高考背景下的交汇试题研究

1、    高考背景下的交汇试题研究    【摘 要】随着课改的深入，知识与能力并重的考察目标催生了试题的交汇，基礎知识、思想方法、基本能力等方面的融合成为试题命制的重要方式，并逐渐成为一种趋势。加强对试题中各种类型交汇的研究，挖掘其特点和内在联系，能够检测学生个体思维的广度和深度，有效提高学生的数学素养。【关键词】高考背景；交汇试题；研究交汇试题由来已久。普通高等学校招生全国统一考试大纲（数学）中曾明确指出，命题者在知识网路交汇点处设计相应的试题，必须要促使对学生所展开数学基础知识的考查，具有一定的深入性。随之课改的深入，基础知识与技能的整合，过程和方法的

2、渗透逐渐成为命题的一种趋势，并呈现出多样化的形式，交汇的内容不再局限于知识模块之间，技能、方法等综合能力的考察也备受关注。一、知识模块的交汇1.以函数与导数为主的交汇“函数”是历年高考热点，分值占有较大比重。与传统的知识相结合，无论在难度，还是深度上都具有很强的交汇能力，将其同"导数"相关知识结合在一起，更是备受命题教师的青睐，关键原因还是拓宽了高考对函数，不等式问题的考查范围。例1（2015湖南）已知a>0，函数f（x）=sinx（x0，+），记为f（x）的从小到大的第n（nn*） 个极值点，证明（1）数列f（xn）是等比数列（2）若，则对一切nn*，xn<|

3、f（xn）|恒成立。评析：因为三角和数列的特殊性，从函数的角度出发都可以与导数产生碰撞的火花，架起了数列与函数相通的桥梁。2.以立体几何为主的交汇近年来，用“空间向量法”替代立体几何以往的解题手段成为一种捷径，成为命题者青睐的“交汇”平台。同时也要关注平面几何在立体几何中的应用。例2（2017课标1理）如图，圆形纸片的圆心为o，半径为5cm，该纸片上的等边三角形abc的中心为o，d、e、f为圆o上的点，dbc，eca，fab分别是以bc，ca，ab为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以bc，ca，ab为折痕折起dbc，eca，fab，使得d，e，f重合，得到三棱锥，当abc的边长变化时，所得

4、三棱锥体积（单位： cm3）的最大值为 。评析：对于三棱锥最值问题，肯定需要用到函数的思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，在立体几何的“平展与翻折”中，利用“降维”思想，通过平面几何在立体几何中的应用，把握图形特征表示出三棱锥体积，从而达到对立体几何知识点进行考查的目的。当变量是高次时需要用到求导得方式进行解决。3.以解析几何为主的交汇除了立体几何，解析几何内容之间的“交汇”形式同样丰富。例3（2017课标理）设o为坐标原点，动点m在椭圆上，过m作x轴的垂线，垂足为n，点p满足.（1）求点p的轨迹方程；（2）设点q在直线x=-3上，且.证明：过点p且垂直于oq的直线1过c的左焦点f。评析

5、：这一类题型主要是考查学生综合运用向量工具去解决和几何知识有关的代数问题的一种能力，通俗而言，就是用“数”去研究几何问题。其中，向量只是作为解题的重要工具，即融数、形于一体，最终实现转化的目的。把向量点缀于解析几何问题之中，这也是近几年高考数学中的一个热点问题。4.以概率为主的交汇实际上，与概率交汇的综合性问题是非常好的学习素材，它对提高学生的数学能力和素养都有重要的意义，与此同时，还能为学生为今后高等数学知识的学习打下坚实的基础。 尤其是几何概型的考察，与其他知识模块的交汇形式灵活多样，成为高考试题中的一个重要交汇点。例4（2016年山东）在-1，1上随机的取一个数k，则事件“直线y=kx与

6、圆（x-5）2+y=9相交”发生的概率为_评析：本题结合区间取值，直线与圆的位置关系，设置了概率与解析几何之间的交汇命题。利用解析几何的“坐标化”核心方法，以及几何概型的“几何”因素，就能够将区间问题“几何”化。总之，题干虽然比较短，但是内容却是相当的精炼。5.以三角函数为主体的交汇“三角函数”是常见的交汇主体之一。近年来，高考中的三角函数交汇点逐渐抛开了三角形载体，呈现交汇形式多样化。例5（2015广东）在平面直角坐标系xoy中，已知向量，.（1）若，求tanx的值；（2）若 与的夹角为，求x的值。评析：平面向量之所以能与三角函数常交汇，关键还在于它们之间存在一个共性因素，即“角”，从而才促

7、使三角问题得以充实，加强，本题经典常规。6.以数列为主体的交汇“数列”是初等数学与高等数学的桥梁。其变幻多样的“散”、“聚”形式，常常同中学数学的其它内容形成交叉以及渗透的关系。除此之外，其交汇的问题也是尤其新颖和别致，有时还会令人赏心悦目。例10（2016年浙江），点列an，bn分别在某锐角的两边上，且，nn*，（pq表示点p与q不重合），若， 的面积，则（ ）a. sn是等差数列 b.sn2是等差数列c.dn是等差数列 d.dn2是等差数列。评析：本题在问题的转化中，凸显本质，“列”是数列的基本特征，重点考查等差数列的定义，又因“点”在锐角边上，对三角形面积公式及直角三角形边角关系等的考查

8、同时也涉及。二、数学思想方法之间的交汇课标中明确指出，高中数学的学习目的除了掌握知识之外，还要学习数学思想方法的渗透，提高综合应用能力。例6（2015天津）已知函数，函数g（x）=b-f（2-x），其中br，若函数y=f（x）-g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（ ）评议：本题是涉及函数的零点个数问题，必然考查了函数与方程的思想方法，利用等价转换，由“数”想“图”，借“图”解题，考查学生的运算能力、动手作图能力以及观察能力，是提高题。三、数学基本能力之间的交汇数学基本能力是数学思维的一种体现，综合能力交汇的考察常隐含众多高考经典试题中。例7（2015湖北理）已知符号函数，f（x）是r上的增

9、函数，g（x）=f（x）-f（ax）（a>1） ，则（ ）a.sgng（x）=sgnx b.sgng（x）= -sgnxc.sgng（x）=sgnfx d.sgng（x）= -sgnfx评析：新定义问题重点考查学生的逻辑推理能力和创新意识。四、总结与展望交汇试题运用多种不同的方式融合了高中数学的知识、能力和方法，强调综合性，深入数学学科的内在本质，是锻炼学生基本能力的有效手段。而通过反复的训练，学习，学生不仅能够提升自己的知识迁移能力，而且还能有效提升核心素养。它有力地诠释课标课程新理念，是今后试题命制和解题研究必将仍然坚持的高考视角。因此，在高考复习过程中，尤其要注重：知识、能力和方法三者之间的内在联系，与此同时，重视