《建筑环境测试技术》第2章 测量误差和数据处理

1、第二章第二章 测量误差和数据处理测量误差和数据处理第一节第一节 测量误差的来源测量误差的来源第二节第二节 随机误差分析随机误差分析第三节第三节 系统误差分析系统误差分析第四节第四节 误差的合成、间接测量的误差误差的合成、间接测量的误差 传递与分配传递与分配第五节第五节 测量数据的处理测量数据的处理难点重点难点重点v正态分布的标准差、近似标准差（贝塞正态分布的标准差、近似标准差（贝塞尔公式）尔公式）v直接测量的数学表达式直接测量的数学表达式v误差的合成误差的合成v间接测量误差的传递间接测量误差的传递第一节第一节 测量误差的来源测量误差的来源v1仪器误差仪器误差v2人员误差人员误差v3环境误差环境

2、误差v4方法误差方法误差N(t)AxN(t)AxN(t)AxN(t)Ax只有随机误差累进系统误差恒定系统误差周期性系统误差第二节第二节 随机误差分析随机误差分析 就单次测量而言，随机误差没有规律，就单次测量而言，随机误差没有规律，但当测量次数足够多时，则服从正态分但当测量次数足够多时，则服从正态分布规律，随机误差的特点为布规律，随机误差的特点为对称性、有对称性、有界性、单峰性、抵偿性。界性、单峰性、抵偿性。f()问题问题 测量总是存在误差，而且误差究竟测量总是存在误差，而且误差究竟等于多少难以确定，那么，从测量等于多少难以确定，那么，从测量值如何得到真实值呢？值如何得到真实值呢？ 例如，测量室

3、温，例如，测量室温，6次测量结果分别为次测量结果分别为19.2,19.3,19.0,19.0,22.3,19.2,19.3,19.0,19.0,22.3,19.5,19.5,那么室温究竟是多少呢？那么室温究竟是多少呢？ x=A ，置信概率为置信概率为p x的真值落在的真值落在A- ， A+ 区间内的概率为区间内的概率为p。 A和和 如何确定呢？如何确定呢？一测量值的数学期望和标准差一测量值的数学期望和标准差1数学期望数学期望 对被测量对被测量x进行等精度进行等精度n次测量，得到次测量，得到n个测量值个测量值x1，x2，x3，xn。则。则n个个测得值的算术平均值为：测得值的算术平均值为：niin

4、xx11 当测量次数当测量次数 时，样本平均值的时，样本平均值的极限定义为测得值的数学期望。极限定义为测得值的数学期望。niinnxxE11limAxiinAxniinii11v当测量次数当测量次数 时，测量值的时，测量值的数学期望等于被测量的真值。数学期望等于被测量的真值。nn?分析：分析：根据随机误差的抵偿特性，当根据随机误差的抵偿特性，当 时时 =0，即，即nii1xniinniiExAnAx111n所以，当测量次数所以，当测量次数 时，测时，测量值的数学期望等于被测量的真值。量值的数学期望等于被测量的真值。nnAxniinii11111nniixniixnAAxE2剩余误差剩余误差（残

5、差）（残差） 当进行有限次测量时，测得值与算术平当进行有限次测量时，测得值与算术平均值之差。均值之差。 数学表达式：数学表达式：xxvii011111niinniiniiniixnxxnxv对上式两边求和得：对上式两边求和得：所以可得剩余误差得代数和为所以可得剩余误差得代数和为0。011111niinniiniiniixnxxnxv011111niinniiniiniixnxxnxvniinnnixinnEx1211212limlim)(4标准差标准差（标准误差，均方根误差）（标准误差，均方根误差） 对方差开平方。对方差开平方。 niinn121lim反映了测量的精密度，反映了测量的精密度，小

6、表示精小表示精密度高，测得值集中，密度高，测得值集中，大，表示精大，表示精密度底，测得值分散。密度底，测得值分散。3. 方差方差f()二随机误差的正态分布分析二随机误差的正态分布分析1正态分布正态分布高斯于高斯于1809年推导出描述随机误差统年推导出描述随机误差统计特性的解析方程式，称高斯分布规律。计特性的解析方程式，称高斯分布规律。22221)(ef随机误差随机误差标准误差标准误差曲线下面的面积对应误差在不同区间曲线下面的面积对应误差在不同区间出现的概率。出现的概率。例如：例如：)()(bapdfba1)()(pdf%3 .68)()(pdff()()(bapdfba)()(bapdfba%

7、3 .68)()(pdf%3 .68)()(pdf从正态分布曲线可看出：从正态分布曲线可看出：绝对值越小，绝对值越小， 愈大，说明绝对愈大，说明绝对值小的误差出现的概率大。值小的误差出现的概率大。大小相等符号相反的误差出现的概率大小相等符号相反的误差出现的概率相等。相等。f()(f愈小，正态分布曲线愈尖锐，愈小，正态分布曲线愈尖锐，愈愈大，正态分布曲线愈平缓。说明大，正态分布曲线愈平缓。说明反映反映了测量的精密度。了测量的精密度。 =1 =22 2极限误差极限误差 从上式可见，随机误差绝对值大于从上式可见，随机误差绝对值大于3的概率很小，只有的概率很小，只有0.3%0.3%，出现的可能性，出现

8、的可能性很小。因此定义：很小。因此定义： %7 .99)33()(33pdf33随机误差的特点随机误差的特点单峰性单峰性 误差绝对值越小，出现密度越误差绝对值越小，出现密度越大，误差绝对值越大，出现密度越小大，误差绝对值越大，出现密度越小对称性对称性 绝对值相同，符号相反的误差绝对值相同，符号相反的误差出现的概率相等出现的概率相等抵偿性抵偿性 当测量当测量次数次数n时，误差总和时，误差总和为零为零有界性有界性 误差落误差落-3 , 3 的概率为的概率为0.9973 3 也称为极限误差或者误差限也称为极限误差或者误差限3 3贝塞尔公式贝塞尔公式v采用残差代替随机误差采用残差代替随机误差v有限次测

9、量标准误差的最佳估计值有限次测量标准误差的最佳估计值 （近似标准误差）近似标准误差）niinn121lim标准差标准差（标准误差，均方根误差）：（标准误差，均方根误差）：niivn1211贝塞尔公式贝塞尔公式 算术平均值的标准差算术平均值的标准差平均值标准误差的最佳估计值平均值标准误差的最佳估计值 （近似平均值标准误差）（近似平均值标准误差）211(1)nixivnnn 11lim(), mxjxmjxmn niixvnnn12) 1(1/三有限次测量下测量结果表达式三有限次测量下测量结果表达式步骤步骤：1）列出测量数据表；）列出测量数据表；2）计算算术平均值）计算算术平均值 、 、 ；xiv

10、2iv3）计算）计算 和和 ； x 置信概率置信概率0.9973 xx3 xxxx2置信概率置信概率0.9545置信概率置信概率0.68274）给出最终测量结果表达式：）给出最终测量结果表达式：第三节第三节 系统误差分析系统误差分析N(t)AxN(t)AxN(t)Ax累进系统误差累进系统误差恒定系统误差恒定系统误差周期性系统误差周期性系统误差一、分类一、分类：恒定恒定系统误差系统误差 变化变化系统误差系统误差二、系统误差的判断二、系统误差的判断1理论分析法理论分析法，可通过对测量方法的定，可通过对测量方法的定性分析发现测量方法或测量原理引入的性分析发现测量方法或测量原理引入的系统误差。系统误差

11、。2校准和比对法校准和比对法：测量仪器定期进行校：测量仪器定期进行校准或检定并在检定书中给出修正值。准或检定并在检定书中给出修正值。3改变测量条件法改变测量条件法：根据在不同的测量：根据在不同的测量条件下测得的数据进行比较，可能发现条件下测得的数据进行比较，可能发现系统误差。系统误差。4剩余误差观察法剩余误差观察法：根据测量数据列剩：根据测量数据列剩余误差的大小及符号变化规律可判断有余误差的大小及符号变化规律可判断有无系统误差及误差类型，这种方法不能无系统误差及误差类型，这种方法不能发现定值系统误差。发现定值系统误差。三消除系统误差产生的根源三消除系统误差产生的根源要减少系统误差要注意以下几个

12、方面。要减少系统误差要注意以下几个方面。v1采用的测量方法及原理正确。采用的测量方法及原理正确。v2选用的仪器仪表的类型正确，准确选用的仪器仪表的类型正确，准确度满足要求。度满足要求。v3测量仪器应定期校准、检定，测量测量仪器应定期校准、检定，测量前要调零，应按照操作规程正确使用仪前要调零，应按照操作规程正确使用仪器。对于精密测量必要时要采取稳压、器。对于精密测量必要时要采取稳压、恒温、电磁屏蔽等措施。恒温、电磁屏蔽等措施。v4条件许可，尽量采用数显仪器。条件许可，尽量采用数显仪器。v5提高操作人员的操作水平及技能。提高操作人员的操作水平及技能。四削弱系统误差的方法四削弱系统误差的方法1零示法

13、零示法:2替代法替代法（置换法）：在测量条件不变（置换法）：在测量条件不变的情况下，用一标准已知量替代待测量，的情况下，用一标准已知量替代待测量，通过调整标准量使仪器示值不变，于是通过调整标准量使仪器示值不变，于是标准量的值等于被测量。标准量的值等于被测量。这两种方法主要用来消除定值系统误差。这两种方法主要用来消除定值系统误差。3利用修正值或修正因数加以消除。利用修正值或修正因数加以消除。4随机化处理随机化处理5智能仪器中系统误差的消除智能仪器中系统误差的消除（1）直流零位校准。）直流零位校准。（2）自动校准。）自动校准。第四节第四节 误差的合成、间接测量的误误差的合成、间接测量的误差传递与分

14、配差传递与分配一一误差合成误差合成 由多个不同类型的单项误差求测量中的由多个不同类型的单项误差求测量中的总误差是误差合成问题。总误差是误差合成问题。1、随机误差合成随机误差合成 若测量结果中有若测量结果中有k个彼此独立的随机误差，各个彼此独立的随机误差，各个随机误差互不相关，各个随机误差的标准个随机误差互不相关，各个随机误差的标准方差分别为方差分别为1 1、2 2、3 3、k k则随机误则随机误差合成的总标准差差合成的总标准差为：为：kii12若以极限误差表示，则合成的极限误若以极限误差表示，则合成的极限误差为：差为：kiill12 当随机误差服从正态分布时，对应的极当随机误差服从正态分布时，

15、对应的极限误差。限误差。 iil32 2、系统误差的合成、系统误差的合成（1）确定的系统误差的合成确定的系统误差的合成 又称已定系统误差，是指测量误差的大又称已定系统误差，是指测量误差的大小、方向和变化规律是可以掌握的。只小、方向和变化规律是可以掌握的。只要是已定的系统误差，都应当用代数的要是已定的系统误差，都应当用代数的方法计算其合成误差。方法计算其合成误差。表达式：表达式：miim121由于所得结果是明确大小和方向的数值，由于所得结果是明确大小和方向的数值，故可直接在测量结果中修正，在一般情故可直接在测量结果中修正，在一般情况下最后测量结果不应含有已定系统误况下最后测量结果不应含有已定系统

16、误差的内容。差的内容。 （2 2）不确定系统误差的合成）不确定系统误差的合成 不确定系统误差又称未定系统误差，指测量不确定系统误差又称未定系统误差，指测量误差既具有系统误差可知的一面，又具有不误差既具有系统误差可知的一面，又具有不可预测的随机误差一面。在通常情况下，未可预测的随机误差一面。在通常情况下，未定系统误差多以极限误差的形式给出误差的定系统误差多以极限误差的形式给出误差的最大变化范围。最大变化范围。绝对值合成法绝对值合成法：当当m m大于大于1010时，合成误差估计值往往偏大。时，合成误差估计值往往偏大。一般应用于一般应用于m m小于小于1010。miim121)(表达式：表达式：(2

17、)(2)方和根合成法方和根合成法一般应用于一般应用于m m大于大于1010。miikm122221表达式：表达式：例例5 5：0.5级，量程级，量程0600kPa，分度，分度值值2kPa，h=0.05m，读数，读数300kPa，指针来回摆动，指针来回摆动1个个格，环境温度格，环境温度30C，偏离，偏离1C的附加误差为基本误差的的附加误差为基本误差的4%。仪表精度等级引起的误差：仪表精度等级引起的误差：kpa3)600%5 . 0()(1mjLp读数误差（即分度误差）读数误差（即分度误差） 2 2kpakpa2pkpa2 . 6)2 . 123(pkpa2 . 1%43103p环境温度引起误差：

18、环境温度引起误差：kpa5 . 010100005. 04ghp安装位置引起的误差：安装位置引起的误差：前三项属于未定系统误差，最后一项前三项属于未定系统误差，最后一项属于已定系统误差。属于已定系统误差。前三项按绝对值合成法：前三项按绝对值合成法：300.56.2kPaP 3 3随机误差与系统误差的合成随机误差与系统误差的合成 其中其中为已定系统误差，为已定系统误差，e为未定系统误为未定系统误差，差，l为随机误差的极限误差。为随机误差的极限误差。le二间接测量的误差传递二间接测量的误差传递研究函数误差一般有以下三个内容：研究函数误差一般有以下三个内容：已知函数关系及各个测量值的误差，已知函数关

19、系及各个测量值的误差，求函数即间接测量的误差。求函数即间接测量的误差。已知函数关系及函数的总误差，分配已知函数关系及函数的总误差，分配各个测量值的误差。各个测量值的误差。确定最佳测量条件，使函数误差达到确定最佳测量条件，使函数误差达到最小。最小。 1 1函数误差传递的基本公式函数误差传递的基本公式假设间接测量的数学表达式为：假设间接测量的数学表达式为：将上式按泰勒级数展开将上式按泰勒级数展开),(21nxxxfy直接测量值直接测量值间接测量值间接测量值nnnxxfxxfxxfxxxfyy221121),(2222222221212212121nnxxfxxfxxf略去高阶项略去高阶项绝对误差：

20、绝对误差：niiinnxxfxxfxxfxxfy12211niiinnyxxfyxxfyxxfyxxfyy12211相对误差：相对误差：2 2系统误差的函数传递系统误差的函数传递当系统误差为已定系统误差时将各直接当系统误差为已定系统误差时将各直接测量的系统误差代入测量的系统误差代入上式上式计算即可。当计算即可。当系统误差为未定系统误差，当各分项数系统误差为未定系统误差，当各分项数小于小于10可采用绝对和法，当各分项数大可采用绝对和法，当各分项数大于于10可采用方和根法。可采用方和根法。绝对和法绝对和法：niiixxfy1方和根法方和根法：niiixxfy122（1）和差函数的误差传递和差函数的

21、误差传递 设设 ， 则绝对误差则绝对误差21xxy21xxy21xxy2212211221221211121211xxyxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyy2212211221221211121211xxyxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyy若误差符号不确定：若误差符号不确定：相对误差：相对误差：1212ffyxxxx （2）积函数误差传递积函数误差传递 设设 ， 则绝对误差则绝对误差21xxy2112xxxxy21212112xxyxxxxxxyy21xxy若误差符号不确定：若误差符号不确定：相对误差：相对误差：1212ffyxxxx （3）商函数误差传递商函数误差传递设设

22、，则绝对误差，则绝对误差21xxy 2221121xxxxxy21xxyyy相对误差：相对误差：21xxy若误差符号不确定：若误差符号不确定：1212ffyxxxx （4）幂函数的误差传递幂函数的误差传递 设设 ，则绝对误差，则绝对误差nmxkxy2121211211xxknxxxkmxynmm21xxynmyy相对误差：相对误差：21xxynm若误差符号不确定：若误差符号不确定：例例6：已知：已知：R1=1k，R2=2 k， ， ，求求 。%51R%52R21RRRR%521212211RRRRRRRRR解：解：结论：相对误差相同的电阻串联后总电阻的结论：相对误差相同的电阻串联后总电阻的相对

23、误差保持不变。相对误差保持不变。%521212211RRRRRRRRR125%5%1212 例例7 7：温度表量程为：温度表量程为100100，精度等级，精度等级1 1级，级，t t1 1=65=65，t t2 2=60=60，计算温差的相，计算温差的相对误差。对误差。解解1 1： 1%1100mt121122240%5mmttttt 解 ：%405221211ttttmmt%405221211ttttmmt111.5%65t 211.7%60t 12656039.9%65606560ttt 12656039.9%65606560ttt 例例8：已知：已知 ， ， ， ，求，求 。RtIQ2%

24、2i%1R%5 . 0tQ%5 . 52tRiQ解：解：3 3随机误差的函数传递随机误差的函数传递),(21nxxxfy已 知 各 个 直 接 测 量 的 标 准 误已 知 各 个 直 接 测 量 的 标 准 误差差 ， ， ，则，则 1x2xnxnixixnxxyinxfxfxfxf1222222222121ninixixnxxyDxfxfxfxfin121222222222121部分误差部分误差iixifDxnixixnxxyyxfyxfyxfyxfyin1222222222121nixixnxxyyxfyxfyxfyxfyin1222222222121相对误差相对误差三间接测量的误差分配

25、三间接测量的误差分配解决误差分配问题。通常采取的方法为解决误差分配问题。通常采取的方法为等作用原则等作用原则，调整原则调整原则。所谓等作用原则，即假设各直接测量的所谓等作用原则，即假设各直接测量的部分误差相等部分误差相等D D1 1=D=D2 2= =D Dn nynD1按照等作用原则进行误差分配并不合理，主要按照等作用原则进行误差分配并不合理，主要原因，在实际应用中，有些量达到高精度测量原因，在实际应用中，有些量达到高精度测量比较困难，要付出很高代价，而有些则相对较比较困难，要付出很高代价，而有些则相对较容易。故需要根据实际情况进行调整。容易。故需要根据实际情况进行调整。221nyiDnD

26、221nyiDnD 例例9：散热器装置：散热器装置： ，设计，设计工况工况L=50L/h，进出口温差，进出口温差 。 )(21ttcLQ25t2222212221QtfQtfQLfQttLQ%102222212221 QtfQtfQLfQttLQ按照题意，误差应写成极限误差的形式。即按照题意，误差应写成极限误差的形式。即分析分析：直接测量为流量：直接测量为流量L，散热器进出口，散热器进出口温度温度t1、t2。间接测量为热量。间接测量为热量Q。要求测。要求测量误差小于等于量误差小于等于10%。按照等作用原则，可得流量及温差的部按照等作用原则，可得流量及温差的部分误差分别为分误差分别为7.1%。再

27、根据实际情况选择调整。再根据实际情况选择调整。21122212221222112ttttLLttttttLL第五节第五节 测量数据的处理测量数据的处理一有效数字的处理一有效数字的处理1有效数字有效数字：从数字的左边第一个不为零的数：从数字的左边第一个不为零的数字起，到右面最后一个数字（包括零）止。字起，到右面最后一个数字（包括零）止。2舍入原则舍入原则：小于：小于5舍，大于舍，大于5入，等于入，等于5时采取时采取偶数法则。偶数法则。12.5写作写作12；13.5写作写作143有效数字的运算规则有效数字的运算规则：运算时各个数据保留的：运算时各个数据保留的位数一般以精度最差的那一项为基准。加减法

28、位数一般以精度最差的那一项为基准。加减法运算以小数点后位数最少的为准。乘除法运算运算以小数点后位数最少的为准。乘除法运算以有效数字位数最少的数为准。乘方、开方运以有效数字位数最少的数为准。乘方、开方运算结果比原数多保留一位有效数字。算结果比原数多保留一位有效数字。 二等精度测量结果的处理二等精度测量结果的处理 处理步骤处理步骤：1）利用修正值等方法对测得值进行修正；）利用修正值等方法对测得值进行修正；将数据列成表格。将数据列成表格。3）列出残差：）列出残差： ，并验证，并验证xxvii01niivniinxx112）求算术平均值：）求算术平均值：niivn12114）计算标准偏差：）计算标准偏

29、差：5）按照）按照 原则判断测量数据是否原则判断测量数据是否含有粗差，若有则予以剔除并转到含有粗差，若有则予以剔除并转到2从从新计算，直到没有坏值为止。新计算，直到没有坏值为止。3ivnx6）根据残差的变化趋势判断是否含有系）根据残差的变化趋势判断是否含有系统误差，若有应查明原因，消除后从新统误差，若有应查明原因，消除后从新测量。测量。7）求算术平均值的标准偏差：）求算术平均值的标准偏差：xxx38）写出最终结果表达式。）写出最终结果表达式。例题例题 使用某水银玻璃棒温度计测量室温，共使用某水银玻璃棒温度计测量室温，共进行了进行了16次等精度测量，测量结果列于次等精度测量，测量结果列于表中。该

30、温度计的检定书上指出该温度表中。该温度计的检定书上指出该温度计具有计具有0.05的恒定系统误差。请写出的恒定系统误差。请写出最后的测量结果。最后的测量结果。例题解答（1）Nxixivivi2vi(vi)21205.35205.300.000.00000.090.00812204.99204.94-0.360.1296-0.270.07293205.68205.630.330.10890.420.17644205.29205.24-0.060.00360.030.00095206.70206.651.351.8225坏值6205.02204.97-0.330.1089-0.240.0576720

31、5.41205.360.060.00360.150.02258205.21205.16-0.140.0196-0.050.00259205.76205.710.410.16810.500.250010204.75204.70-0.600.3600-0.510.260111204.91204.86-0.440.1936-0.350.122512205.40205.350.050.00250.140.019613205.26205.21-0.090.00810.000.000014205.24205.19-0.110.0121-0.020.000415205.26205.21-0.090.00810.000.000016205.37205.320.020.00040.110.0121计算值vi=0vi=0例题解答（2