2017北京初三一模数学汇编之几何压轴题

1、2017北京初三一模数学汇编之几何压轴题西城28.在 4ABC 中，AB BC , BD AC 于点 D .(1)如图1 ,当 ABC 90时，若CE平分 ACB ,交AB于点E ,交BD于点F .求证：4BEF是等腰三角形； 一 1 一求证：BD (BC BF) 2，1 (2)点E在AB边上，连接CE.若BD -(BC BE),在图2中补全图形，判断ACE与 ABC之间的2数量关系, 写出你的结论，并写出求解ACE与ABC关系的思路.15 / 17海淀28.在 Y ABCD中，点B关于AD的对称点为 B ,连接AB , CB , CB交AD于F点.(1)如图1, ABC 90 ,求证：F为C

2、B的中点；(2)小宇通过观察、实验、提出猜想：如图 2,在点B绕点A旋转的过程中，点 F始终为CB的中点.小宇把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1 :过点B作B G / CD交AD于G点，只需证三角形全等;想法2：连接BB交AD于H点，只需证 H为BB的中点;想法3：连接BB , BF ,只需证 B BC 90请你参考上面的想法，证明F为CB的中点.(一种方法即可)(3)如图3,当 ABC 135时，AB , CD的延长线相交于点CE “土E,求的值.AF图2东城28.在等月ABC中，(1)如图1,若 ABC为等边三角形，D为线段BC中点，线段AD关于直线

3、AB的对称线段为线段 AE ,连接DE ,则/ BDE的度数为 ;(2)若 ABC为等边三角形，点 D为线段BC上一动点(不与B, C重合)，连接AD并将线段AD绕点D逆时针旋转60。得到线段DE,连接BE.根据题意在图2中补全图形；小玉通过观察、验证，提出猜测：在点D运动的过程中，恒有 CD = BE.经过与同学们的充分讨论,形成了几种证明的思路：思路1:要证明CD=BE,只需要连接 AE,并证明 ADCA AEB ;思路2:要证明CD=BE,只需要过点 D作DF/AB,交AC于F,证明 ADFDEB ;思路3:要证明CD=BE,只需要延长 CB至点G,使得BG=CD,证明 ADCA DEG

4、 ；请参考以上思路，帮助小玉证明CD=BE.(只需要用一种方法证明即可).(直接给出结(3)小玉的发现启发了小明：如图 3,若AB=AC=kBC, AD = kDE ,且/ ADE = ZC,此时小明发现 BE, BD,AC三者之间满足一定的的数量关系，这个数量关系是论无须证明)朝阳房山依题意补全图形；求证= R c A"图1A图N28,在40。中/机沼90”,祝<的,点£1在4<:的延长线上,点£在就边上且雇"=。(1)如图1，连接AE,。%当乙*EB= 110。时求上加E的度敦i在图2中阳线段的绕点E项时针旋转网得到线段EF,连接呼，瓯2

5、8.在4ABC中，AB=BC , Z B= 90 °，点D为直线 BC上一个动点(不与B、C重合)，连结AD,将线段AD绕点D按顺时针方向旋转 90° ,使点 A旋转到点 E,连结EC.(1)如果点D在线段BC上运动，如图1:依题意补全图1 ；求证：/ BAD= / EDC图1通过观察、实验，小明得出结论：在点运动的过程中，总有/ DCE= 135。.小明与同学讨论后，形成了证明这个结论的几种想法:想法一：在 AB上取一点 F,使得 BF=BD ,要证/ DCE =135°,只需证 ADF DEC.想法二：以点 D为圆心，DC为半径画弧交 AC于点F.要证/ DC

6、E= 135° ,只需证 AFDA ECD.想法三：过点 E作BC所在直线的垂线段 EF,要证/ DCE= 135° ,只需证 EF=CF .请你参考上面的想法，证明/DCE= 135°(2)如果点D在线段CB的延长线上运动，利用图 2画图分析，/ DCE的度数还是确定的值吗？如果是，直接写出/ DCE的度数；如果不是，说明你的理由平谷28.在3BC中，AB=AC, / A=60 °,点D是BC边的中点，作射线 DE ,与边AB交于点E,射线DE绕点 D顺时针旋转120°,与直线AC交于点F.(1)依题意将图1补全；(2)小华通过观察、实验提出

7、猜想：在点E运动的过程中，始终有 DE=DF .小华把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1:由点D是BC边的中点，通过构造一边的平行线，利用全等三角形，可证DE=DF;想法2:利用等边三角形的对称性，作点E关于线段 AD的对称点P,由/ BAC与/ EDF互补，可得/ AED与/ AFD互补，由等角对等边，可证 DE=DF;想法3:由等腰三角形三线合一，可得 AD是/ BAC的角平分线，由角平分线定理，构造点 D到AB, AC 的高，利用全等三角形，可证DE = DF.请你参考上面的想法，帮助小华证明DE = DF (选一种方法即可)；(3)在点E运动的过程中

8、，直接写出BE, CF, AB之间的数量关系.通州28.在等边三角形 ABC中，E为直线 AB上一点，连接 EC.ED与直线BC交于点D, ED=EC.(1)如图1, AB=1,点E是AB的中点，求 BD的长;(2)点E是AB边上任意一点(不与 AB边的中点和端点重合)，依题意，将图 2补全，判断AE与BD间的数量关系并证明;(3)点E不在线段AB上，请在图3中画出符合条件的一个图形丰台28.在边长为5的正方形 ABCD中，点E, F分别是BC, DC边上的两个动点（不与点B, C, D重合），且 AEXEF.（1）如图1,当BE = 2时，求FC的长；（2）延长EF交正方形ABCD外角平分线

9、 CP于点P.依题意将图2补全；小京通过观察、实验提出猜想：在点 E运动的过程中，始终有 AE=PE.小京把这个猜想与同 学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的三种想法：想法1:在AB上截取AG=EC,连接EG,要证AE=PE,需证AAGE叁 ECP.想法2:作点A关于BC的对称点 H,连接BH, CH, EH .要证AE=PE,需证4EHP为等腰三角形.想法3:将线段BE绕点B顺时针旋转90°,得到线段BM,连接CM, EM,要证AE=PE,需证四边形MCPE为平行四边形.请你参考上面的想法，帮助小京证明AE=PE.（一种方法即可）石景山28.在正方形 ABCD中，点E是对角线

10、AC上的动点（与点 A, C不重合），连接BE .（1）将射线BE绕点B顺时针旋转45° ,交直线AC于点F .依题意补全图1;小研通过观察、实验，发现线段AE, FC , EF存在以下数量关系：AE与FC的平方和等于 EF的平方.小研把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成证明该猜想的几种想法：想法1 ：将线段BF绕点B逆时针旋转90° ,得到线段BM ,要证AE , FC ,EF的关系，只需证 AE , AM , EM的关系.想法2:将4ABE沿BE翻折,只需证EN , FNEF的关系.请你参考上面的想法，用等式表示线段AE , FC ,（一种方法即可）得到ANBE,

11、要证(2)如图2,若将直线.BE绕点B顺时针旋转135° ,交直线AC于点F .小研完成作 图后，发现直线 AC上存在三条线段(不添加辅助线)满足：其中两条线段的平 方和等于第三条线段的平方，请直接用等式表示这三条线段的数量关系.顺义28.在正方形 ABCD和正方形 DEFG中，顶点B、D、F在同一直线上，H是BF的中点.(1)如图1,若AB=1 , DG=2,求BH的长；(2)如图2,连接AH, GH .图1图2AHXGH.小宇把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成小宇观察图2,提出猜想：AH=GH 了证明该猜想的几种想法：想法1:延长AH交EF于点M,连接AG, GM ,要证

12、明结论成立只需证 GAM是等腰直角三角形;想法2:连接AC, GE分别交BF于点M, N,要证明结论成立只需证4 AMH HNG.请你参考上面的想法，帮助小宇证明AH=GH, AH LGH .(一种方法即可)西城答案M28.证明：在 4ABC 中，AB BC , BD AC于点 D . ABD CBD , AD BD .(1) : ABC 90 , ACB 45 . CE平分 ACBECB ACE 22.5 , BEF CFD BFE 67.5 , BE BF .4BEF是等腰三角形.延长AB至M ,使得BM AB ,连接CM .1 BD II CM , BD -CM .2BCM DBC AB

13、D BMC 45 , BFE BC BM . 由可得，BEF BFE,BE BF .BFE MCE BEF . EM MC .1 -BD -(BC BF).1(2 ) ACE 1 ABC .41 一a.与 1)同理可证 BD II PC, BD PC, BP BC ;21b.由BD 1(BC BF)可知APEC和 BEF分别是等腰三角形；c.由 BEF BFE EBF 180 , FCD DFC 90 ,可知八 1八ACE 1 ABC .4海淀答案28. ( 1)证明：四边形 ABCD为平行四边形，/ ABC=90 °, DABCD 为矩形，AB=CD . / D =/ BAD =

14、90 :B, B关于AD对称，/ B AD=/BAD=90 °, AB=A B . / B AD=/ D./ AF B =/ CFD , AF B 9 ACFD (AAS ) F B =FC.F是CB的中点.(2)证明:方法1:过点B作B G / CD交AD于点G.B, B关于AD对称,/ 1 = Z2, AB=AB .B G / CD, AB / CD,B G / AB .Z2=Z3. /1=/3.B G=CD.B G / CD, . /4=/D., B FGACFD (AAS ).1 F B =FC. F是CB的中点.方法2:连接BB交直线AD于H点,B, B关于AD对称,. A

15、D是线段B B的垂直平分线.1 B H=HB. AD / BC,B'F B'HFC HB1 F B =FC.F是CB的中点.方法3：连接 BB , BF ,B, B关于AD对称,. AD是线段B B的垂直平分线.1 B F=FB . /1 = /2. AD / BC,B bi bc., / B BC=90°., /1+/3=90°, / 2+/4=90°.Z3=Z4.FB=FC., B F=FB=FC. F是CB的中点.(3)解：取B E的中点G,连结GF. 由(2)得，F为CB的中点，_1 一 FG / CE, FG -CE . 2 /ABC=1

16、35 °, DABCD 中，AD / BC,/ BAD=180 °-/ABC=45 °. 由对称性，/ EAD = Z BAD =45 °. FG/CE, AB/CD,FG / AB./ GFA= / FAB=45° ./FGA=90°, GA=GF.八2cFG sin EAD AF AF . 2由，可得 CE J2 ,AF东城答案28.解：(1) 30° ; 1 分(2)思路1 :如图，连接AE.Q AD DE, ADE 60,ADE为等边三角形.QABC为等边三角形，EAB DAC, AB AC, AE AD. EAB

17、ADAC.CD BE. 5分思路2:过点D作DF /AB,交AC于F.Q ABC为等边三角形， AC BC, BAC =60 .Q DF II AB, DFC =60 . CDF为等边三角形.AF BD.Q ADE= ACB= ABC=60 , DAF EDB.又 QAD DE, ADFADEB. DF BE CD. 5分思路3:延长CB至G,使BG = CD.QABC为等边三角形， AC BC, BAC=60 .Q CD BG, DG AC.Q ADE= ACB= ABC=60 , DAF EDB.又 QAD DE, ADCADEG. CD EG BG, C= G=60 . BGE为等边三角

18、形. BE BG CD.5分(3) k(BE + BD)=AC.房山答案28. (1)补全图形1分(2)证明：.一/ B=90o ./ BAD+ / BDA =90o . /ADE=90o,点 D在线段 BC上 ./ BAD+ / EDC =90o/ BAD= / EDC证法1:在AB上取点F,使得 BF=BD ,连结DF -3分 BF=BD , / B=90o ./ BFD=45o ./ AFD=135o BA=BCAF=CD 4 分在 ADF和 DEC中AF CD BAD CDEAD DEADFA DEC5 分 ./ DCE = /AFD=135o 6 分证法2:以D为圆心，DC为半径作弧

19、交DC=DF / DFC=Z DCF AB=BC / B=90o ./ ACB=45o / DFC =45o ./ FDC =90o / AFD=135oAC于点F,连结3分DF . / ADE = Z FDC=90oADF=/ EDC又. AD=DE DF=DCADF CDE5 分AFD=/DCE=135o 6 分3分EF证法3:过点E作EF，BC交BC延长线于点 FEFD=90o . / B=90o,EFD = Z B . / BAD = /CDE, AD=DEABDA DEF4 分AB=DF BD=EF AB=BCBC=DF , BC-DC=DF-DC 即 BD=CF 5 分EF=CF.

20、 / EFC=90o ./ ECF=45o, / DCE=135o 6 分(2) / DCE=45o7 分平谷答案28.解：（1）如图1 ,(2)想法1证明：如图2,过D作DG / AB,交AC于G,点D是BC边的中点，DG= - AB .2 . CDG是等边三角形. ./ EDB+Z EDG= 120° . . / FDG+Z EDG= 120° , ./ EDB = / FDG3 BD=DG , / B=Z FGD =60° , . BDE GDF4DE=DF5想法2证明：如图3,连接AD, 点D是BC边的中点，AD是那BC的对称轴. 作点E关于线段 AD的对

21、称点 P,点P在边AC上， 2ADEA ADP.DE=DP , / AED=Z APD . . / BAC + Z EDF=180° , ./ AED+Z AFD=180° . . / APD+Z DPF=180° , ./ AFD =/ DPF3DP=DF 4DE=DF5想法3证明：如图 4,连接 AD ,过D作DM LAB于M, DNAB于N, 2 点D是BC边的中点，AD 平分/ BAC. DM LAB 于 M, DNAB 于 N, DM=DN 3 / A=60° , ./ MDE +/ EDN= 120° . . / FDN+/ EDN

22、= 120° , ./ MDE= / FDN . RtAMDE RtANDF4DE=DF51 3)当点F在AC边上时， BE CF AB; 62一 ， 1当点F在AC延长线上时，BE CF - AB 7228.解:(1)BD通州答案.(1 分).(2 分).(3 分)(2) AE = BD证明思'路1:利用等边三角形的性质,证明 BDE与EC所在的三角形全等；证明思'路2:利用等腰三角形的轴对称性，作出 BDE的轴对称图形；证明思'路3:将 BDE绕BE边的中点旋转 180° ,.（6 分）构造平行四边形;.（7 分）(3)图形正确丰台答案28.解：

23、(1)二.正方形 ABCD的边长为5, BE=2,EC=3. 四边形ABCD是正方形， ./ B=Z C= 90° , / 1 + / 3=90° , AEXEF ,.2+Z 3=90° ,./ 1 = Z 2.ABEA ECF,.AB CE Rn 53 ，即BEFC 2 FCFC = 6 5(2)依题意补全图形. 3分法1:证明：在 AB上截取 AG=EC,连接EG. AB= BC, .1. GB=EB. . / B=90° , BGE=45° ,，AGE=135°DCB=90° , CP是正方形ABCD外角平分线,21

24、/ 17 ./ ECP=135° ./ AGE=Z ECP.又/ 1 = Z2, AGEA ECP.AE=PE.法2: 证明：作点 A关于BC的对称点H,连接BH, CH, EH.AB=BH=BC , /1 = /4, Z ABE= Z HBE=90° .7分 ./ BHC= Z BCH =45° , / 4+ Z 5=45 ° ./ 2+ / 5=45 . / ECP=135° , ./ HCP=180° ,点H, C, P在同一条直线上. / 6=/2+/P=45° , ./ 5 =/P. AE=PE. 7分法3: 证明

25、：将线段 BE绕点B顺时针旋转90°,得到线段BM,连接CM, EM.MB=EB, MEB=45° , / MEC=135° .由法 1/ECP=135° ,MEC = /ECP.ME / PC.又AB=BC, Z ABC = Z MBC=90 ° . . ABEA CBF. ./ 1 = / BCM , MC=AE.MC / EP. 四边形MCPE为平行四边形MC = PE.AE=PE. 7分石景山答案28. (1)依题意补全图形，如图 1 . 1分线段 AE , FC , EF的数量关系为： AE2 FC2 EF2 . 2分证法一：过点B作

26、MBA BF于点B且BM = BF ,连接ME , MA,如图2. 四边形ABCD是正方形， . ?ABC 90°, ?1 ?2 45°, AB= BC . ?3 45°,?MBE ?3 45又. BE= BE,AMBEAFBE .EM = EF . ?4 90 - ?ABF , ?5 90 - ?ABF , ?4 ?5 .又. BM = BF,AB= CB , AAMBACFB . 4 分 . AM = CF , ?6 ?2 45° .? MAE ?6 ?1 90°.在 RtMAE 中，AE2 MA2 EM 2 . _ 222, AE2 FC2 EF2. 5 分证法二：作行2= 1 ,且BN = BA,连接EN , FN ,如图3.又一BE= BE ,ABNEABAE .NE = AE, fi6= 5. 四边形ABCD是正方形，?ABC 90°, ?5 ?8 45°, AB= BC .BN = BC . ?3 ?EBF ?2 45 -?2, ?4 ?ABC ?EBF ?1 90 - 45 - ?1 ?3 ?4 .ABNFABCF .FN = FC ,