引起的附加应力为：起的附加应力为：xxppbd dd dxxPpx yp x yb353dd d2zpxzbxyR整个三角形分布荷载在角点整个三角形分布荷载在角点 1 1 引起的附加应力为引起的附加应力为 ：3 土体中的应力计算3.5 3.5 分布荷载作用下土中应力计算分布荷载作用下土中应力计算式中应力系数式中应力系数a at t是是n n= =l l/ /b b 和和m m= =z z/ /b b 的函数，即的函数，即 其

57、值也可由其值也可由相应的应力系数表（相应的应力系数表（3-93-9）查得查得 特别提示：特别提示： 注意这里注意这里b b值不是指基础的宽度，而是指三角形荷载分布方向的基础边长值不是指基础的宽度，而是指三角形荷载分布方向的基础边长2222221211tmnmmnmnm35000022223d2()tblblzzpzxdxdybxyzp 整个三角形分布荷载在角点整个三角形分布荷载在角点 1 1 引起的附加应力为引起的附加应力为 ：3 土体中的应力计算3.5 3.5 分布荷载作用下土中应力计算分布荷载作用下土中应力计算【例题例题3-73-7】有一矩形面积（有一矩形面积（l l=5m,b=3m=5m

58、,b=3m）三角形分布的荷载作用在地基表）三角形分布的荷载作用在地基表面，荷载最大值面，荷载最大值p=100kPap=100kPa，计算在矩形面积内，计算在矩形面积内o o点下深度点下深度z=3mz=3m处处M M点的竖向点的竖向应力值。（见下图）应力值。（见下图）【解解】采用两次叠加法计算。采用两次叠加法计算。第一次是荷载作用面积的叠加，即角点法；第一次是荷载作用面积的叠加，即角点法；第二次是荷载分布图形的叠加，分别计算：第二次是荷载分布图形的叠加，分别计算：3 土体中的应力计算3.5 3.5 分布荷载作用下土中应力计算分布荷载作用下土中应力计算（1 1）荷载作用面积叠加计算）荷载作用面积叠

59、加计算因为因为o o点在矩形面积（点在矩形面积（abcdabcd）内，可用角点法计算。图（）内，可用角点法计算。图（a a）(b)(b)所示，通所示，通过过o o点将矩形面积划分为点将矩形面积划分为4 4块，假定其上作用着均布荷载块，假定其上作用着均布荷载q(q(图图c c中的荷载中的荷载DABE)DABE)，M M点的竖向应力可用角点法计算，得点的竖向应力可用角点法计算，得)(1)(1)(1)(11hogdzofcgzebfozaeohzz编号荷载作用面积n=l/bm=z/b1234(aeoh)(ebfo)(ofcg)(hogd)1/1=14/1=44/2=22/1=23/1=33/1=33

60、/2=1.53/1=30.0450.0930.1560.073a ikPaqaiz2.12367.03100)073.0156.0093.0045.0(310013 土体中的应力计算3.5 3.5 分布荷载作用下土中应力计算分布荷载作用下土中应力计算（2 2）荷载分布图形叠加计算）荷载分布图形叠加计算上述角点法求的应力上述角点法求的应力 是由均布荷载是由均布荷载q q引起的，但实际作用荷载是引起的，但实际作用荷载是三角形分布的，把三角形荷载（三角形分布的，把三角形荷载（ABCABC）分为三块：均布荷载（）分为三块：均布荷载（DABEDABE）、三）、三角形荷载（角形荷载（AFDAFD）和（）和