3.3.1几何概型学习课程

1、第1页/共61页第一页，编辑于星期五：三点 四十三分。第2页/共61页第二页，编辑于星期五：三点 四十三分。下图是卧室和书房地板的示意图，图中每一下图是卧室和书房地板的示意图，图中每一块方砖除颜色外完全相同，甲壳虫块方砖除颜色外完全相同，甲壳虫 分别分别在卧室和书房中自由地飞来飞去，并随意停在卧室和书房中自由地飞来飞去，并随意停留在某块方砖上，问留在某块方砖上，问卧室在哪个房间里，甲壳虫停留在黑砖上的概率大？在哪个房间里，甲壳虫停留在黑砖上的概率大？卧室卧室书房书房第3页/共61页第三页，编辑于星期五：三点 四十三分。提出问题提出问题n古典概型的两个基本特点:（1）所有的基本事件只有有限个;（

2、2）每个基本事件发生都是等可能的。思考：上述问题的概率是古典概型问题吗？思考：上述问题的概率是古典概型问题吗？ 为什么？为什么？那么对于有无限多个试验结果（不可数）的情况相应的概率应如何求呢?第4页/共61页第四页，编辑于星期五：三点 四十三分。第5页/共61页第五页，编辑于星期五：三点 四十三分。AAAP)(其中 表示区域的几何度量，.A 表示子区域A的几何度量第6页/共61页第六页，编辑于星期五：三点 四十三分。第7页/共61页第七页，编辑于星期五：三点 四十三分。两种概型、概率公式的联系两种概型、概率公式的联系 mP(A)n试验的基本事件总数所包含的基本事件数A事件1.古典概型的概率公式

3、:2.几何概型的概率公式:P构成事件A的区域长度（面积或体积）（A）=试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）几何概型可以看作是古典概型的推广求几何概型的概率时考虑试验的结果个数失去意义第8页/共61页第八页，编辑于星期五：三点 四十三分。辨一辨辨一辨先判断是何种概率模型,再求相应概率.(1)在集合A=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取一 个元素a,则P(a3)= .(2)已知点0(0,0)、M(60,0),在线段OM上任取一点P,则P(|PM|10)= . (2)(2)几何概率模型几何概率模型,P(|PM|10)=1/6,P(|PM|10)=1/6(1)古典概率模型,P(a3)

4、=7/10第9页/共61页第九页，编辑于星期五：三点 四十三分。 0.0020.004与面积成比例与面积成比例0.3与长度成比例与长度成比例与体积成比例与体积成比例若满足若满足2a5呢？呢？第10页/共61页第十页，编辑于星期五：三点 四十三分。1.1.如右下图如右下图, ,假设在每个图形上随机撒一粒芝麻假设在每个图形上随机撒一粒芝麻, ,分别分别计算它落到阴影部分的概率计算它落到阴影部分的概率. .11P238P 2.取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段长都不小于1米的概率有多大？31)(AP3.3.在腰长为在腰长为2 2的等腰直角三角形内任取一点的等腰直角三角形内任

5、取一点, ,求该点到此三角形的直角顶点的距离小于求该点到此三角形的直角顶点的距离小于1 1的概率的概率. .8P第11页/共61页第十一页，编辑于星期五：三点 四十三分。4：一海豚在水池中自由游弋，水池为长30m，宽为20m的长方形。求此海豚嘴尖离岸边不超过 2m 的概率. 规范解题步骤规范解题步骤20m30m2mA解：设事件A=“海豚嘴尖 离岸边不超过2m”， 如右图，则事件A可用 图中的阴影的面积表示， 7523600184)(AP故请同学们归纳求几何概型请同学们归纳求几何概型概率的规范步骤，概率的规范步骤，并与古典概型步骤作比较！并与古典概型步骤作比较！)(60

6、0203022mmA第12页/共61页第十二页，编辑于星期五：三点 四十三分。典例分析典例分析 平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径ra, 你愿意玩这个游戏吗？第17页/共61页第十七页，编辑于星期五：三点 四十三分。例例 某公共汽车站每某公共汽车站每隔隔1515分钟有一辆汽分钟有一辆汽车到达，乘客到达车到达，乘客到达车站的时刻是任意车站的时刻是任意的，求一个乘客到的，求一个乘客到达车站后候车时间达车站后候车时间大于大于10 10 分钟的概率？分钟的概率？第18页/共61页第十八页，编辑于星期五：三点 四十三分。例 某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，

7、求一个乘客到达车站后候车时间大于10 分钟的概率？分析：把时刻抽象为点，时间抽象为线段，故可以用几何概型求解。31155 D d)(的测度的测度AP解：设上辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到达，线段T1T2的长度为15，设T是T1T2上的点，且T1T=5，T2T=10，如图所示:答：侯车时间大于10 分钟的概率是1/3.T1T2T记候车时间大于10分钟为事件A，则当乘客到达车站的时刻落在线段T1T上时，事件发生，区域D的测度为15，区域d的测度为5。 所以第19页/共61页第十九页，编辑于星期五：三点 四十三分。变式：1.假设题设条件不变，求候车时间不超过10分钟的概率.T1T2T32

8、1510 D d)(的测度的测度AP分析：第20页/共61页第二十页，编辑于星期五：三点 四十三分。2某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达，并且出发前在车站停靠3分钟。乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后候车时间大于10 分钟的概率？152 D d)(的测度的测度AP分析：设上辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T0到达，T2时刻出发。线段T1T2的长度为15，设T是T1T2上的点，且T0T2=3，TT0=10，如图所示:记候车时间大于10分钟为事件A，则当乘客到达车站的时刻落在线段T1T上时，事件A发生，区域D的测度为15，区域d的测度为15-3-10=2。 所以 T1T2TT

9、0第21页/共61页第二十一页，编辑于星期五：三点 四十三分。1.某人一觉醒来某人一觉醒来,发现表停了发现表停了,他打开收音机他打开收音机,想听电台整想听电台整点报时点报时,求他等待的时间不多于求他等待的时间不多于10分钟的概率分钟的概率.解:设事件A=等待的时间不多于10分钟 事件A发生的区域为时间段50,60 6160106010)(分钟里醒来的时间长度所有在分钟时间长度等待的时间不多于AP第22页/共61页第二十二页，编辑于星期五：三点 四十三分。2.2.教室后面墙壁上的时钟掉下来教室后面墙壁上的时钟掉下来, ,面板摔坏了面板摔坏了, ,刻度刻度5 5至至7 7的部分没了的部分没了, ,

10、如图如图: :但指针运行正常但指针运行正常, ,若若指针都指向有刻度的地方视为能看到准确时间指针都指向有刻度的地方视为能看到准确时间, ,求求不能看到准确时间的概率不能看到准确时间的概率. .1/6第23页/共61页第二十三页，编辑于星期五：三点 四十三分。6011:( )()3606P A 方法角度法060132:( )()26rP Ar方法弧长法211233:( )()6r rP Ar方法面积法.在直角坐标系内,射线OT落在60o 角的终边上,任作一条射线OA,求射线OA落在XOT内的概率。第24页/共61页第二十四页，编辑于星期五：三点 四十三分。甲、乙二人约定在甲、乙二人约定在1212

11、点到点到5 5点之间在某地会面点之间在某地会面, ,先到者等一个小时后即离去设二人在这段时间先到者等一个小时后即离去设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的内的各时刻到达是等可能的, ,且二人互不影响且二人互不影响. .求二人能会面的概率求二人能会面的概率. .想一想想一想第25页/共61页第二十五页，编辑于星期五：三点 四十三分。解解:以以 X ,Y 分别表示甲乙二人到达的时刻分别表示甲乙二人到达的时刻,于是于是0 X 5, 0 Y 5 即点即点 M 落在图中的阴影部分落在图中的阴影部分.所有的点构成一个正方形所有的点构成一个正方形,即即有无穷多个结果有无穷多个结果.由于每人在由于每人在任一

12、时刻到达都是等可能的任一时刻到达都是等可能的,所以落在正所以落在正 方方 形形 内内 各各 点是点是等可能的等可能的.0 1 2 3 4 5yx54321.M(X,Y)第26页/共61页第二十六页，编辑于星期五：三点 四十三分。二人会面的条件是： |,X Y 10 1 2 3 4 5yx54321.259254212252正方形的面积阴影部分的面积py-x =1y-x = -1第27页/共61页第二十七页，编辑于星期五：三点 四十三分。3.3.几何概型的概率计算公式几何概型的概率计算公式1.几何概型的特征2.几何概型的定义 每个基本事件出现的可能性 .几何概型中所有可能出现的基本事件有 个；(

13、 )AP A4 .解决几何概型的关键是解决几何概型的关键是构造随机事件对应的几何图形构造随机事件对应的几何图形.第28页/共61页第二十八页，编辑于星期五：三点 四十三分。解题步骤解题步骤第29页/共61页第二十九页，编辑于星期五：三点 四十三分。思考题： 有只蚂蚁在如图的五角星区域内自由的爬行，且它停在任意一点的可能性相等，已知圆形区域的半径为2，蚂蚁停在圆形内的概率为0.1，求图中五角星的面积.(计算结果保留）解：记解：记“蚂蚁最后停在五角星内蚂蚁最后停在五角星内”为事件为事件A, 401 . 02)()(2 APSSSSAP圆圆五角星五角星五角星五角星圆圆第30页/共61页第三十页，编辑

14、于星期五：三点 四十三分。 20 yx95604060)(222 矩矩形形的的面面积积阴阴影影部部分分的的面面积积AP解解: :以以x x，y y分别表示两人的到达时刻，分别表示两人的到达时刻，则两人能会面的充要条件为则两人能会面的充要条件为试一试: 3.两人相约8点到9点在某地会面,先到者等候另一人20分钟,过时就可离去,试求这两人能会面的概率.第31页/共61页第三十一页，编辑于星期五：三点 四十三分。第32页/共61页第三十二页，编辑于星期五：三点 四十三分。6.57.5()x 送报人到达的时间()y 父亲离开家的时间870yx.假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:307:30之间

15、把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:008:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?第33页/共61页第三十三页，编辑于星期五：三点 四十三分。6.57.5()x 送报人到达的时间()y 父亲离开家的时间870yx解解: :以横坐标以横坐标x表示报纸送到时表示报纸送到时间间, ,以纵坐标以纵坐标y表示父亲离家表示父亲离家时间建立平面直角坐标系。时间建立平面直角坐标系。(x,y)可以看成平面上的点，试可以看成平面上的点，试验的全部结果所构成区域验的全部结果所构成区域 87,5.75.6|),(yxyx111S87,5.75.6,|),(yxxyyxA即图中

16、的阴影部分，面积为：即图中的阴影部分，面积为：872121211AS这是个几何概型，所以这是个几何概型，所以87)(SSAPA面积为面积为事件事件A：父亲在离开家前能拿：父亲在离开家前能拿到报纸到报纸所构成的区域所构成的区域第34页/共61页第三十四页，编辑于星期五：三点 四十三分。课堂小结 1.几何概型的特点. 2.几何概型的概率公式. 3.公式的运用.()AP A 构成事件 的区域长度（面积或体积）全部结果所构成的区域长度（面积或体积）本节本节核心内容核心内容是几何概型特点及概率是几何概型特点及概率 求法，求法，易错点易错点是容易找错、是容易找错、求错几何度量。要求在做解答题时要有求错几何

17、度量。要求在做解答题时要有规范的规范的步骤和步骤和必要必要的文字说的文字说明，在平时的学习中养成良好的学习习惯！明，在平时的学习中养成良好的学习习惯！第35页/共61页第三十五页，编辑于星期五：三点 四十三分。（一）与长度有关的几何概型（一）与长度有关的几何概型第36页/共61页第三十六页，编辑于星期五：三点 四十三分。（二）与角度有关的几何概型（二）与角度有关的几何概型第37页/共61页第三十七页，编辑于星期五：三点 四十三分。（二）与角度有关的几何概型（二）与角度有关的几何概型第38页/共61页第三十八页，编辑于星期五：三点 四十三分。第39页/共61页第三十九页，编辑于星期五：三点 四十

18、三分。（三）与面积有关的几何概型（三）与面积有关的几何概型第40页/共61页第四十页，编辑于星期五：三点 四十三分。第41页/共61页第四十一页，编辑于星期五：三点 四十三分。（四）几何概型的应用（四）几何概型的应用随机模拟随机模拟第42页/共61页第四十二页，编辑于星期五：三点 四十三分。第43页/共61页第四十三页，编辑于星期五：三点 四十三分。1.1.一张方桌的图案如图所示一张方桌的图案如图所示. .将一颗豆子将一颗豆子随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上，随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上，求下列事件的概率：求下列事件的概率：（1 1）豆子落在红色区域；）豆子落在红色区域；（2 2）

19、豆子落在黄色区域；）豆子落在黄色区域；（3 3）豆子落在绿色区域；）豆子落在绿色区域；（4 4）豆子落在红色或绿色区域；）豆子落在红色或绿色区域；（5 5）豆子落在黄色或绿色区域）豆子落在黄色或绿色区域. .练习：课本：练习：课本：P142 A组组 1, 2，3 练习第44页/共61页第四十四页，编辑于星期五：三点 四十三分。 举例（五）与体积有关的几何概型（五）与体积有关的几何概型第45页/共61页第四十五页，编辑于星期五：三点 四十三分。第46页/共61页第四十六页，编辑于星期五：三点 四十三分。（五）与体积有关的几何概型（五）与体积有关的几何概型第47页/共61页第四十七页，编辑于星期五

20、：三点 四十三分。（六）几何概型的应用（六）几何概型的应用第48页/共61页第四十八页，编辑于星期五：三点 四十三分。第49页/共61页第四十九页，编辑于星期五：三点 四十三分。第50页/共61页第五十页，编辑于星期五：三点 四十三分。（六）几何概型的应用（六）几何概型的应用第51页/共61页第五十一页，编辑于星期五：三点 四十三分。第52页/共61页第五十二页，编辑于星期五：三点 四十三分。例3： 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:307:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:008:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?（六）几何概型的应用（六）几何概型的应用第53页/共61页第五十三页，编辑于星期五：三点