【典型题】数学高考试题(附答案)

1、【典型题】数学高考试题（附答案）一、选择题一、一 , a（a b）1. te义运算a b,则函数f（x） 1 2的图象是（）b（a b）C.2.下列函数图像与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是3.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的(4.已知复数z满足1 iz 2 ,则复数z的虚部为（A. 1B.1C. iD. 14D. i5 .设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含x4的项为（）A. 15x4B. 15x4C. 20ix4D. 20ix46 .若角的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是()A. sin( +)B. cos( +)C. sin( )D. co

2、s(227 .已知集合 A x|x 1 0 , B 0,1,2,则 A0BA.0B.1C.1,2D.0,1,28 .圆 Ci ： x2+y2=4 与圆 C2 ： x2+y2-4x+4y- 12=0 的公共弦的长为()A.&B.V3C.272D.3我9.函数f(x)sin(2x )的图象与函数2g(x)的图象关于直线x 对称，则关于函数8y g(x)以下说法正确的是()A.最大值为1,图象关于直线x 对称B.在0- 上单调递减，为奇函数4C.在 -,-上单调递增，为偶函数8 8D.周期为 ，图象关于点,0对称81,粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后10.如图所示，网格纸上小正方形的边长

3、为 的几何体的三视图，则该几何体的体积为C.48D. 324” 的()11.若 a 0,b 0,则 “ a b 4” 是A.充分不必要条件C.充分必要条件B.D.必要不充分条件既不充分也不必要条件12.已知tan121A. 一3二、填空题B.C.-3D. 313.如图，正方体ABCDAiBGDi的棱长为1,线段BiDi上有两个动点E,F,且2上E人人EF ,现有如下四个结论:2ACBE ； EF/平面 ABCD ； 三棱锥A BEF的体积为定值;其中正确结论的序号是 .异面直线ae,bf所成的角为定值,5D14.已知函数f(x)(x a)1 ,x2 x1，、八一、,函数 g(x) 2 f(x)

4、,若函数 y f (x) g(x) 1恰有4个不同的零点，则实数a的取值范围为15.已知 sin cos 1 ,cos sin 0 ,贝U sin16.已知函数f(x) x(ln xax)有两个极值点，则实数a的取值范围是17.在等腰梯形ABCD中，已知AB DC,AB 2,BC 1, ABC 60,点E和点F分别在线段BC和CD上，且bE 2bc,dF 1DC,则tEtF 36的值为18.如图，圆C (圆心为 C)的一条弦 AB的长为2,则19.已知正三棱锥P ABC的底面边长为3,外接球的表面积为16 ,则正三棱锥20.21.ABC的体积为_.已知向量a与b的夹角为60°, aF

5、2, b i=i ,则解答题如图，在四面体 ABCD中， ABC是等边三角形，平面+2 b |二ABC，平面ABD,点M为棱AB 的中点，AB=2, AD=2/3, Z BAD =90°.(I )求证：ADXBC；(n )求异面直线BC与MD所成角的余弦值;22.某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1, 2, 3的人数分别为3, 3, 4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.1设A为事件选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率;X的分布列和数学期2设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量望.23.随着移动互联网的发

6、展，与餐饮美食相关的手机APP软件层出不穷，现从某市使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下：(1)已知抽取的100个使用A未订餐软件的商家中，甲商家的“平均送达时间”为 18分钟，现从使用 A未订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家中随机抽取个商家进行市场调研，求甲商家被抽到的概率；(2)试估计该市使用 A款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数；(3)如果以平均送达时间”的平均数作为决策依据，从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款?(1)求角A;4 , cosC(2)设D为AB的中点，求

7、中线CD的长.25.如图所示，已知正方体 ABCD A1B1clD1中, ACBD P, A1C1 P EF Q.求证：E, F分别为D1C1 , C1B1的中点,(1) D, B, F, E四点共面;(2)若AC交平面DBEF于R点，则P, Q, R三点共线.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除、选择题1 . A解析：A【解析】 【分析】 【详解】由已知新运算a b的意义就是取得a,b中的最小值,x1,x 0因此函数f x 1 2x'2x,x 0只有选项A中的图象符合要求，故选A.2 . C解析：C【解析】f (x)在区间a, b上连续不断，并且有f (a) ?f x轴.【分析】根

8、据函数图象理解二分法的定义，函数(b) <0.即函数图象连续并且穿过【详解】解：能用二分法求零点的函数必须在给定区间a, b上连续不断，并且有 f (a) ?f (b) <0A、B中不存在f (x) <0, D中函数不连续.故选C.【点睛】本题考查了二分法的定义，学生的识图能力，是基础题.3. B解析：B【解析】【分析】【详解】由 a=14, 则b变为 由 a>b, 由 a>b, 由 a>b, 由 av b,b=18, a< b, 18-14=4,则则则则a变为 a变为 a变为 b变为14 4=10, 10-4=6, 6- 4=2, 4-2=2,由 a

9、=b=2,则输出的a=2.故选B .4. B解析：B【解析】bi,(a, bz i(2 z)a bi i(2 a bi),bib (a 2) ib,a 2b 1 ,故选B.5. A解析：【解析】试题分析:二项式（x+i尸的展开式的通项为展开式中含的项为C红气2 =-1,5/ ,故选|rr+i = *A.rjr,令 6 - r = 4 ,则卜=2 ,故【考点】二项展开式，复数的运算【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考的内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可.二项式可以写为|。+幻*,则其通项为 仪/rxr,则含的项为己/

10、6. D解析：D【解析】【分析】的终边所在象限即可作出判断利用诱导公式化简选项，再结合角【详解】解：角的终边在第二象限，sin+ = cos <0, A不符;cos + = sin <0, B 不符；2sin = sin <0, C不符；cos = cos >0,所以，D正确故选D【点睛】本题主要考查三角函数值的符号判断，考查了诱导公式，三角函数的符号是解决本题的关 键.7. C解析：C【解析】【分析】由题意先解出集合 A,进而得到结果.【详解】解：由集合A得X 1,所以A B 1,2故答案选C.【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.8. C解析：C【解析】【分析

11、】两圆方程相减，得到公共弦所在的直线方程，然后利用其中一个圆，结合弦长公式求解【详解】因为圆 Ci ： x2+y2 = 4 与圆 C2： x2+y2-4x+4y - 12 = 0,两式相减得x y 2 0,即公共弦所在的直线方程.圆Ci： x2+y2=4,圆心到公共弦的距离为 d 重，所以公共弦长为：l 2, r2d2 2、2.故选：C【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题9. B解析：B【解析】【分析】先求出函数y=g(x)的解析式，再利用三角函数的图像和性质对每一个选项逐一分析判断.【详解】设点P(x,y)是函数y g x图像上的任意一点，则点

12、Q( x ，y)在函数y=f(x)的图像 4上，y sin2(-x+ ) sin2x g(x),42对于选项A,函数y=g(x)的最大值为1,但是g(-) 01 ,所以图象不关于直线 x 对22称，所以该选项是错误的；对于选项B, g( x) g(x),所以函数g(x)是奇函数，解2k 2x 2k +得 22k - x k +-, (k Z),所以函数在 0,- 上单调递减，所以该选项是正确的；4443对于选项C,由刖面分析得函数 y=g(x)的增区间为k + , k(k Z),且函数y=g(x)44不是偶函数，故该选项是错误；k对于选项D,函数的周期为，解2x k , x，所以函数图像的对称

13、中心为2k(,0)(k Z),所以该选项是错误的.2故选：B【点睛】本题主要三角函数的解析式的求法，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10. B解析：B【解析】【分析】由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4,高为3的正四棱锥，利用体积公式，即可求解。【详解】由题意，几何体的三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为 4,高为3的正四棱锥，1所以几何体的体积为 V V柱 V锥 4 4 5 3 4 4 3 64,故选B。【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在

14、由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直 观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解。11. A解析：A【解析】【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取a,b的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当 a>0, b>0时，a b 2JOb ,则当 a b 4时，有 2JOB a b 4 ,解得ab 4,充

15、分性成立；当 a=1, b=4时，满足ab 4，但此时a+b =5>4 ,必要性不成立，综上所述，“ a b 4”是“ ab 4”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取a,b的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果12. A解析：A【解析】【分析】由题意可知tantan,由题意结合两角和的正切公式可得124tantantan12tantan -1241 tan 一 tan 124的值.【点睛】本题主要考查两角和的正切公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力 和计算求解能力.二、填空题13. 【解

16、析】【分析】对于 可由线面垂直证两线垂直；对于 可由线面平 行的定义证明线面平行；对于 可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为 定值；对于可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值【详解】对 解析：【解析】 【分析】对于，可由线面垂直证两线垂直；对于，可由线面平行的定义证明线面平行；对于，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于，可由两个特殊位置说明 两异面直线所成的角不是定值.【详解】对于，由AC BD, AC BBi ,可得AC 面DDBB1，故可得出AC BE ,此命题 正确；对于，由正方体 ABCD AiBGDi的两个底面平行，EF在平面ABCiD内，故EF 与平面AB

17、CD无公共点，故有 EF /平面ABCD,此命题正确；对于，EF为定值，B到EF距离为定值，所以三角形 BEF的面积是定值，又因为 A点 到面DDiBBi距离是定值，故可得三棱锥 A BEF的体积为定值，此命题正确；对于，由图知，当 F与Bi重合时，此时E与上底面中心为 O重合，则两异面直线所成的角是 AiAO,当E与Di重合时，此时点 F与O重合，则两异面直线所成的角是OBCi ,此二角不相等，故异面直线AE, BF所成的角不为定值，此命题错误.综上知正确，故答案为【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查线面平行的判断、线面垂直的判断与性质、棱锥的体积公式以及异面直线所成的角，属于难题

18、.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识 点入手，然后集中精力突破较难的命题.14. 【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实解析：2,3【解析】 【分析】由函数g(x) 2 f(x),把函数y f (x) g(x)恰有4个不同的零点，转化为 f x 1恰有4个实数根，列出相应的条件，即

19、可求解.【详解】由题意，函数g(x) 2 f(x),且函数y f (x) g(x)恰有4个不同的零点，即f x 1恰有4个实数根，当x 1时，由ax 1 1,即 x1 a 1 0,a 2 1解得x a 2或x a,所以 a 1 ，解得14a<3；a 2 a2 .一,_ a 1 1当x 1时，由（x a） 1 ,解得x a 1或x a 1,所以，解得a 2 ,a 1 1综上可得：实数a的取值范围为 2,3 .【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为f x 1,绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算 能力，属于中档试题

20、.15 .【解析】【详解】因为所以 因为所以 得即解得故本题正确答案 为 解析：【解析】【详解】因为炉里笥书也，1,所以疝+8/3柳口融=，因为嗔霎林13 = 0,所以+百理3 +疝瑞三。，+得快+雕超小前6： ?+Ri口Sr。瓢欧uI , 即再曾雪血随啼嚼| =故本题正确答案为16 .【解析】令函数有两个极值点则在区间上有两个实数根当时则函数在区间单调递增因此在区间上不可能有两个实数根应舍去当时令解得令解得此时函数 单调递增令解得此时函数单调递减当时函数取得极大值当近于与近于时要使 一In 1斛析：0:.【解析】,2f x xln x ax x 0 , f' x In x 1 2ax

21、，令 g x In x 1 2ax, f 函数f x x Inx ax有两个极值点，则 g x 0在区间0,上有两个实数根，1c 1 2axg' x - 2a ,当a 0时，g x 0,则函数g x在区间0, 单调递xx增，因此g x 0在区间0,上不可能有两个实数根，应舍去，当 a 0时，令g' X 0,解得2a令 g' X 0,解得0 x1,此时函数g X 2a单调递增，令g' X 0,解得-12a此时函数g X单调递减,，1，当X 时，函数2aX取得极大值,X近于0与X近于时，g X,要使g x 0在区间0,有两个实数根,1g 2a1解得0 a ，实数a的

22、取值范围是0 a 2故答案为17.解析:12 .【解析】在等腰梯形29ABCM由得所以考点：平面向量的数量积18【解析】在等腰梯形ABCD 中，由 AB DC , AB 2, BC 1, ABC 60"，得AD BC 1, AB AD 1 ,DC 27B,所以 AEaF Ab bE Ad dFtB 2tC aD aB AB AD -bC ad AB2 bC aB1212181 _13 182918.考点：平面向量的数量积.18 . 2【解析】【分析】过点C作CD! AB于D可得RtAACD中利用三角函数的定义算出再由向量数量积的公式加以计算可得的值【详解】过点C作CD±AB

23、于D则D为AB的中点RtAACD中可得cosA=2故答解析：2【解析】【分析】1.过点C作CDLAB于D,可得AD AB 1 , Rt ACM利用三角函数的定义算出2cosA1AC,再由向量数量积的公式加以计算，可得媪端的值.过点C作CDLAB于D,则D为AB的中点.1 ,RtAACD 中，AD -AB 1 , 2AD可得 cosA=AC故答案为2【点睛】1AC,AB aC AB ACcosA B wC 1fB1AC本题已知圆的弦长，求向量的数量积.着重考查了圆的性质、直角三角形中三角函数的定 义与向量的数量积公式等知识，属于基础题.19 .或【解析】【分析】做出简图找到球心根据勾股定理列式求

24、解棱锥的高得 到两种情况【详解】正三棱锥的外接球的表面积为根据公式得到根据题意画出 图像设三棱锥的高为hP点在底面的投影为H点则底面三角形的外接圆半径 解析：K3或晅44【解析】做出简图，找到球心，根据勾股定理列式求解棱锥的高，得到两种情况 【详解】正三棱锥P ABC的外接球的表面积为16 ，根据公式得到164 r2 r 2,根据题意画出图像，设三棱锥的高为h,P点在底面的投影为 H点，则OP r 2,OA r 2,OH h 2 ,底面三角形的外接圆半径为 AH ,根据正弦定理得到 3 0 2百，故得到外接圆半径为 J3. sin 602在三角形OAH中根据勾股定理得到h 23 4 h 1或3

25、 1二梭锥的体积为：一 h SABC3代入数据得到1 1 3 3/1返或者1 3 3 3 - -V3. 3224322 4故答案为：逆或通.44【点睛】这个题目考查了已知棱锥的外接球的半径，求解其中的一些量；涉及棱锥的外接球的球心的求法，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过 圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方 法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直 线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面

26、中心的距离，球心到底面中心 的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三 棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球 20.【解析】【分析】【详解】:平面向量与的夹角为故答案为点睛：（1） 求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式 （2）常用来求向量的模解析：2,3【解析】 【分析】 【详解】,平面向量a与b的夹角为600, a 2,b ia b 2 1 cos6C0 1.iiii a 2b J（a 2，）2 J；2 4a b （2b）2 J4 4 4故答案为2 ,3.点睛：（1）求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式.（2） a常用来求向量的模.三、解答题-13

27、，E、21. （I）证明见解析；（n）宾；（叫【解析】分析：（I）由面面垂直的性质定理可得（n）取棱AC的中点N,连接MN,AD，平面ABC ,则ND.由几何关系可知/ADXBC.DMN （或其补角）为异面直线BC与MD所成的角.计算可得cos DMN12MN VT3 ,则异面直线BC与MD所DM 26成角的余弦值为一13.26（出）连接 CM .由题意可知 CM，平面ABD,则/ CDM为直线CD与平面ABD所成的角.计算可得sin CDM CM 百.即直线CD与平面ABD所成角的正弦值为 .CD 44详解：（I）证明：由平面 ABC，平面 ABD,平面ABC n平面ABD=AB, ADXA

28、B,可得AD,平面 ABC,故 ADBC.(n)取棱AC的中点N,连接MN, ND.又因为M为棱AB的中点，故MN/ BC.所以 /DMN (或其补角)为异面直线 BC与MD所成的角.在 RtADAM 中，AM=1 ,故 DM = 'PAD""AM2=4l3 因为 AD，平面 ABC,故 ADXAC. 在 RtADAN 中，AN=1 ,故 DN= Jad2AN2 = 13 -1MN l在等腰三角形DMN中，MN=1,可得 n,M 2E3 .COS DMNDM26所以，异面直线 BC与MD所成角的余弦值为.26(出)连接 CM.因为 ABC为等边三角形， M为边AB的

29、中点，故 CMXAB,CM= £.又因为平面 ABC,平面ABD,而CM 平面ABC,故CM，平面ABD .所以, ZCDM为直线CD与平面ABD所成的角.在 RtACAD 中，CD = Jac ad2 =4 .在 RtCMD 中，sin CDM CM .CD 4所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为 叵.4点睛：本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础 知识.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.122. (1) ;(2) E(X) 1 .3【解析】【分析】(1)可根据题意分别计算出“从 10人中选出2人”以及“2人参加义工活动的次数之和

30、为4”的所有可能情况数目，然后通过概率计算公式即可得出结果；(2)由题意知随机变量 X的所有可能取值，然后计算出每一个可能取值所对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值.【详解】(1)由已知有P(A)c3 c4c2C20i31所以事件A的发生的概率为-； 3(2)随机变量X的所有可能的取值为222p( x 0)C30：C4C10P(X 2)0, 1, 2;八 c1 c3 c3 c471)2；C1015X012P474151515所以随机变量X的分布列为:C20 .474数学期望为 E X =0x+1 +2x= 1.151515本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，能否正确计算出

31、每一个随机 变量所对应的的概率是解决本题的关键，考查推理能力，是中档题.123. (1) ;(2) 40;(3)选 B 款订餐软件.2【解析】【分析】运用列举法给出所有情况，求出结果由众数结合题意求出平均数分别计算出使用 A款订餐、使用B款订餐的平均数进行比较，从而判定【详解】(1)使用A款订餐软件的商家中“平土送达时间”不超过20分钟的商家共有100 0.006 10 6个，分别记为甲，a,b,c,d,e,从中随机抽取3个商家的情况如下：共 20种.甲，a,b ,甲，a,c ,甲，a, d ,甲，a,e ,甲，b,c ,甲，b,d ,甲，b,e , 甲，c,d 甲，c,e ,甲，d,e , a,b,c , a,b,d , a,b,e , a,c,d , a,c,e , a,d,e , b,c,d , b,c,e , b,d,e , c,d,e .甲商家被抽到的情况如下：共10种.甲，a,b ,甲，