版高中数学 第一章 导数及其应用 1.4 生活中的优化问题举例课件 新人教A版选修2-2

1、1.4生活中的优化问题举例第一章导数及其应用学习目标1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为 .(2)利用导数解决优化问题的实质是 .(3)解决优化问题的基本思路：知识点生活中的优化问题上述解决优化问题的过程是一个典型的 过程.优化问题求函数最值数学建模1.生活中常见到的收益最高，用料最省等问题就是数学中的最大、最小值问题.()2.解决应用问题的关键是建立数学模型.()思考辨析 判断正误题型探究类型一几何中的最值问题例例1请你设计一个包装

2、盒，如图所示，abcd是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得a，解答b，c，d四个点重合于图中的点p，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.点e，f在边ab上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设aefbx(cm).某厂商要求包装盒的容积v(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.令v(x)0，得x0(舍去)或x20.当0 x0；当20 x30时，v(x)0.v(x)在x20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值.解答引申探究引申探究本例条件不变，若要求包装盒的侧面积s(cm2)最大，试问x应取何值？ef

3、602x，8x(30 x)8x2240 x8(x15)28152.当x15时，s侧最大为1 800 cm2.反思与感悟反思与感悟面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验.跟踪训练跟踪训练1(1)已知圆柱的表面积为定值s，当圆柱的容积v最大时，圆柱的高h的值为_.解析答案解析解析设圆柱的底面半径为r，则s圆柱底2r2，s圆柱侧2rh，圆柱的表面积s2r22rh.令v(r)0，得s6r2，h2r，v(r)只有一个极值点，当h2r时圆柱的容积最大.解析答案(2)将一段长为100 cm的铁丝

4、截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为_cm.解析解析设弯成圆的一段铁丝长为x(0 x100)，则另一段长为100 x.设正方形与圆形的面积之和为s，类型二实际生活中的最值问题解答(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解答所以商场每日销售该商品所获得的利润为从而f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)，令f(x)0，得x4或x6.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)极大值由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值

5、点，也是最大值点.所以当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.反思与感悟反思与感悟解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有(1)利润收入成本.(2)利润每件产品的利润销售件数.解答解解当0 x10时，解答(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值.解解当00，当x(9,10)时，w0，所以当x9时，w取得最大值，综上可得，当x9时，w取得最大值38.6.故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，

6、最大利润为38.6万元.解答命题角度命题角度2用料、费用最少问题用料、费用最少问题例例3某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2 )x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元.(1)试写出y关于x的函数关系式；解解设需新建n个桥墩，解答(2)当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？1212x32x32x令f(x)0，得 512，所以x64.当0 x64时，f(x)0，f(x)在区间(0,64)上为减函数；当64x

7、0，f(x)在区间(64,640)上为增函数，所以f(x)在x64处取得最小值.反思与感悟反思与感悟(1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答.(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f(x)0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值.解答跟踪训练跟踪训练3为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源

8、消耗费用c(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：c(x) (0 x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式；解解设隔热层厚度为x cm，而建造费用为c1(x)6x.因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为解答(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值.当0 x5时，f(x)0；当5x0，答答当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值为70万元.达标检测12345解析答案解析解析原油温度的瞬时变化率为f(x)x22x(x1)21(0 x5)，所以当x1时，原油温度的

9、瞬时变化率取得最小值1.c.1 d.812345解析答案2.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高应为12345解析解析设圆锥的高为h cm,0h20，3.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品.若该商品零售价定为p元，销售量为q件，且销量q与零售价p有如下关系：q8 300170pp2，则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)a.30元 b.60元c.28 000元 d.23 000元12345解析答案12345解析解析毛利润为(p20)q，即f(p)(p20)(8 300170pp2)，f(p)3p2300p11 7003(p130)(p30).令f(p)0

10、，得p30或p130(舍去).又p20，)，故f(p)maxf(p)极大值，故当p30时，毛利润最大，所以f(p)maxf(30)23 000(元).4.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_元.160当x2时，ymin160(元).答案解析123455.某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0 x21)的平方成正比.已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件.(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的

11、函数；解解设商品降价x元，则多卖出的商品件数为kx2.若记商品一个星期的获利为f(x)，则有f(x)(30 x9)(432kx2)(21x)(432kx2).由已知条件，得24k22，于是有k6.所以f(x)6x3126x2432x9 072，x0,21.解答12345解答12345(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解解由(1)得，f(x)18x2252x43218(x2)(x12).当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：12345x0,2)2(2,12)12(12,21f(x)00f(x)极小值极大值故当x12时，f(x)取得极大值.因为f(0)9 072，f(12)11 664.所以定价为301218(元)，才能使一个星期的商品销售利润最大.1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x)；(2)求函数的导数f(x)，解方