小学生等分三角形的解题思路的研究.

1、1小学生“等分三角形”的解题思路的研究辺杭州上城区教师进修学校 张园一、问题的提出许多数学教师都知道，小学几何知识是相互联系的，但其并不是一个严格的公 理化的体系。是属于经验几何或实验几何。其内容也都是建立在学生的经验和活动 基础之上的。而当我们给出一个几何问题让学生来解决时，他们会怎么利用自己的 经验去解决呢？他们的头脑中到底是怎样想这个问题的呢？为此，我们就试图通过 让学生解决 “把一个大三角形分成四个面积相等的小三角形”这样的问题，来了解 学生的解题思路，从而有助于我们理解学生的学习过程，有助于有的放矢地组织教 学。二、测试的问题、对象和过程1、测试的问题把三角形ABC分成四个三角形，使

2、得这四个三角形的面积相等，可以怎么分呢？（请你把分的结果画下来）如果你认为自己解题已完成，请选择：（1） 你认为这个题目（）：A、很有趣;（2） 你认为这个题目（）：A、很难；2、测试的对象按照现行的小学数学教材，本地区五年级及以上的学生已经学过了三角形的所 有相关知识。因此，测试的对象选择了小学五、六年级的学生各一个班。年龄分别 为10、11、12岁。人数分别为33人和41人。3、测试和访谈的过程2001年12月7日下午，在学生不知情的情况下，由班主任协助组织下进行测 试。在测试前，没有给学生任何解题提示，也没有读题，直接让学生独立地解答， 并记录做题时间。如果学生自己认为解题已完成，就把测

3、试卷交给老师。学生在解 题过程中，没有任何的讨论和交流。整个测试过程基本反映了学生独立解答这一问B、比较有趣；C、没兴趣。B、比较难；C、不难。2题的水平。测试后，对学生的解题情况进行整理，在整理的基础上，于12月10日对五、六年级各6人进行访谈。而后，在12月11日18日期间，对六年级全班和五年级 各部分学生再进行访谈。三、测试结果1、对于这个问题的解决，六年级学生比五年级考虑得更为周全。 表一：五、六年级学生分法种类的统计表画出10种以上正确画出10种以上人数百分比人数百分比五年级26人78.8%8人24.2%六年级23人56.1%11人26.8%从上表可知：五、六年级有半数以上的学生能画

4、出10种以上的分法（其中包括错误的），而能正确画出10种以上分法的学生就相对比较少了。从这个变化中，我 们可以看出，五、六年级学生都有较强的求异思维，都愿意去寻找更多的结果。但 在求异的过程中，五年级学生相对于六年级学生来说，更缺少些反思和分辨的能力。带有更大的随意性，在分三角形的时候考虑的因素就不够全面。2、五、六年级学生完成不同类型的分法有明显差异。对学生解题试卷进行分析之后，笔者试着把学生的不同分法分成四大类型：第一类（直接把三角形平均四等分口： 丄廈沢密愛.屋邑.第二类（先把三角形平均分成2个三角形，再把每个三角形平均分成2个更小的三角形）如：”.第三类（先得到这个三角形的1/4，再把

5、剩下的平均分成三个三角形）如：第四类：（取每边的中点并连接）如： -。 表2:五、六年级学生不同类型分法的统计表图形五年级六年级正确人数百分比正确人数百分比第一类2987.9%3892.7%第二类1339.4%1946.3%第三类824.2%614.6%第四类2678.8%2458.5%3（说明：选“立卜”冈歹”和为例是因为它们在各自的这类中完成的 正确人数最多。）从上表可知：直接把三角形平均分成四等分（）和每边连接中点（）这两种分法完成的正确人数明显高于其它两种。3、同一种分法有着不同的思路，不同的思路又存在着差异。在卷面上，我们看到了有许多同学有和的分法，但当我们去了解他们思路时，就让我们

6、感受到他们的与众不同、富有个性的几何思维。如ZL思路1用尺子量出一底边的长度，平均分成四段，点上点，然后把底边上的 点与对面的顶点连起来。思路3:把尺子的一边作为平分三角形的边放在三角形上，然后估计以下这边 的左、右两个三角形的大小是否一致？通过几次修改后再画下自己认为比较准确的 一条边。接着，用同样的方法再分这两个三角形。思路4:从一顶点出发，向对边画四条线段，画好后，进行调整。再如：” H思路1每边取中点连线。思路2:取一边的中点，过这个点画另一边的平行线，再取另一边的中点，把 平行线与边的两个交点和这个中点相连。仝思路3:想办法在中间画一个三角形，然后再调整。思路2:先把底边平均分成三角

7、形的底边再平均分成2段,2段，得到两个面积相等的三角形；然后把这两个 又分别得到两个面积相等的三角形。4从学生的解题思路看，基本可分为两大类：第一大类（思路1和2）是把分三角形转化为分线段（底边）；第二大类是直接分三角形（思路3和4）,当然在这之 中估计起了很大的作用，它促使了学生不断地调整，凭着经验与感觉使得分的结果 比较接近标准。学生这样的思路有其可取的一面，但作为教师，在批改的时候就很 难准确地把握学生的思维水平，学生卷面上反映出的情况与学生的实际情况就产生 了较大的差异。而用这两大类上的学生究竟是怎样的一个比例呢？让我们看看对六 年级全班访谈后得到的结果：表3:第一大类的学生人数分布情

8、况统计表（有38人完成仝一）第一大类第二大类六年级人数百分比人数百分比21人51.2%17人41.5%从上表中可知：接近一半的学生还是不能准确地等分三角形，这与他们运用什 么知识来解决这些题有密切关系。在访谈中，采用第一类思路的学生都能很自信地 说出这四个三角形的面积相等的原因是：等底等高。就因为这个知识点的支撑，他 们明白只要等分底边就可以得到相应的四个面积相等的三角形。而采用第二类思路 的学生就不能自信说出自己所分的四个三角形的面积是否相等。他们的回答是：“现在看起来不相等了，当时做题时觉得是相等的”、“应该是一样的吧！因为我是看出来的。”4、题目的有趣程度和难度有着紧密的联系。对于五、六

9、年级学生来说，他们对这个几何问题的有趣程度、难度的认定可见 下表：表4:五、六年级学生对几何问题的有趣程度认定统计表很有趣有趣没兴趣人数百分比人数百分比人数百分比五年级14人42.4%14人42.4%5人15.2%六年级14人34.2%22人53.7%5人12.1%表5:五、六年级学生对几何问题难度的认定统计表很难比较难不难人数百分比人数百分比人数百分比五年级4人12.1%22人66.7%7人21.2%六年级1人2.4%30人73.2%10人24.4%从表4可知：五、六年级都有80%以上的学生认为这道题比较有趣，其认为有 趣的原因在访谈中学生是这样回答的：“这样的题目是我们平时做作业中没有碰到

10、过的，觉得很新鲜！ ”、“这个题就是让我们画画、分分，我比较喜欢”、“这种题目能开发我的智力，蛮好的。”由此，我们可得到，题目形式和题目的可操作性，是学生对 题目感兴趣的条5件之一。同时，我们从表5还可看出：五、六年级都有66.7%和73.2%的学生觉得这题比 较难。其原因又是多样的。有的学生认为：这道题开始做比较简单，能画出几种， 但画到后来，虽然知道还有，但就是画不出来，这样就觉得比较难；有的学生认为： 分的时候太麻烦，老要修改，分不准，这个比较难；还有的学生认为：分的方法太 多，所以难了。还有的学生认为：把三角形分成4个比较难，如果分成3个或2个就不难了。一道题目的结果过于多，规律又难于

11、发现时，让学生一一枚举，学生就 会产生烦而难的心理，就不愿意再做下去，也就会觉得题目较难。四、分析中引起的思考思考一：在教学中，我们要做到“早有孕伏”。从测试的结果2看，五、六年级学生完成不同类型的分法有明显差异。寻找其中的原因有：（1）学生在生活及以往的学习中已在头脑里留下了许多的 几何图形，这对他们画出这两类图形有直接的影响。我们在访谈中也听到学生这样 说：“这个图形（.上“我在学数角的个数的时候看到过，所以我会画了”；“这个图形（ ）老师上课画过，所以我画了这个图形。”翻开现代小学数学第七册中的“分数的认识（一）”，我们的确可看到有4处练习中出现过二鱼，在现代 小学数学第九册中的“三角形

12、、平行四边形、梯形”中有一练习就出现.丄厂让学生数三角形的个数。当然，学生见到的不仅仅只有这些，他们会从更多的不同素 材中见到更多的几何图形，而积累之后就成为他们的经验。换言之，小学生的经验 也是他们解决几何问题的基本途径之一。同时我们也可以发现，当我们在教学其他 内容时不经意的放些几何图形，的确会给学生留下较深的印象。（2）从他们的视觉知觉角度来讲，这两种分法得到的四个三角形的大小和形状相对来说比较接近，对 于学生来说，这些三角形感觉上是“一样大”的。通过以上分析，我们是否可以对我们的教学提出新的要求，即在我们的前期教 学中，尽可能地向学生提供更多更丰富的感性材料或有意放入一些与后继学习有关

13、 的知识，以促进学生潜意识地产生一种知识迁移，或为学生的积极创新作一孕伏。例如：在现代小学数学第九册中，学了 “平行四边形和梯形的认识”后， 就出现了下面这一练习：6每组两个图形的大小有什么关系？剪一剪，拼一拼，再想一想。这样的练习为学生进行平行四边形、梯形、三角形的面积推导和面积计算打下 了伏笔，使为学生创新和发展提供更有利的条件。思考二：在教学中，我们要做到“中有突破”。从测试的结果3看，五、六年级学生在完成同一种分法时存在着不同的思路, 不同的思路又存在着差异。这种差异是由于什么造成的呢？我们作如下分析：要把一个大三角形准确地分成四个面积相等的小三角形，学生就得用到“等底 等高”这个知识

14、点。而对于这个知识点现代小学数学第九册“三角形、平行四 边形、梯形”这个单元中就已出现相关的练习。如：从下图中找出4个等底等高的三角形，它们的面积相等吗？这些三角形的高是（）厘米，底是（）厘米；这些三角形的面积是 （）X（）-2=（）平方厘米这些题目中出现的是几个端端正正的处于标准位置的标准图形，而现在要学生把这一知识点迁移到变式的图形中去运用，部分学生不会想到，更不会用。为此， 我们认为，在几何知识的教学中，应加强变式训练，提供的素材也应适当地变换图 形的方位，这样让学生多角度地去观察，是发展学生的空间观念必不可少的。女口：让学生计算三角形的面积时，我们不仅出现像图1这样的三角形，更应该出现

15、像图2这样的三角形。7r1t/71L7这样的练习，变单一的模仿为有选择地解决问题，变同一标准位置的图形为不 同方位的图形，这样不仅丰富了学生头脑中的几何形体，更提高了学生学习的灵活 性，为其创新和发展有所突破。思考三：在教学中，我们还要做到“后有发展”。从测试的结果4看，五、六年级的大部分学生都认为此题比较有趣但又比较难。 学生为什么会有这样的想法呢？这与该题结果的多样性有着密切的关系。学生完成这样的习题时，从比较感兴趣、不太难渐渐变成有点难、有点烦，这 样的心理变化提醒我们教育工作者，在给予学生一个学习任务时，容量过大，解决 的方法又过于机械，就造成学生厌烦焦虑的心理。因此，我们必须把握好学习任务 的容量，让学生“跳