材料力学(第一章)(06)

1、11 工程实际中的工程实际中的轴向拉伸与压缩问题轴向拉伸与压缩问题1-5 1-5 拉伸与压缩时材料的力学性能拉伸与压缩时材料的力学性能1-7 1-7 拉伸和压缩静不定问题拉伸和压缩静不定问题第一章第一章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩1-6 1-6 轴向拉伸和压缩时的强度计算轴向拉伸和压缩时的强度计算12 12 轴向拉伸和压缩时的内力轴向拉伸和压缩时的内力13 13 横截面上的应力横截面上的应力1-4 1-4 轴向拉伸或压缩时的变形轴向拉伸或压缩时的变形1-8 1-8 应力集中的概念应力集中的概念1-9 1-9 变形能的概念变形能的概念一、工程实例一、工程实例11 工程实际中的轴向拉伸与压缩问题

2、工程实际中的轴向拉伸与压缩问题一、工程实例一、工程实例11 工程实际中的轴向拉伸与压缩问题工程实际中的轴向拉伸与压缩问题桁架桥桁架桥受力特点：外力合力的作用线与杆的受力特点：外力合力的作用线与杆的轴线轴线重合。重合。二、轴向拉压的特点二、轴向拉压的特点变形特点：沿杆件的轴线伸长和缩短。变形特点：沿杆件的轴线伸长和缩短。轴向拉伸轴向拉伸偏心偏心拉伸拉伸FFFF轴向压缩，对应的力称为压力。轴向压缩，对应的力称为压力。轴向拉伸，对应的力称为拉力。轴向拉伸，对应的力称为拉力。力学模型如图力学模型如图FFFF12 轴向拉伸和压缩时的内力轴向拉伸和压缩时的内力轴向拉轴向拉( (压杆压杆) )的内力的内力轴

3、力轴力FFmmFNFmm取左段：取右段：, 0 xF, 0NFFFF N, 0 xFFN轴力轴力FF N, 0NFFFNFmm轴力的正负规定轴力的正负规定: : 拉为正，压为负拉为正，压为负FNmmFFFNmm计算轴力的方法：1、在需求轴力的横截面处假想地将杆切开，并任选一杆段为研究对象；2、画出所选杆段的受力图，并将轴力设为拉力，即采用所谓设正法；3、建立所选杆件的平衡方程，由已知外力计算切开截面上的未知轴力。试求出杆的轴力。试求出杆的轴力。解： 1-1截面:, 0 xF061NF)kN(6 1NF例例1 6kN10kN4kN8kN116kNFN122332-2截面:, 0 xF01062N

4、F)kN(42NF6kN10kN4kN8kN1122336kN10kNFN26kN10kN4kN8kN4kNFN33-3截面:, 0 xF043NF)kN(43NF)kN(61NF)kN(42NF)kN(43NF33FN(kN)x6kN10kN4kN8kN+644要求：要求：上下对齐，标出大小，标出正负上下对齐，标出大小，标出正负)kN(61NF)kN(42NF)kN(43NF 练习练习11求杆的轴力求杆的轴力4kN5kN2kN3kN1133224kNFN14kN5kN4kN5kN2kNFN2FN3332211kN)( 4N1FkN)( 1N2FkN)( 3N3FFFmmFFN1、横截面上作用

5、正应力；2、AAFdN3、正应力的分布规律：dA13 横截面上的应力横截面上的应力abab加载前观察变形：观察变形：平面假设：平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。 各纵向纤维伸长量相同。加载后mababmnnmmnnFF均匀材料、均匀变形，内力也均匀分布。均匀材料、均匀变形，内力也均匀分布。FAFN 正应力正应力 在横截面上均布：在横截面上均布：ANAFd（2.1）AdAA例2已知：F=15kN，AB杆d=20mm，求AB杆内的应力。)kN(3030sin1FFNFFN2FN130A, 0yF030sin1FFN解：AFN11421dFNFACB306105 .954)m02. 0(N

6、103023)MPa(5 .9512)Pa(注意：代入数据时单位要统一：NmPaNmmMPa另：长度用mm为单位代入4)mm20(N1030235 .95)MPa(MPa1mN101mmN1262AFN11421dFN设有一等直杆受拉力P作用。求：斜截面k-k上的应力。 PPkka解：则全应力：aaaAPp 其中Aa为斜截面面积。由几何关系：aacos AA 代入上式，得：aaaAPp pa aPkPa ak由平衡方程：Pa=PacosAPacos斜截面上的内力为P：AP 横截面上的正应力为：补充内容：轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力补充内容：轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力分解：aaacospa

7、aasinpPpa a a a a aa aaa2cosaa2sin2即：aasincosa2cosa2sin2aacosp斜截面上全应力：由上两式可见， 是角度 的函数，斜截面的方位不同，截面上的应力也就不同 。aa和a其数值随角度作周期性变化，它们的最大值及其所在截面的方位，可分别由上两式得到。当a = 90时，0)(mina当a = 0和90时，0| mina当a = 0时， )(0maxa(横截面上存在最大正应力)当a = 45时，2|0maxa(45 斜截面上剪应力达到最大)PPkAakaa20cosaa2sin20PPA a aA a a a a a a a a a a a a a

8、 a在杆内围绕着一点取一个正六面体所取的正六面体完整地反映了该点的受力状态，我们把这六面体称为应力单元体。PPAA MPa7 .632 / 4 .1272 /0maxMPa5 .95)60cos1 (24 .127)2cos1 (20aaMPa2 .5560sin24 .1272sin20aaMPa4 .127 1014. 3100004 20AP例例3 3 直径为d =1 cm 杆受拉力P =10 kN的作用，试求最大剪应力，并求与横截面夹角30的斜截面上的正应力和剪应力。解：拉压杆斜截面上的应力，直接由公式求之： 1-5 1-5 拉伸与压缩时材料的力学性能拉伸与压缩时材料的力学性能已知：F

9、=15kN，AB杆d=20mm，求AB杆内的应力。)MPa(5 .95问：问：AB杆是否安全？杆是否安全？AFN11FACB3012一、拉伸试验和应力一、拉伸试验和应力- -应变曲线应变曲线1 1、拉伸试验国家标准：、拉伸试验国家标准：GB/T228-2002GB/T228-2002金属拉伸试验方法金属拉伸试验方法 试验条件：常温试验条件：常温(20)(20)；静载（缓慢地加载）；静载（缓慢地加载）；力学性能：材料在外力作用下表现的变形和破坏等方面的特性。1-5 1-5 拉伸与压缩时材料的力学性能拉伸与压缩时材料的力学性能2、试件：试件：l标距标距l圆截面试样l=5d5倍试样l=10d10倍试

10、样2 2、试验仪器：万能材料试验机、试验仪器：万能材料试验机拉伸试件2 2、试验仪器：万能材料试验机、试验仪器：万能材料试验机3 3、拉伸图、拉伸图( (F- - l 曲线曲线) )FlF- l 曲线曲线FFl1ll= l1lll4 4、应力、应力-应变曲线应变曲线( ( - 曲线曲线) )-曲线曲线lF 正应变，Al单位长度的伸长量( 一点的伸长量)低碳钢：含碳量在低碳钢：含碳量在0.30.3以下以下-曲线曲线1 1、弹性阶段、弹性阶段 2 2、屈服阶段、屈服阶段 3 3、强化阶段、强化阶段 4 4、局部变形阶段、局部变形阶段 二、二、 低碳钢在拉伸时的力学性能低碳钢在拉伸时的力学性能123

11、4ABE e - - 弹性极限弹性极限1 1、弹性阶段、弹性阶段 ( (oB段段) ) e P 线弹性阶段线弹性阶段 ( (oA段段) ) P - - 比例极限比例极限EE弹性模量，弹性模量， 材料常数材料常数, ,在线弹性阶段内在线弹性阶段内 量纲和单位与量纲和单位与 相同相同胡克定律胡克定律atan s - -屈服极限屈服极限2 2、屈服阶段、屈服阶段 在屈服阶段内，试件产生显著的塑性变形。在屈服阶段内，试件产生显著的塑性变形。 s 曲线曲线 e p 2 2屈服极限屈服极限 s s 是衡量是衡量材料强度的重要指标材料强度的重要指标1 1 -强度强度极限极限3 3、强化阶段、强化阶段 强度强

12、度极限极限 是材料所是材料所能承受的最大应力，是衡量能承受的最大应力，是衡量材料强度的另一重要指标。材料强度的另一重要指标。 b -曲线曲线 e p s 3 31 12 24 4、局部变形阶段、局部变形阶段 颈缩现象： b -曲线曲线 e p s 3 31 12 24 4 -强度强度极限极限 e - - 弹性极限弹性极限 P - - 比例极限比例极限 s - -屈服极限屈服极限5、强度指标和塑性指标：、强度指标和塑性指标：伸长率伸长率: : 001100lll断面收缩率：断面收缩率： 001100AAA材料分类：材料分类：脆性材料和塑性材料脆性材料和塑性材料5为脆性材料脆性材料5为塑性材料塑性

13、材料Q235钢：钢： =390=390MPa s =235 =235MPa强度指标：塑性指标：伸长率伸长率: :=2030断面收缩率：断面收缩率：=60左右5、卸载定律和冷作硬化卸载定律和冷作硬化-曲线曲线 s b OOcb卸载定律：卸载定律：在卸载过程中，应力和应变按直线规律变化。比例极限得到提高但塑性变形和伸长率有所降低三、其他塑性材料在拉伸时的力学性能三、其他塑性材料在拉伸时的力学性能16Mnq钢钢 =510=510MPa s =340 =340MPa =2015MnVNq钢钢 s =420 =420MPa(P24)黄铜黄铜高碳钢高碳钢 无明显屈服现象的塑性材料无明显屈服现象的塑性材料

14、%0. .2 0.2 0.20.2 名义屈服极限名义屈服极限002.0ll%2 .0 -强度强度极限极限割线斜率 ; tanaEb四、铸铁拉伸时的力学性能四、铸铁拉伸时的力学性能dhh=(1.53)d压缩试件五、材料在压缩时的力学性能五、材料在压缩时的力学性能影片1-31、塑性材料、塑性材料塑性材料的拉压性能相同。塑性材料的拉压性能相同。 低碳钢低碳钢压缩时的弹性模量E和屈服极限 s 都与拉伸时大致相同。 c - -铸铁压缩强度铸铁压缩强度极限；极限； c （3 3 4 4） t 2、脆性材料、脆性材料铸铁铸铁AFN1-6 1-6 轴向拉伸和压缩时的强度计算轴向拉伸和压缩时的强度计算一、失效：

15、一、失效：u nu许用应力；记： 拉（压）杆的强度条件拉（压）杆的强度条件AFN u极限应力n安全因数1n二、拉（压）杆的强度条件：二、拉（压）杆的强度条件：塑性材料制成的构件出现塑性变形脆性材料制成的构件出现断裂三、极限应力三、极限应力u 的取值：的取值： （ 0.20.2） 1、塑性材料：、塑性材料： s 2、脆性材料、脆性材料: b （ bc） 安全因数 n 的取值：1，塑性材料塑性材料一般取1.252.5，脆性材料脆性材料取2.03.5（1）材料）材料（2）荷载）荷载（3）分析方法的正确性）分析方法的正确性（4）构件的重要性）构件的重要性（5）自重的要求）自重的要求四、确定安全因数应考

16、虑的因素：四、确定安全因数应考虑的因素：（2）设计截面尺寸：）设计截面尺寸： maxminNFA; maxAFN四、三种强度计算：四、三种强度计算：AFNmaxmax （1）校核强度：）校核强度：（3）确定许可载荷：）确定许可载荷： 已知荷载大小、杆子尺寸和材料，问是否安全？ 安全!若 max，但不超过5%，不安全，但可以使用。已知荷载大小和材料，确定杆子截面面积。AFNmaxmax 已知材料和杆子截面面积，确定许可荷载大小AFNmaxmax 例例4 已知一圆杆受拉力P =25 k N，直径 d =14mm，许用应力 =170MPa，试校核此杆是否满足强度要求。解： 轴力：N = P =25k

17、NMPa1620140143102544232max.d PAN应力：强度校核： 170MPa162MPamax结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。例例5 已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布集度为：q =4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径 d =16 mm，许用应力=170M Pa。 试校核刚拉杆的强度。钢拉杆4.2mq8.5m 整体平衡求支反力解：钢拉杆8.5mq1.42mRARBHA85kN. 71 00 0ABARmHX应力：强度校核与结论： MPa 170 MPa 131 max 此杆满足强度要求，是安全的。MPa1310160143103264d 4 232max .P

18、AN 局部平衡求 轴力： qRAHARCHCNkN326 0.NmC 。 sin; /hL/NABDBBD例例6 简易起重机构如图，AC为刚性梁，吊车与吊起重物总重为P，为使 BD杆最轻，角 应为何值？ 已知 BD 杆的许用应力为。;BDBDLAV 分析：xLhPABCDPxhNmBDA)ctg() sin( , 0coshPLNBD /NABD BD杆面积A：解： BD杆内力N( )： 取AC为研究对象，如图 YAXANBxLPABCYAXANBxLPABC 求VBD 的最小值：;2sin 2sin/PLAhALVBD2 45minoPLV,时例例7已知：F=15kN，1 杆d=20mm，杆

19、子材料为Q235钢，s=235MPa，n=1.5。（1）校核 1 杆的强度；（2）确定2杆的直径d2。FACB30)kN(3030sin1FFNFFN2FN130Ans030sin1FFN解：120,xF0,30cos12NNFF)kN(262NF, 0yF)MPa(1575 . 123511N1AF5 .95)MPa(421NdF4201030231杆安全。2N22AF)mm(6 .16521 杆：2杆：)mm(5 .14 2 d4 222dA2NF例例8 简易起重机，AC由两根80807等边角钢组成，AB杆由两根10号工字钢组成，材料为Q235钢，=170MPa。求许可载荷F。FFN2FN

20、130AFABC3012解：FF21NFF732. 12N0,xF, 0yF1杆：221mm2172cm72.21)86.10(2A1N11AF12AF21AF22172170)N(106 .1843)kN(6 .1842杆：222mm2860cm6 .28)3 .14(2A2N22AF2732. 1AF732. 12AF732. 12860170)N(107 .2803)kN(7 .280)kN(6 .184F许可载荷ablll11-4 1-4 轴向拉伸或压缩时的变形轴向拉伸或压缩时的变形lFFl1a1b1纵向变形：纵向变形：横向变形：横向变形：, 1aaabbb1纵向应变：纵向应变：横向应

21、变：横向应变：ll, aabb已知：F、A、l、E，求bal、纵向变形：纵向变形： EllEAFN, NAFll由拉伸胡克定律胡克定律EAlFlNEAFlEAlFlNEA 称为杆的拉压刚度。称为杆的拉压刚度。 - - 曲线曲线P(2.13)横向变形：横向变形： 泊松比，材料的常数泊松比，材料的常数ll, aaaaabbb二、拉压杆的弹性定律二、拉压杆的弹性定律APLL dEANLEAPLLd1 1、等内力拉压杆的弹性定律、等内力拉压杆的弹性定律2 2、变内力拉压杆的弹性定律、变内力拉压杆的弹性定律)(d)()d(xEAxxNxLLxEAxxNxL)(d)( )d(dniiiiiAELNL1d内

22、力在内力在n段中分别为常量时段中分别为常量时“EA”称为杆的抗拉压刚度。称为杆的抗拉压刚度。PPN（x）xd xN(x)dxx 1)()(1)d(ExAxNEdxx3 3、单向应力状态下的弹性定律、单向应力状态下的弹性定律 1:E即4 4、泊松比（或横向变形系数）、泊松比（或横向变形系数） :或三、是谁首先提出弹性定律三、是谁首先提出弹性定律 弹性定律是材料力学等固体力学一个非常重要的基础。一般认为它是由英国科学家胡克(1635一1703)首先提出来的，所以通常叫做胡克定律。其实，在胡克之前1500年，我国早就有了关于力和变形成正比关系的记载。“”胡：请问， 弛其弦，以绳缓援之是什么意思? 郑

23、：这是讲测量弓力时，先将弓的弦 松开，另外用绳子松松地套住弓的两端，然后加重物，测量。 胡：我明白了。这样弓体就没有初始应力，处于自然状态 东汉经学家郑玄(127200)对考工记弓人中“量其力，有三均”作了 这样的注释：“假令弓力胜三石，引之中三尺，弛其弦，以绳缓擐之，每加物一石，则张一尺。” (图) 郑：后来，到了唐代初期，贾公彦对我的注释又作了注疏，他说：郑又云假令弓力胜三石，引之 中三尺者，此即三石力弓也。必知弓力三石者，当弛其弦以绳缓擐之者，谓不张之，别以绳系两萧，乃加物一石张一尺、二石张二尺、三石张三尺。 其中”“两萧 就是指弓的两端。一条“胡：郑老先生讲“每加物一石，则张一尺”。和

24、我讲的完全是同一个意思。您比我早1500中就记录下这种正比关系，的确了不起，和推测一文中早就推崇过贵国的古代文化： 目前我们还只是刚刚走到这个知识领域的边缘，然而一旦对它有了充分的认识，就将会在我们面 前展现出一个迄今为止只被人们神话般地加以描述的知识王国”。1686年关于中国文字和语言的研究真是令人佩服之至，我在FF例例9圆截面杆，d=10mm，l=1m，Q235钢，E=210GPa，s=235MPa，P=10kN，求：l， l解：EAlFlNEAFl4101021010001010233)mm(606.0ll1000606.0000606.061060660611016E631060610

25、210)MPa(127)MPa(157sn)5 . 1( nniiiiiAElFl1Naa4FF例例10 已知：载荷F，杆子面积A，长度a，材料弹性模量E，求杆子的总伸长量。1解：2222N2111N1AElFAElFEAFaEAFa3EAFa2FFN3(1)2FFN解：首先求杆子的伸长量P 例例1-101-10 已知两杆长度均为 l=2m，直径d=25mm，材料的E=210GPa，P=100kN，=30，求A点的位移。BCA12PN1N221NN 0,Xacos21PN , 0Y)kN(7 .57EAlNll121425102102000107 .57233)mm(12. 11l2lA C1

26、ABP2BCA1P2acos1lAAfA2312. 1)mm(293. 1用切线代替圆弧的方法求节点位移。用切线代替圆弧的方法求节点位移。A C1、怎样画小变形放大图？变形图严格画法，图中弧线；求各杆的变形量Li ，如图；变形图近似画法，图中弧之切线。 小变形放大图与位移的求法。ABCL1L2P1L2LC1luB分析aasin21llvBctg水平位移：铅垂位移：例例11 变形图如图，B点位移至B点，由图知：DBCl1l2aF121l2lBuBvBa已知：已知：BC杆为圆钢，杆为圆钢，d = 20mm， l1 = 1.2m， BD杆为杆为8号槽钢，号槽钢， l2= 2m，两杆，两杆材料的材料的

27、E=200GPa，F=60kN，求，求B点的位移。点的位移。DBCl1l2aF12PN1N2kN451N0,XkN752N, 0Y1111EAlNl )mm(86. 02222EAlNl )mm(732. 0解:求各杆轴力。取节点B为研究对象，由平衡方程可求得1、2杆轴力分别为 1luBaasin21llvBctg水平位移：铅垂位移：DBCl1l2aF121l2lBuBvBa)mm(86. 0（ ）)mm(56. 1（ ） 问：变形与位移的区别？1、静不定问题、静不定问题：单凭静力学平衡方程不能确定出全部未知力（外力、内力）的问题。一、静不定问题及其解法一、静不定问题及其解法3、静不定问题的解

28、法、静不定问题的解法：由平衡方程、变形协调方程和物理方程相结合，进行求解。1-7 1-7 拉伸和压缩静不定问题拉伸和压缩静不定问题2 2、静不定次数、静不定次数静不定次数= =未知力个数-静力学平衡方程数 设1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：L1=L2、 L3 =L ；各杆面积为A1=A2=A、 A3 ；各杆弹性模量为：E1=E2=E、E3。求各杆的内力。CPABDaa123解:(1)平衡方程:0sinsin , 021aaNNX0coscos , 0321PNNNYaaPAaaN1N3N2(1)(2) 例例1212 11111AELNL 33333AELNL(2)几何方程变形协调

29、方程：(3)物理方程弹性定律：(4)补充方程:(4)代入(3)得:(5)由平衡方程(1)、(2)和补充方程(5)组成的方程组，得:acos31LLacos33331111AELNAELN333113333331121121cos2 ; cos2cosAEAEPAENAEAEPAENNaaaCABDaa123A11L2L3L(3)(4)(5)(1)平衡方程；(2)几何方程变形协调方程；(3)物理方程弹性定律；(4)补充方程：由几何方程和物理方程得；(5)解由平衡方程和补充方程组成的方程组。3、解超静定问题的一般步骤：、解超静定问题的一般步骤：1cos2 ; cos2cos333113113332

30、21aaaAEAEPNAEAEPNN0 , ,1333NPNAEacos2 , 0 , 01333PNNAE在静不定结构中，刚度越大的杆，其轴力也越大。设杆1和杆2的弹性模量均为E，横截面面积均为A，梁AB为刚体，F=50kN， =160MPa，试确定各杆的横截面面积。解:(1)平衡方程: , 0AM (1)p41p41例例1313022 2N1NlFlFlFFB12aCAallFAxBCAFN2FN1FFAyB12aCAallCl1l2B122 ll ( 3 ) ( 2)(3)物理方程弹性定律：EAlFl1N1EAlFlN22（2)几何方程变形协调方程：1N2N2FFEAlF1N2EAlFN

31、2(4)补充方程：（3)代入(2)得 ( 4)(6)强度条件求各杆面积：(5)由平衡方程(1) 与补充方程(4)联立求得kN201NFkN402NF 2N22AF N22FA mm2502 mm250221 AAABCP例例1-8 ABCP2aa一根两端支承的杆件AB，受力如图，已知杆的抗拉刚度EA，求A、B两端的支座反力。RBRA解:(1)平衡方程: , 0yF (1)0 BRPRA21lll ( 2)（2)几何方程0ACPRARB12ACPRARB (4)EAlFl11N1 ( 1)02BARR(3)物理方程EAaRA2EAlFl2N22EAaRB ( 3 )(4)补充方程：（3)代入(2

32、)得EAaRA2EAaRB00 BRPRA, 3 PRA解得：32 PRB静定问题无温度应力。静定问题无温度应力。静不定问题存在温度应力。静不定问题存在温度应力。温度应力和装配应力温度应力和装配应力CAB12Aaa123l一、温度应力一、温度应力例1-9 TEsMPa235,C50, C1105 .12 , GPa2006a求：杆中的温度应力。求：杆中的温度应力。lAB解:lTlatlABltFBFAEAlFlBRRtlllTaEAlFBEATFBaETa)MPa(125 TEsMPa235,C150, C1105 .12 , GPa2006a求：杆中的温度应力。求：杆中的温度应力。lAB解:)MPa(375-曲线曲线 s 经过一段时间后，将温度降到开始时的温度，这时杆子内有没有应力？是拉应力还是压应力？杆子内将存在残余应力，是拉应力。ETa静不定问题存在装配应力静不定问题存在装配应力。静定问题无装配应力。静定问题无装配应力。ABC21A123a aL二、装配应力二、装配应力A123a aL各杆E、A 相同，3杆的加工误差为，求各杆的应力。解：a aN1N2N3（1）平衡方程:0sinsin, 021aaNNX0coscos, 0213aaNNNY 例