反复隐的导数课件

1、反复隐的导数第三节第三节 反函数、复合函数、隐函数的导数反函数、复合函数、隐函数的导数一一.反函数的导数反函数的导数设函数设函数 y=f (x) 在点在点x处有不等于零处有不等于零的导数的导数),(xf 并且其反函数并且其反函数)(1yfx 在相应在相应点处连续点处连续,则则 )(1 yf存在存在,并且并且)(1 )(1xfyf 或或. )(1)(1 yfxf反复隐的导数)(1 )(1xfyf yxy0lim xyy1lim0 xyx0lim1)(1xf 从而从而.)(1 )(1xfyf 因因 yxxy 1故故)0( y xyy0lim1设设)(1yfx 证证反复隐的导数例例1 求指数函数求指

2、数函数)1, 0( aaayx的导数的导数.解解xay 的反函数为的反函数为yxalog )(xa)(log1 yaeyalog11 ayln aaxln 特别地特别地.)(xxee 反复隐的导数例例2 求求)11(arcsin xxy的导数的导数.解解的反函数为的反函数为yxsin )(arcsin x)(sin1 yycos1 y2sin11 .112x xyarcsin 反复隐的导数 )(arccosx211)(arcsinxx )(arctan x )cot(xarc211x 211x 211x 反复隐的导数例例3 求求xarcxeayxxcotarctan 的导数的导数.解解y )c

3、ot()(arctan)( xarcxeaxxxxxxaeea)()( xxxxaeeaa ln).ln1(aeaxx 221111xx )cot()(arctan xarcx反复隐的导数 )(cos8(x )(sin7(x )(ln4(x )(log3(xa )(2( x c )1( )(5(xa )(6(xe )(tan9(x )(cot10(x )(sec11(x )(csc12(x )(arcsin13(x )(arccos14(x )(arctan15(x )cot)(16(xarc基本求导公式基本求导公式反复隐的导数二二.复合函数的导数复合函数的导数如果如果)(xu 在点在点x处有

4、导数处有导数),(xdxdu )(ufy 在对应点在对应点u处有导数处有导数),(ufdudy 则复合函数则复合函数)(xfy 在点在点x处的导数也存在处的导数也存在,而且而且dxdududydxdy ).()()(xufxf 或或反复隐的导数dxdududydxdy xyxuuy xyx0limxuuyx 0limxuuyxx 00limlimxuuyxu 00limlimdxdududy .dxdududydxdy 故故)0( u证证反复隐的导数例例4求求2)12( xy的导数的导数.解解1442 xxy y. 48 x解解令令12 xu则则2uy dxdy)(2 u22 u).12(4

5、x1)4()4(2 xx)12( x解解 y)12(2 x)21( x).12(4 x反复隐的导数例例5 求求nxycos 的导数的导数.解解令令nxu 则则uycos dxdy)(cos unu )sin(.sinnxn 解解 y)( nx)sin(nx )( nxnnx )sin(.sinnxn 反复隐的导数例例6求求)ln(22axxy 的导数的导数.解解 y221axx 221axx 221axx ./122ax 221axx )(22 axx)(1 22 ax 1 22211 ax 2221ax )(22 ax)02( x反复隐的导数例例7求求)310lncos(2xy 的导数的导数

6、.解解 y)310cos(12x )310tan(2x ).310tan(62xx )310cos(12x )310cos(2 x)310sin(2x )310(2 x)310(2 x反复隐的导数例例8求求)1, 0(log aaxya的导数的导数.解解0 xxyalog exyalog1 0 x)(logxya yexalog1 故故.log1)(logexxaa exalog1 )( x反复隐的导数反复隐的导数三三.抽象复合函数的导数抽象复合函数的导数 )(xf xux)(xf )(x 反复隐的导数例例9已知已知)(uf可导可导, 求求, )(ln xf ,)( naxf .)( naxf

7、解解 )(lnxf)(ln xf )(ln)/1(xfx )(naxf)(naxf )()(1nnaxfaxn )(naxf naxf)(1)( naxfn1)( naxfn).()(1axfaxfnn )(ln x)( nax1)( naxn)( ax )( axf)(axf )( ax反复隐的导数四四.分段函数的导数分段函数的导数例例10 已知函数已知函数 xf213 x33 x0 x10 x1 x求求).(xf 解解因因)0(, 3)1(ff 不存在不存在故故 xf00 x310 x23x1 x反复隐的导数分段函数求导函数时注意分段函数求导函数时注意(1)每一段内求导用法则求每一段内求导

8、用法则求,(2)分界点求导用定义求分界点求导用定义求.反复隐的导数五五.隐函数的导数隐函数的导数例例11 求由方程求由方程123 yx所确定的隐函数所确定的隐函数的导数的导数.)(xfy 解解方程两边作为方程两边作为x的函数同时求导的函数同时求导1)()(23 yx23x.232yxy 得得即即故故yy 20 2yyx xy )(2yy )(2 xy )(xfy 0),(yxF求求.y 反复隐的导数例例12 求由方程求由方程0 xyeyx所确定的隐函数所确定的隐函数的导数的导数.)(xfy 解解方程两边作为方程两边作为x的函数同时求导的函数同时求导得得0)()( xyeyx即即yxe 故故.x

9、yxyyeyex (1)y )(yxy 0 反复隐的导数例例13 求由方程求由方程yxyxarctanln22 所确定的所确定的的导数的导数.)(xfy 解解 方程两边作为方程两边作为x的函数同时求导的函数同时求导得得)(arctan)ln(2122 yxyx即即)(2122yx 故故.xyxyy 隐函数隐函数)22(yyx 2)(11yx 2yxyy 反复隐的导数例例14 求曲线求曲线422 yxyx上点上点(2,2)处的处的的切线方程的切线方程.解解 方程两边作为方程两边作为x的函数同时求导的函数同时求导得得02)(2 yyyxyx故故xyyxy 221)2,2( y所以切线方程为所以切线

10、方程为)2( 12 xy即即. 04 yx反复隐的导数例例15 设球半径设球半径R以以2厘米厘米/秒等速度增加秒等速度增加,求当球半径求当球半径R=10厘米时厘米时,其体积其体积V增加的速度增加的速度.解解334RV dtdVdtdRRR )34(3 dtdRR 24 )34(3Rdtd .800210 dtdRRdtdV反复隐的导数例例16 设设322)3(31xxxxy ,求求.y 解解 将等式两边取对数将等式两边取对数)3ln(2)3ln(31)1ln(ln2lnxxxxy 方程两边作为方程两边作为x的函数同时求导的函数同时求导 yy199311122 xxxxyy.99311122 x

11、xxx六六.对数求导法对数求导法x2x 1131 x 31()32x 反复隐的导数例例16 设设xxycos)(cot ,求求.y 解解 将将xxycos)(cot 两边取对数两边取对数xxycotlncosln 方程两边作为方程两边作为x的函数同时求导的函数同时求导 yy1 y.csccotlnsin)(cotcosxxxxx )sin(x xcotln xcos )csc(2x xcot1 )csc(cotln)sin(xxxy 反复隐的导数例例18 设设 xy ,求求.y 解解 将等式两边取对数将等式两边取对数xylnln 方程两边作为方程两边作为x的函数同时求导的函数同时求导xyy11 故故yxy xx .1 x反复隐的导数)(ty )(tx )(1xy 求求? dxdy dxdydxdtdtdy dtdxdtdy1 )(1)(tt .)()(tt )(1xy 是由是由)(ty )(1xt 复合而成复合而成解解七七.由参数方程确定的函数的求导法由参数方程确定的函数的求导法反复隐的导数例例19 椭圆的参数方程为椭圆的参数方程为tbysin taxcos 椭圆在椭圆在4 t的对应点的对应点M0处的切线处的切线方程和法线方程方程和法线方程.,求求解解4 t时时, 椭圆上的对应点椭圆上的对应点),(000yxM为为24cos0a