电子科技大学数字信号处理第七章汇编

1、第七章 FIR滤波器的设计IIR数字滤波器：数字滤波器：可以利用模拟滤波器设计可以利用模拟滤波器设计但相位非线性但相位非线性FIR数字滤波器：数字滤波器： 可以严格线性相位，又可任意幅度特性可以严格线性相位，又可任意幅度特性因果稳定系统因果稳定系统可用可用FFT计算计算但阶次比但阶次比IIR滤波器要高得多滤波器要高得多主要内容主要内容n线性相位线性相位FIR滤波器的特点滤波器的特点n窗函数设计法窗函数设计法n频率抽样设计法频率抽样设计法nIIR与与FIR比较比较7.1 引言引言一、一、 FIR滤波器的主要特点：滤波器的主要特点：q 单位冲激响应只有有限多项单位冲激响应只有有限多项q 可以设计成

2、线性相位系统可以设计成线性相位系统q 只在零点处有极点，因此系统总是稳定的只在零点处有极点，因此系统总是稳定的q 便于便于DSPDSP实现（并可用立即数乘加指令编程，节实现（并可用立即数乘加指令编程，节约存储器）约存储器）二、二、FIR与与IIR相比较：相比较：q 首先在相频特性控制上可以做到线性相位，首先在相频特性控制上可以做到线性相位，IIR而不能做到这一点，这一点在通信等领域而不能做到这一点，这一点在通信等领域中要求却很重要；中要求却很重要；q 其次，其次，FIR不存在稳定性问题，其非递归结构不存在稳定性问题，其非递归结构不会产生极限环现象等有限精度问题；不会产生极限环现象等有限精度问题

3、；q 最后，最后，FIR还可以还可以FFT用来滤波。故用来滤波。故FIR应用应用越来越多。越来越多。三、线性相位设计的重要性三、线性相位设计的重要性1 1、系统的相移会造成信号波形的改变、系统的相移会造成信号波形的改变时间时间 t幅幅度度原始信号原始信号时间时间 t幅幅度度相移相移90o时间时间 t幅幅度度相移相移 180o2 2、系统非线性相移造成输出信号失真、系统非线性相移造成输出信号失真dd)()(f1 f2f时时延延f1 f2f时时延延f1 f2f ( )f1 f2f ( ) 系统相位特性决定了信号不同频率的时延系统相位特性决定了信号不同频率的时延3 3、忽略相位信息的后果、忽略相位信

4、息的后果输入波形输入波形DFT变换变换忽略相忽略相位信息位信息IDFT变换变换输出波形输出波形4 4、要求线性相位的例子、要求线性相位的例子n通信系统：通信系统：调制解调器、综合业务数据网调制解调器、综合业务数据网（ISDN）等。等。n希尔伯特变换器：希尔伯特变换器：要求输入输出信号正交。要求输入输出信号正交。n高保真音响系统：高保真音响系统：音乐的相位失真必须减到音乐的相位失真必须减到最小，尽可能逼真地重现原来的声音。最小，尽可能逼真地重现原来的声音。n理想微分器：理想微分器：n线性相位要求：线性相位要求：5 5、线性相位的、线性相位的FIRFIR滤波器设计基础滤波器设计基础constant

5、)(ddgg)(NpgpTTph00)(sin- 系统的群延迟系统的群延迟7.2 线性相位线性相位FIR滤波器特点滤波器特点 FIR滤波器的单位冲激响应：滤波器的单位冲激响应：( )01h nnN10( )( )NnnH zh n z系统函数：系统函数：在在 z 平面有平面有N 1 个零点个零点在在 z = 0 处是处是N 1 阶极点阶极点 一线性相位特点一线性相位特点命题：设命题：设FIRFIR单位冲激响应单位冲激响应h(n)h(n)为实序列，为实序列，且满足偶对称（或奇对数）条件：且满足偶对称（或奇对数）条件：)1()(nNhnhor)1()(nNhnh)()()()(jjweHeHnh)

6、21()(N22) 1()(Nor则：则：线性相位分析线性相位分析)1()(nNhnh10) 1(10)1(11010)()()1()()(NmmNNmmNnNmNnnNnnzmhzzmhznNhznhzH)()(1) 1(zHzzHN证明：证明：1 1、偶对称时：、偶对称时：即：即：)()(21)(1)1(zHzzHzHN10) 1()(21NnnNnzzznh 所以有所以有： 10)2) 1()2) 1(2) 1(2121)(NnNnNnNZZnhz)()(1) 1(zHzzHN线性相位分析线性相位分析) 1 ()2) 1(cos)()()(102)1()( HNneNjjNnnheeHj

7、则则 为线性相位。为线性相位。2) 1()(N其物理意义：其物理意义： 该该FIR有有(N-1)/2个个 采样周期的群时延。采样周期的群时延。10)2)1()2)1(2)1(2121)()(NnNnNnNZZnhzzH线性相位分析线性相位分析2 2奇对称时奇对称时)1()(nNhnh10)1(10)1(11010)()()1()()(NmmNNmmNnNmNnnNnnzmhzzmhznNhznhzH)()(1) 1(zHzzHN即即所以有：所以有：)()(21)(1) 1(zHzzHzhN10)1()(21NnnNnzzznh)()(1) 1(zHzzHN10)2)1()2)1(2)1(212

8、1)(NnNnNnNZZnhz线性相位分析线性相位分析10)2)1()2)1(2)1(2121)()(NnNnNnNZZnhzzH)2()2) 1(sin)()()(102)1()( HNneNjjNnnhjeeHj1022) 1()2) 1(sin)()(NnjNjjNnnheeH或或22) 1()(N则则 为线性相位为线性相位线性相位分析线性相位分析q物理意义：物理意义：FIRFIR有有( (N-1)/2N-1)/2个采样周期的群时延，且个采样周期的群时延，且信号通过此类信号通过此类FIR时，所有频率成份都有时，所有频率成份都有90900 0相移，相移，称为正交变换。称为正交变换。二幅度特

9、点二幅度特点1、h(n)偶对称，偶对称，N为奇数为奇数对（对（1）式）式10)21(cos)()(NnNnnhH由于由于:)()1(nhnNh)()()(jjeHeH2/ )1(12112/ )1(cos)21(2)21()21(cos)(2)21()(NmNnmNNnmNmhNhNnnhNhH得得: :线性相位滤波器的幅度特点线性相位滤波器的幅度特点)21(cos)21(cos)211(cosNnNnNnN2/ )1(12112/ )1(cos)21(2)21()21(cos)(2)21()(NmNnmNNnmNmhNhNnnhNhH2/ ) 1(0)cos()(Nnnna) 1(),21(

10、2)(),21()0(nNnhnaNha由于由于得得其中其中: :ncos2 , 0)(H2 , 0由于由于 对对 是偶对称的。是偶对称的。因此，因此， 对对 为偶对称。为偶对称。线性相位滤波器的幅度特点线性相位滤波器的幅度特点其中，其中， 2/11212/)21(cos)22(2)21(cos)(2)(NmNnmNNnmNmhNnnhH2/1)21(cos)(Nnnnb) 1(),12(2)(, 0)0(nNnhnbb2、h(n)偶对称，偶对称，N为偶数为偶数)21(Nh对（对（1）式与如上合并项，注意到由于）式与如上合并项，注意到由于N为偶数，为偶数， 项即为项即为0，则，则 0)21(c

11、osn )0| )(1zzH)(H 由于由于 时，时，且对且对 呈奇对称。因此，呈奇对称。因此， 对对 呈奇对称。呈奇对称。并有并有: :线性相位滤波器的幅度特点线性相位滤波器的幅度特点)1()(nNhnh)21(| )1()21(21NhnNhNhNn12110)21(sin)(2)21(sin)()(NNnNnNnnhNnnhH0)21(Nh2/ )1(1sin)(Nnnnc 代入代入(2)(2)式式3、h(n)奇对称，奇对称，N为奇数为奇数所以有：所以有：其中其中, ,线性相位滤波器的幅度特点线性相位滤波器的幅度特点) 1()21(2)(, 0)0(nNnhnccnsin2 , 0由于由

12、于 在在 均为均为0 0并对这些点呈奇对称。并对这些点呈奇对称。线性相位滤波器的幅度特点线性相位滤波器的幅度特点)1()(nNhnh10)21(sin)()(NnNnnhH12)21(sin)(2NNnNnnh)21(sin)12(22/1mmNhNm2/ )1(1)21(sin)(Nnmnd) 1()12(2)(, 0)0(nnNhndd其中：其中： 对（对（2 2）式）式4、h(n)奇对称，奇对称，N为偶数为偶数线性相位滤波器的幅度特点线性相位滤波器的幅度特点2 , 02 , 0 )21(sinn)(H由于由于 在在 处为处为0 0。因此，因此， 对对 呈奇对称。呈奇对称。线性相位滤波器的

13、幅度特点线性相位滤波器的幅度特点总结：总结：（1 1）第）第1 1，2 2种一般为低通特性；种一般为低通特性； 第第3 3，4 4种一般为高通、带通特性。种一般为高通、带通特性。（2 2）当）当N N，h(n)h(n)均为偶（或奇）时，均为偶（或奇）时，H(w)H(w)为奇对称。为奇对称。当当N N，h(n)h(n)为一奇一偶时，为一奇一偶时，H(w)H(w)为偶对称。为偶对称。)2 , 0( :()2 , 0( :(n例例7-1： 设设FIR滤波器的系统函数为滤波器的系统函数为n求出该滤波器的单位脉冲响应求出该滤波器的单位脉冲响应h(n)， 判断是否具有线性相位，判断是否具有线性相位， 求求

14、出其幅度特性函数和相位特性函数。出其幅度特性函数和相位特性函数。n解: 对对FIR数字滤波器，数字滤波器， 其系统函数为其系统函数为n所以其单位脉冲响应为所以其单位脉冲响应为n由由h(n)的取值可知的取值可知h(n)满足：满足： nh(n)=h(N1n) N=5n所以，所以， 该该FIR滤波器具有第一类线性相位特性。滤波器具有第一类线性相位特性。 频率响应函数频率响应函数H(ej)为为)9 . 01 . 29 . 01 (101)(4321zzzzzH104321)9 . 01 . 29 . 01 (101)()(NnnzzzzZnhzH1( )1, 0,9, 2.1, 0.9,110h n

15、n幅度特性函数为幅度特性函数为n相位特性函数为相位特性函数为n 102cos2cos8 . 11 . 2)(gH10j)(jgje)(e)()e(NnmnhHHee9 .0e1 .2e9 .01 1014j3 j2jj2 j2 jjj2 je )ee9 . 01 . 2e9 . 0e (1012 je )2cos2cos8 . 11 . 2(101221)(N三、零点特性三、零点特性 线性相位线性相位FIRFIR传递函数传递函数 满足满足 则则 的零点必为互为倒数的共轭对（以单位圆对称）的零点必为互为倒数的共轭对（以单位圆对称）)(zH)(zH)()()(1)1(AzHzzHN)(zH)(zH

16、)(zH)(nh)(nhiziz0)(izH1iz0)(1izHiz0)(1izH1)(iz0)(izH证：证： 为实序列，为实序列， 若存在若存在 使得使得 。 则必存在则必存在 使得使得 （由（由( (A)A)式可知）。式可知）。 由于由于 是实序列，对是实序列，对 也必定是也必定是 的零的零 点，即点，即 类似地类似地 ，因此线性相位，因此线性相位FIRFIR 中，若有复零点中，若有复零点 ，则一定有，则一定有 与之对应。与之对应。三、零点特性三、零点特性讨论：第讨论：第1 1，2 2，3 3，4 4类类FIRFIR的的 零点的特点。零点的特点。 如：第如：第1 1类没有确定零点；类没有

17、确定零点； 第第2 2类在类在 时确定有零点；时确定有零点；第第3 3类在类在 均有零点；均有零点；第第4 4类在类在 为零点。为零点。-1j-j1iziz1)(iz1iz)(1z)(1z)0(1z)2 , 0(1z7.3 窗函数设计法窗函数设计法)()()(nhnwnhdn1.设计方法设计方法 n n n n ：窗函数序列，要选择合适的形状和长度：窗函数序列，要选择合适的形状和长度 )(nwn理想矩形幅频特性及矩形窗函数理想矩形幅频特性及矩形窗函数 矩形窗加窗效应n2.各种窗函数各种窗函数n窗函数的要求：窗函数的要求：n窗谱主瓣尽可能窄以获得较陡的过渡带窗谱主瓣尽可能窄以获得较陡的过渡带n尽

18、量减小窗谱最大旁瓣的相对幅度以减小肩尽量减小窗谱最大旁瓣的相对幅度以减小肩峰和波纹峰和波纹 三角窗的四种波形n 汉宁（Hanning）窗升余弦窗HnN2( )0.5 1cos( )1nwnRnN1jj2HnHnHngjHnHn1j2RgRgRg1j2Hng(e ) FT( )( )e(e ) FT( )22 0.5( ) 0.25e11 ( )eNNNWW nWWW nWWWNNW 汉宁窗的四种波形 海明窗的四种波形 布莱克曼窗的四种波形凯塞凯塞贝塞尔窗（贝塞尔窗（Kaiser-Basel Window）以上五种窗函数都称为参数固定窗函数，每种窗函数的旁瓣幅度都是固定的。凯塞贝塞尔窗是一种参数

19、可调的窗函数，是一种最优窗函数。 式中10)()()(00kNnIIn，21121Nnn4.线性相位线性相位FIR低通滤波器的设计低通滤波器的设计7.4 频率抽样设计法频率抽样设计法n一、设计思想一、设计思想n设希望逼近的滤波器的频响函数用设希望逼近的滤波器的频响函数用Hd(ej)表示，对它在表示，对它在=0到到2之间等间隔采样之间等间隔采样N点，得到点，得到Hd(k)：1210| )e()(2jddNkHkHkN，再对Hd(k)进行N点IDFT，得到h(n)： h(n)作为所设计的FIR滤波器的单位脉冲响应，其系统函数H(z)为1210e )(1)(102jdNnkHNnhNkknN，10)

20、()(NnnznhzHn二、二、 线性相位的约束线性相位的约束FIR滤波器具有线性相位的条件是h(n)为实序列，且满足h(n)=h(Nn1)，在此基础上我们已推导出其频响函数应满足的条件是：jj ()ddg(e )( )eHH 21)(Ndgdg( )(2)HHN = 奇数 dgdg( )(2)HH N = 偶数 在=02区间上N个等间隔的采样频点为将=k代入上面式中，并写成k的函数： kNk2k = 0，1，2，N 1 )(jgde )()(kkHkHkNNkNNk1221)()()(ggkNHkHN = 奇数 )()(ggkNHkHN = 偶数 n三、三、 频率抽样的两种方法频率抽样的两种方法n图图7.17两种频率抽样两种频率抽样(型，型，型型)102)()(NnnkNjenhkH)()()()(kNHkRkNHkHNN