215三重积分学习课程

1、设设),(zyxf是空间有界闭区域是空间有界闭区域 上的有界函数，将闭上的有界函数，将闭 区域区域 任意分成任意分成n个小闭区域个小闭区域1v ，2v , ,nv ，其，其 中中iv 表示第表示第i个小闭区域，也表示它的体积个小闭区域，也表示它的体积, , 在每个在每个 iv 上任取一点上任取一点),(iii 作乘积作乘积iiiivf ),( ， ), 2 , 1(ni ， 并作和， 并作和, , 如果当各小闭区域的直径中的如果当各小闭区域的直径中的最大值最大值 趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限限为函数为函数),(zyxf在闭区域在闭区域 上的三重

2、积分，记上的三重积分，记为为 dvzyxf),(, ,即即 一、三重积分的定义.),(lim),(10iniiiivfdvzyxf .叫做体积元素叫做体积元素其中其中dv第1页/共56页第一页，编辑于星期五：二点 十六分。, 来划分来划分用平行于坐标面的平面用平行于坐标面的平面在直角坐标系中，如果在直角坐标系中，如果.lkjizyxv 则则三三重积重积记为记为 dxdydzzyxf),(iiiniivf ),(lim10 . . .积元素积元素叫做直角坐标系中的体叫做直角坐标系中的体其中其中dxdydz三重积分的性质与二重积分的类似。三重积分的性质与二重积分的类似。特别地，特别地，被积函数被积

3、函数1),( zyxf时，时， 的体积的体积 dv . . 第2页/共56页第二页，编辑于星期五：二点 十六分。直角坐标系中将三重积分化为三次积分直角坐标系中将三重积分化为三次积分二、三重积分的计算)(1xyy )(2xyy 如图，如图，,Dxoy面上的投影为闭区域面上的投影为闭区域在在闭区域闭区域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作直线作直线过点过点Dyx 穿出穿出穿入，从穿入，从从从21zzxyzo D),(yxab),(1yxzz ),(2yxzz 2S1S1z2z第3页/共56页第三页，编辑于星期五：二点 十六分。的函数，则的函数，则只看作只看作看作定值，将看作定

4、值，将先将先将zzyxfyx),(, ),(),(21),(),(yxzyxzdzzyxfyxF上的二重积分上的二重积分在闭区间在闭区间计算计算DyxF),(.),(),(),(),(21 DyxzyxzDddzzyxfdyxF ,),()(:21bxaxyyxyD 得得是是 x、y 的函数。的函数。 dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx第4页/共56页第四页，编辑于星期五：二点 十六分。 dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx注意注意相交不多于两点情形相交不多于两点情

5、形的边界曲面的边界曲面区域区域内部的直线与闭内部的直线与闭轴且穿过闭区域轴且穿过闭区域平行于平行于Sz )1(分若干个小区域来讨论分若干个小区域来讨论相交多于两点时，把相交多于两点时，把的边界曲面的边界曲面闭区域闭区域内部的直线与内部的直线与轴且穿过闭区域轴且穿过闭区域若平行于若平行于 )2(Sz第5页/共56页第五页，编辑于星期五：二点 十六分。三重积分化为三次积分的过程：三重积分化为三次积分的过程：。面上投影，得到面上投影，得到向向Dxoy )1( xyzo D )2(轴投影，得到轴投影，得到向向xDab ).()(, :21xyyxybxaD,),( )3(作直线作直线过点过点Dyx 得

6、到得到).,(),(21yxzzyxz 1z2z),(yx ).,(),(),()( , :2121yxzzyxzxyyxybxa事实上，事实上， dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx第6页/共56页第六页，编辑于星期五：二点 十六分。面上投影，得到面上投影，得到向向Dxoy )1( )2(轴投影，得到轴投影，得到向向 yD . ),()(:11dycyxxyxD,),( )3(作直线作直线过点过点Dyx 得到得到).,(),(21yxzzyxz 事实上，事实上， ).,(),(, ),()( :2111yxzzyxzdycyxx

7、yxxyzo Dcd1z2z),(yx dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 dcyxyxyxzyxzdzzyxfdxdy第7页/共56页第七页，编辑于星期五：二点 十六分。面上投影，得到面上投影，得到向向yzDyoz )1( )2(轴投影，得到轴投影，得到向向 yDyz . ),()(:11byayzzyzD,),( )3(作直线作直线过点过点yzDzy 得到得到).,(),(21zyxxzyx 事实上，事实上， ).()( , ),(),(:2111yzzyzbyazyxxzyxD),(zyabxyzo 1x2x dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 b

8、ayzyzzyxzyxdxzyxfdzdy第8页/共56页第八页，编辑于星期五：二点 十六分。例例 1 1 计算三重积分计算三重积分 xdxdydz，其中，其中 为三个坐标为三个坐标 面及平面面及平面12 zyx所围成的闭区所围成的闭区域域. . 211xozy1。面上投影，得到面上投影，得到向向Dxoy .210, 10 :xyxD, ),(的直线的直线轴轴作平行与作平行与过点过点zDyx 得到得到.210yxz 解解D于是，于是， dxdydzx 10021021 xyxxdzdydx第9页/共56页第九页，编辑于星期五：二点 十六分。 10021 0 21 xdyxzdxyx 10022

9、1)2(xdyxyxxdx 1002221)(dxxyyxxx 1032)2(41dxxxx1 0 4324132241 xxx.481 于是，于是， dxdydzx 10021021 xyxxdzdydx, ),(的直线的直线轴轴作平行与作平行与过点过点zDyx 得到得到.210yxz 第10页/共56页第十页，编辑于星期五：二点 十六分。例例 2 2 化三重积分化三重积分 dxdydzzyxfI),(为三次积分，为三次积分， 其中积分区域其中积分区域 为由曲面为由曲面 222yxz 及及 22xz 所围成的闭区域所围成的闭区域. . 解解由由 22222xzyxz, , 得交线投影区域得交

10、线投影区域 , 122 yx故故 ： 22222221111xzyxxyxx, , 第11页/共56页第十一页，编辑于星期五：二点 十六分。.),( 11221122222 xyxxxdzzyxfdydxI因此，因此，故故 ： 22222221111xzyxxyxx, , 第12页/共56页第十二页，编辑于星期五：二点 十六分。oxyz12例例 3 3 计算三重积分计算三重积分 dxdydzz 。 其中其中 ：平面：平面 , 0 , , 2 , 1 zxyxx及及 yz 2 所围成的闭区域所围成的闭区域. . 。面上投影，得到面上投影，得到向向Dxoy .0, 21:xyxD, ),(轴的直线

11、轴的直线作平行与作平行与过点过点zDyx 得到得到.20yz 解解D .200, 21: yzxyx，即即第13页/共56页第十三页，编辑于星期五：二点 十六分。于是，于是， dxdydzz 21020 xyzdzdydxoxyz12。面上投影，得到面上投影，得到向向Dxoy .0, 21:xyxD, ),(轴的直线轴的直线作平行与作平行与过点过点zDyx 得到得到.20yz 解解D .200, 21: yzxyx，即即 210281xdyydx 213241dxx.325 第14页/共56页第十四页，编辑于星期五：二点 十六分。截面法的一般步骤：截面法的一般步骤： (1) (1) 把积分区域

12、把积分区域 向某轴（例如向某轴（例如z轴）投影，得投影轴）投影，得投影 区间区间,21cc； (2) (2) 对对,21ccz 用过用过z轴且平行轴且平行xoy平面的平面去截平面的平面去截 ，得截面，得截面zD; ; (3)(3) 计算二重积分计算二重积分 zDdxdyzyxf),( 其结果为其结果为z的函数的函数)(zF； (4) (4) 最后计算单积分最后计算单积分 21)(ccdzzF即得三重积分值即得三重积分值. . zzD第15页/共56页第十五页，编辑于星期五：二点 十六分。例例 4 4 计算三重积分计算三重积分dxdydzz2，其中，其中 是由椭是由椭球球 面面 1222222

13、czbyax 所成所成的空间的空间闭区域闭区域. . : ,| ),(czczyx 1222222czbyax 原式原式,2 zDccdxdydzz 解解xyzozD| ),(yxDz 1222222czbyax 第16页/共56页第十六页，编辑于星期五：二点 十六分。)1()1(222222czbczadxdyzD ),1(22czab ccdzzczab222)1( .1543abc | ),(yxDz 1222222czbyax 原式原式因此，因此，第17页/共56页第十七页，编辑于星期五：二点 十六分。例例 5 5 计算三重积分计算三重积分dxdydzxy 21，其中，其中 由曲由曲

14、面面221zxy ，122 zx，1 y所围所围成成. . 解解如图如图, ,xyzo111dzzxxdxxx21221111222 222211,:11,11.xxzxxyy 221211xzxzDyx dxdzdy原式第18页/共56页第十八页，编辑于星期五：二点 十六分。dxzzxxxx )3(1 111132222 1142)21(31dxxx.4528 dzzxxdxxx21221111222 . 11,11, 11:2222yyxxzxx221211xzxzDyx dxdzdy原式第19页/共56页第十九页，编辑于星期五：二点 十六分。定理设变换T : x = x(u, v, w)

15、, y = y(u, v, w), z = z(u, v, w)将 uvw 空间中的有界闭区域 uvw 变成 xyz 空间中的有界闭区域xyz , 且满足1) x=x(u, v, w), y= y(u, v, w), z=z(u, v, w)C1(uvw)三 三重积分换元法第20页/共56页第二十页，编辑于星期五：二点 十六分。2)wzvzuzwyvyuywxvxuxwvuzyx),(),( 0, (u, v, w)uvw若 f (u, v, w)R(), 则有xyzzyxzyxfddd),(xyzwvuwvuzyxwvuzwvuywvuxfddd),(),(),(),(),(第21页/共56

16、页第二十一页，编辑于星期五：二点 十六分。例5. 计算,2dxdydzxI其中是由曲面xzxzbaybyzayz,),0 , 0(,22)0(),0(hhz所围成的区域.解:作变换,:2zwxzvyzuT,0 ,| ),(hwvbuawvu：变成则第22页/共56页第二十二页，编辑于星期五：二点 十六分。而由公式(5),1),(),(),(),(zyxwvuwvuzyxdxdydzxI2dwwdvvduuhba02742321.11112722933hba2322zyx.21232uwvdudvdwuwvvw2322221第23页/共56页第二十三页，编辑于星期五：二点 十六分。,0 r,20

17、 . z1、利用柱面坐标计算三重积分的柱面坐标的柱面坐标就叫点就叫点，则这样的三个数，则这样的三个数的极坐标为的极坐标为的投影的投影面上面上在在为空间内一点，并设点为空间内一点，并设点设设MzrrPxoyMzyxM , , ,),( 规定：规定：xyzo),(zyxM),( rP r简单地说，柱面坐标就是简单地说，柱面坐标就是xoy 面上的极坐标面上的极坐标 + + z 坐标坐标第24页/共56页第二十四页，编辑于星期五：二点 十六分。 .,sin,coszzryrx 柱面坐标与直角坐标的柱面坐标与直角坐标的关系为关系为为常数为常数r为常数为常数z为常数为常数 如图，三坐标面分别为如图，三坐标

18、面分别为圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平平 面面r xyzoz),(zyxM),( rP rxyzo第25页/共56页第二十五页，编辑于星期五：二点 十六分。从而zzzyzxzyxrzryrxzrzyx),(),( 1000cossin0sincosrrcossinsincosrr= r第26页/共56页第二十六页，编辑于星期五：二点 十六分。xyzzyxzyxfddd),(zrzrrzrrfddd),sin,cos(所以,一般, r z 表为:r1( ) r2( ),z1(r, ) z2 (r , ). , 第27页/共56页第二十七页，编辑于星期五：二点 十六分。 dxdydzzyxf)

19、,(.) ,sin ,cos( dzddrrzrrf 如图，柱面坐标系中的如图，柱面坐标系中的体积元素为体积元素为, dzddrrdv 于是，于是， drxyzodzdr rd再根据再根据 中中 z，r， 的关系，化为三次积分。的关系，化为三次积分。一般，先对一般，先对 z 积分，再对积分，再对 r ，最后对，最后对 积分。积分。第28页/共56页第二十八页，编辑于星期五：二点 十六分。例例6 利用柱面坐标计算三重积分利用柱面坐标计算三重积分, dxdydzz其中其中 所围成的闭区域。所围成的闭区域。与平面与平面是由曲面是由曲面 4 22 zyxz解解(1) 画画 图图(2) 确定确定 z，r

20、， 的上下限的上下限将将 向向 xoy 面投影，得面投影，得 4 :22 yxD或或 . 20,20 : rD 过过 (r, )D 做平行于做平行于 z 轴轴的直线，得的直线，得xyzo4xyzo4Ao22 r ),( r第29页/共56页第二十九页，编辑于星期五：二点 十六分。xyzo4 ),( r42 zr .,sin,coszzryrx 即即过过 (r, )D 做平行于做平行于 z 轴轴的直线，得的直线，得 4, 20,20 :2 zrr 于是，于是， dxdydzz . dzddrrz 420202 rdzzrdrd Ao22 r, dzddrrdv 第30页/共56页第三十页，编辑于

21、星期五：二点 十六分。 dxdydzz dzddrrz 420202 rdzzrdrd 20422022 drzrdr 20520)(16 21drrrd 202 0 6261821drr2 0 62618221 rr .364 第31页/共56页第三十一页，编辑于星期五：二点 十六分。例例 6 6 求求 zdxdydzI，其中，其中 是球面是球面 4222 zyx 与抛物面与抛物面 zyx322 所围的立体所围的立体. . 解解 zyxzyx3422222求交线：求交线：xyzo将将 向向 xoy 面投影，得面投影，得 . 3 :22 yxD . 1, 322zyxoA3 r或或 .30,2

22、0 : rD 第32页/共56页第三十二页，编辑于星期五：二点 十六分。 dzdrdrzdxdydzzI .413 xyzo 23242030rrzdzrdrd .4322rzr 即即过过 (r, )D 做平行于做平行于 z 轴轴的直线，得的直线，得 .43,30,20 :22 rzrr ),( r .,sin,coszzryrx , dzddrrdv 或或 .30,20 : rD 第33页/共56页第三十三页，编辑于星期五：二点 十六分。例例7 计算三重积分计算三重积分, )(22 dvyx其中其中 是由曲是由曲所围成。所围成。与平面与平面面面 )0( 22 HHzyxz解解将将 向向 xo

23、y 面投影，得面投影，得222 :HyxD 或或 .0,20 : HrD xyzoHxyzoHxyoHHH H .Hzr 过过 (r, )D 做平行于做平行于 z 轴轴的直线，得的直线，得 ),( r第34页/共56页第三十四页，编辑于星期五：二点 十六分。 ,0,20 : HzrHr 即即或或 .0,20 : HrD .Hzr 过过 (r, )D 做平行于做平行于 z 轴轴的直线，得的直线，得xyoHHH H HxyzoH ),( r dvyx )(22. 2 dzddrrr HrHdzrdrd 3020 .,sin,coszzryrx , dzddrrdv 第35页/共56页第三十五页，编

24、辑于星期五：二点 十六分。 HHrdrzrd0 320 HdrrHr043)(2 .10 5H ,0,20 : HzrHr 即即 dvyx )(22. 2 dzddrrr HrHdzrdrd 3020 .,sin,coszzryrx , dzddrrdv 第36页/共56页第三十六页，编辑于星期五：二点 十六分。2、利用球面坐标计算三重积分的球面坐标的球面坐标就叫做点就叫做点，样的三个数样的三个数面上的投影，这面上的投影，这在在为点为点的角，这里的角，这里向线段向线段轴按逆时针方向转到有轴按逆时针方向转到有轴来看自轴来看自为从正为从正轴正向所夹的角，轴正向所夹的角，与与为有向线段为有向线段的距

25、离，的距离，间间与点与点为原点为原点来确定，其中来确定，其中，序的数序的数可用三个有次可用三个有次为空间内一点，则点为空间内一点，则点设设MrxoyMPOPxzzOMMOrrMzyxM ),(,0 r.20 ,0 规定：规定：xyzo),(zyxMP r 第37页/共56页第三十七页，编辑于星期五：二点 十六分。为常数为常数r为常数为常数 为常数为常数 如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆锥面；圆锥面；球球 面；面；半平面半平面 .cos,sinsin,cossin rzryrx球面坐标与直角坐标的关系为球面坐标与直角坐标的关系为Pxyzo),(zyxM r zyxAxyzor 第38页

26、/共56页第三十八页，编辑于星期五：二点 十六分。zyxzyxrzryrxrzyx),(),(由0cossinsinsinsinsincoscoscoscossinsincossinrrrrr第39页/共56页第三十九页，编辑于星期五：二点 十六分。sincoscoscoscossin cossin sinsincoscossinsin sinsinrrrrrr2222cossinsinsinrrsin2r所以xyzzyxzyxfddd),(rrrrrrfdddsin)cos,sinsin,cossin(2第40页/共56页第四十页，编辑于星期五：二点 十六分。 dxdydzzyxf),( .

27、sin)cos,sinsin,cossin( 2 dddrrrrrf球面坐标系中的体积元素为球面坐标系中的体积元素为,sin 2 dddrrdv 如图，如图， drxyzodr dsinr rd d d sinr再根据再再根据再 中中 r， ， 的关系，化为三次积分。的关系，化为三次积分。一般，先对一般，先对 r 积分，再对积分，再对 ，最后对，最后对 积分。积分。第41页/共56页第四十一页，编辑于星期五：二点 十六分。例例8 用球面坐标计算用球面坐标计算. 2 dvz其中其中. 1 :222 zyx解解画画 图。图。确定确定 r， ， 的上下限。的上下限。(1) 将将 向向 xoy 面投影

28、，得面投影，得. 20 (2) 任取一任取一,2 , 0 过过 z 轴作半平面，得轴作半平面，得.0 (3) 在半平面上，任取一在半平面上，任取一, , 0 过原点作过原点作射线，得射线，得. 10 rxyzo第42页/共56页第四十二页，编辑于星期五：二点 十六分。xyzo(3) 在半平面上，任取一在半平面上，任取一, , 0 过原点作过原点作射线，得射线，得. 10 r即即 . 10,0,20 :r dvz2 .cos,sinsin,cossin rzryrx dddrrr 2 22sincos 1024020 sin cosdrrdd 01 0 52205sin cosdrd ddrdr

29、dvsin2 第43页/共56页第四十三页，编辑于星期五：二点 十六分。 0220 sin cos51dd 0220)(cos cos51dd 20 0 33cos51d 20152d.154 dvz2 .cos,sinsin,cossin rzryrx dddrrr 2 22sincos 1024020 sin cosdrrdd 01 0 52205sin cosdrd ddrdrdvsin2 第44页/共56页第四十四页，编辑于星期五：二点 十六分。例例9 计算计算. )( 222 dvzyx其中其中 由曲面由曲面22yxz 和和2222Rzyx 围成。围成。)0( R将将 向向 xoy

30、面投影，得面投影，得. 20 任取一任取一,2 , 0 过过 z.40 在半平面上，任取一在半平面上，任取一,4 , 0 过原点作射线，得过原点作射线，得.0Rr 解解轴作半平面，得轴作半平面，得xyzoR第45页/共56页第四十五页，编辑于星期五：二点 十六分。即即 .0,40,20 :Rr dddrrr 2 2sin Rdrrdd044020 sin xyzoR dvzyx )( 222 .cos,sinsin,cossin rzryrx).22(515 R 在半平面上，任取一在半平面上，任取一,4 , 0 过原点作射线，得过原点作射线，得.0Rr ddrdrdvsin2 第46页/共56

31、页第四十六页，编辑于星期五：二点 十六分。例例 10 10 求曲面求曲面22222azyx 与与22yxz 所围成的立体体积所围成的立体体积. . 解解 由锥面和球面围成，由锥面和球面围成， xyzoR dvV由三重积分的性质，有由三重积分的性质，有 .20,40,20 :ar 第47页/共56页第四十七页，编辑于星期五：二点 十六分。解解由锥面和球面围成，由锥面和球面围成， dvV由三重积分的性质，有由三重积分的性质，有 .20,40,20 :ar xyzoR adrrdd202020sin4 ddrdrdvVsin2.)12(343a .cos,sinsin,cossin rzryrx ddrdrdvsin2 第48页/共56页第四十八页，编辑于星期五：二点