年江苏省南京市中考数学试卷

1、数学留意事项：南京市 2021 年中学学业水平考试1本试卷共 6 页，全卷满分 120 分，考试时间为 120 分钟，考生答题全部答在答题卡上， 答在本试卷上无效2请仔细核对监考老师在答题卡上全部粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、 准考证号用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上3答挑选题必需用2b 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑如需要改动，请用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案，答非挑选题必需0.5 毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上指定位置，在其他位置答题一律无效 4作图必需用 2b 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清晰一、挑选题（本大题共6 小题，每道题 2

2、分，共 12 分，在每道题所给出的四个选项中，恰有哪一项符合题目要求的，请将正确的选项的字母代号填涂在答题卡相应位置 上）1 2021 年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到13 000 亿美元，用科学计数法表示13 000是（）a 0.13×105b 1.3×104c 13× 103d 130×102【答案】 b【考点】科学记数法【分析】把一个大于10 或小于 1 的正数写成 a×10n 的形式，其中： 1a10，n 是整数应用方法：把小数点移动到第一个不是0 的数字后面，移几位就乘以10 的几次幂（小数点向左移就指数为正，向右移

3、就指数为负；）留意：此题要审题，用科学记数法表示的数：是不带单位的13 000，而不是 13 000 亿【解答】解： 13 0001.3× 104.应选 b.2运算（ a2b） 3 的结果是（）a a2b3b a5b3c a6bd a6b3【答案】 d【考点】幂的运算： am namn ， abnanbn【分析】利用幂的运算法就直接运算×【解答】解：原式 a2 3× b3a6b33面积为 4 的正方形的边长是（）a 4 的平方根b 4 的算术平方根c 4 开平方的结果d 4 的立方根【答案】 b【考点】平方根、算术平方根、立方根的定义1 / 32如 x2a（ a

4、0），就 x 叫做 a 的平方根， a（a0）的平方根表示为 ± a ；正数的正的平方根也叫它的算术平方根，a（a0）的算术平方根表示为a ；如 x3a，就 x 叫做 a的立方根， a 的立平方根表示为 3 a ；求一个数 a 的平方根的运算 ,叫做开平方，求一个数的立方根的运算叫做开立方； a（ a 0）开平方的结果表示为 ± a .【分析】 正方形的边长是正数，所以边长为正方形面积的算术平方根【解答】 边长为正方形面积的正的平方根，即：算术平方根，应选：b.实数 a、b、c 满意 a b，且 acbc，它们在数轴上的对应点的位置可以是（）【答案】 a 【考点】在数轴上，

5、右边的点表示的数大于左边的点表示的数不等式的性质：（ 1）不等式的两边都加上或都减去 同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.如： aba± c>b± c.（ 2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，如a b， c0ac bc；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向转变，如a b， c0ac bc.【分析】由 a b 得：在数轴上数a 表示的点在数 b 表示的点的右边；由 acbc 得： a、b 同时乘以数 c 后，不等号转变了方向，所以数c 是负数【解答】在数轴上数a 表示的点在数b 表示的点的右边，数c 是负数，应选： a.5以

6、下整数中，与1013 最接近的是（）a 4b5c 6d7【答案】 c【考点】估算【分析】用平方法分别估算13 的取值范畴，借助数轴进而估算出1013 的近似值【解答】解法 1：估算10 ： 32 9， 42 16 313 4 3.52 12.25. 3.513 42 / 32 61013 6.5.解法 2：借助数轴估算：13 的近似值 .画数轴：观看数轴可得： 3.513 4 61013 6.5.应选： c.6如图， a b c是由 abc 经过平移得到的， a b c仍可以看作是 abc 经过怎样的图形变化得到？以下结论： 1 次旋转； 1 次旋转和 1 次轴对称； 2 次旋转； 2 次轴对

7、称 .其中全部正确结论的序 号 是 （ ）a bcd【答案】 d【考点】轴对称的有关性质：假如两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线.平移的有关性质：对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应点所连的线段平行（或在同一条直 线上）且相等 .旋转的有关性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等.中心对称的有关性质：成中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.【分析】利用轴对称、旋转的性质，先进行1 次旋转或轴对称，计作a b c，不妨将 b 与 b经过一次变换先重合，再进行二次变换，看二次变换后a bc能否与 a b c重合【解

8、答】结论 1 次旋转：不妨以线段bb 的中点 o 为旋转中心 .3 / 32故错， a 错结论 1 次旋转和 1 次轴对称 ：1 次旋转 以线段 bb 的中点 o 为旋转中心 .1 次轴对称以a a 的中垂线为对称轴 .或 1 次轴对称以 cc的中垂线为对称轴 .故错， b、c 错至此，通过排除法即可得：选项d 正确，验证如下 .结论 2 次旋转 .1 次旋转：以线段bb的中点 o 为旋转中心；4 / 322 次旋转：以线段a a 的中点为旋转中心 .两次旋转后图形重合 .结论 2 次轴对称 .1 次轴对称：以 bb的中垂线为对称轴；2 次轴对称：以 cc的中垂线为对称轴 . 两次轴对称后 图

9、形重合 .应选： d.二、填空题（本大题共10 小题，每道题2 分，共 20 分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）17 2 的相反数是 ；2 的倒数是 .【答案】 2； 2【考点】相反数、倒数的概念如两个数的积等于1，这两个数互为倒数； a0 时， a 的相反数表示为1a ，0 没有倒数 .符号不同、肯定值相同的两个数互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0 的相反数是 0；a 的相反数5 / 32表示为 a.【分析】利用相反数、倒数的概念直接写出答案【解答】 2 的相反数是（ 2） 2；12 ×2 1，12 的倒数是 2.8运算 14728 的结果是 .【答案

10、】 0【考点】二次根式的化简【分析】依据二次根式运算法就进行化简，把握常用化简方法、结论即可；此题涉及到的运算法就：（a ）2 a（a0）；常用结论：m2n mn （m 0，n0） 【解答】14728 .1477 ·722× 7 . 1477 27 . 27 27 . 0.9分解因式（ ab） 2 4ab 的结果是 .【答案】（ab） 2【考点】完全平方公式： （ a±b）2a2±2ab b2 及逆用完全平方公式分解因式：a2±2abb2（ a± b） 2【分析】此题无公因式可提取，也不能直接应用公式进行解法分解因式，先将（ ab）2

11、 应用完全平方公式绽开，再合并同类项，会发觉，其可逆用完全平方公式进行分解因式.【解答】（ab） 2 4ab. a2 2abb24ab. a2 2abb2.（ a b） 2.10已知 23 是关于 x 的方程 x24x m0 的一个跟，就m .【答案】 1【考点】一 元二次方程根的定义或根与系数的关系6 / 32一元二次方程ax2 bx c 0（a0）根与系数的关系： x x b， x ·x c.12a12a【分析】解法有2 种：解法一：依据根的定义，把根“23 ”代入原方程中，得到两个关于m 的方程，解此方程即可求解；解法二：依据一元二次方程ax2 bx c 0（a0）根与系数的关

12、系，设另一个根为：x1. 根与系数的关系列出含有 x1 与 m 的方程组，解此方程组即可【解答】 解法一：依据题意，得：（23 ）24（ 23 ） m0.解这个方程，得： m1.解法二：设这个方程的另一个根为x1.23 x14依据题意得：（ 23 ） x1 m 由得： x123 .把代入得： m（ 23 ）（ 23 ）.即： m1比较上述两种解法，解法一、二都比较便利11结合下图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式： ab.【答案】 1 3 180°【考点】三线八角同旁内角的识别：在截线c 的同侧，夹在截线a、b 之间，呈“ u”字型 .【分析】图形中出现了不同

13、关系的角： 对顶角（如 2 与 4）、邻补角（如 2 与 3）、同位角（如 1 与 2）、内错角（如 1 与 4）、同旁内角（ 1 与 3）；考试时需要依据题意进行识别. “同旁内角互补，两直线平行”的符号语言只能挑选“1 与 3”【解答】 1 3 180° ab.7 / 3212无盖圆柱形杯子的绽开图如下列图，将一根长 20cm 的细木筷斜放在杯子内， 木筷露在杯子外面的部分至少有 cm.【答案】 5【考点】圆柱的侧面绽开图，勾股定理等【分析】如图 1，画出圆柱体及其侧面绽开图，确定对应线段的长度；图 1图 2图 3依据题意“细木筷斜放在杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少多少cm”

14、，确定细木筷斜放在杯子内中位置最多在杯子内的长度，明显应置杯底与杯口斜对角位置（如图2），即圆柱体截面图中的对角线位置（如图 3），其与杯高与底面直径构成直角三角形（图3 中 rt abc ），利用勾股定理即可求出此时杯内木筷的长度【解答】 ab 12292 .15露在外面的长度 20 15 5（cm）13为了明白某区中同学同学视力情形，随机抽取了该区500 名中学同学进行调查 .整理样本数据， 得到下表：视力4.7 以下4.74.84.94.9 以上人数102988093127依据抽样调查结果，估量该区12 000 名中学同学视力不低于4.8 的人数是 .【答案】 7200【考点】样本估量总

15、体【分析】利用样本中“视力不低于4.8 人数的频率”可以近似看做总体中“视力不低于4.8 人数的频率”；样本中“视力不低于4.8 人数的频率”视力不低于 4.8人数样本容量.【解答】 12000×80 93 1275007200.8 / 3214如图， pa、pb 是 o 的切线， a 、b 为切点，点 c、d 在 o 上，如 p102°，就 a c °.【答案】 219【考点】圆的切线垂直于经过切点的半径，同（等）弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，直径所对 的圆周角是直角等；常规帮助线：过切点的半（直）径，构造直径所对的圆周角等；由特别到一般的数学思 想方

16、法等 .【分析】此题求“ a c 等于多少度”，明显其是一个定值， 其与点 d 在圆上的位置没有关系， 依据图示，只要点 d 在图中优弧 ac上即可，依据由特别到一般的数学思想方法，可将点d 在优弧 ac上移动到一个特殊位置，即弦 ad （或 ac ）经过圆心，不妨让弦ad 经过圆心，即 ad 为 o 的直径，如图 1；ad 为直径时：（1）由于 pa 为切线，所以 a 90°；（ 2）ad 所对圆周角为直角，连接ac， c 1 2 90° 2，如图 2；1 2 等于ab所对圆心角的一半，所以连接ob， 2 2 3， 4 90°，如图 3； 3 放在四边形 oap

17、b 中即可求得为 39°.“ a c” 90° 90° 39° 219° .假如是一般的图形，只要作直径ae 连接 ec，如图 4.由于 1 2，所以 dap dcb eap ecp，也就转化为图1 了.图 1图 2图 3图 4【解答】以下给出的是一般情形下的求解过程，在考试时，可挑选用特别情形下的图形来求解，其结果 是不变的 .如图，作直径 ae ，连接 ec、ac 、ob9 / 32 1 2. dap dcb eap ecp. pa、pb 为切线 . oap 5 90° . 4 360° oap 5 p. p 102&#

18、176; . 4 78° .1 3 2 439°. ae 为直径 . eca 90°. eap ecp eap eca 3.90° 90° 39°.219° .即： dap dcb 219° .15如图，在 abc 中， bc 的垂直平分线mn 交 ab 于点 d， cd 平分 acb. 如 ad 2，bd 3，就 ac的长为 .【答案】10 【考点】线段垂直平分线性质及基本图形，如图1，角平分线性质及基本图形如图2、图 3，图形的相像等图 1图 2图 3图 410 / 32图 1 中： dbdc，两个 rt全等；

19、图 2 中：作 dgac，就 dedg， dce dcg 等；图 3 中：作 df ac，就 1 2 3， df fc， bdf bac 等； 综合图 13，除了上述结论外，仍可应用勾股定理等.【分析】与已知条件中长度联系最紧的是相像，依此逐步推理：如图 4，df ac bdf bac dfacbd ba3 ，设 df 3k， ac5k，就 fc df3k.； 5df ac bdf bac bfbcbdbabffcbd da3 bf 922k， 就 bc152k， beec 15 k，43ef 4 k；依据勾股定理： bd2be2 df2ef2de2即可求出 k 的值.据上分析，此题不需要应用

20、图2 的结论.【解答】如图，作dfac 交 bc 于点 f，设 mn 交 bc 于点 e.就： 2 3. dc 平分 acb. 1 2. 1 3. dffc. dfac. bdf bac.dfbdbfac babc . ad 2， bd 3dfbf3 acbc 5 ，设 df 3k.就 ac 5k， fcdf 3k.bf3 bc 5 .bf3 fc 2 .11 / 32 bf9 k.2就 bc 15 k.2 e 为 bc 中点. beec 15 k.43ef ecfc4 k.在 rtade 与 rt dfe 中 . bd 2 be2 df2 ef2 de2. 32（ 154k） 2（ 3k）

21、2（ 34k）2.解得： k105（负值舍去） . ac 5k10 .16在 abc 中， ab 4， c60°， a b，就 bc 的长的取值范畴是 .【答案】 4 bc833【考点】线段的运动与变化，三角函数，斜边大于直角边等【分析】可利用含60°的三角板直观演示点a 运动过程中线段ab 、bc 的变化规律，留意 ab 在运动过程中的特别位置，即 abc 为直角三角形、等腰三角形等图 1图 2图 3图 4图 5图 1：起始图，点 a 与点 c 重合，初步演示观看，不难发觉：点a 沿三角板斜边所在的射线向左上方的运动过程中， a 逐步减小， b 逐步增大， bc 长线增大

22、，然后又逐步减小；图 2：点 a 沿三角板斜边所在的射线运动，此时a 为钝角，此过程中 a b， bc 逐步增大；图 3：点 a 运动到第一个特别位置，a 90°，此过程中 a b，bc 达到最大，应用三角函数可求83得其最大值为3；图 4：点 a 运动到其次个特别位置，a 60°，此过程中 a b，bc 逐步减小，当 a 60°时， b60°；可见 bc 4图 5：点 a 连续运动，就 bac 60°， b 60°，此过程中， a b，不满意题意 .12 / 32也可从特别的三角形开头分析，即a b，此时 abc 为等边三角形，如图

23、6；此时，如点 a 沿射线 ca 方向运动，就 a 60°（如图 7），故点 a 只能沿射线 ac 方向运动，其运动过程中的特别位置为a 90°（如图 9）；满意条件的一般图形分两类：60° a 90°， 90° a 180°，即 a 分别为锐角或钝角（如图 9、10）.图 6图 7图 8图 9图 10【解答】（ 1）当 a 60°时. abc 为等边三角形， bc ab 4.（ 2）当 a 90°时. abc 为 rt， bc ab83sinc3（ 3）当 60° a 90° .作 bd ac

24、 于 d. bd bc· sinc. 在 rtabd 中.bd ab. bc·sinc ab. bc· sin60° 4.即： bc 83.3（ 4）当 90° a 180° .作 bd ac 交 ca 延长线于 d.13 / 32.同（ 3）解法： bc 833.综上： 4bc 833三、解答题（本大题共11 小题，共 88 分，请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17（7 分）运算（ xy）（x2xy y2）【考点】多项式乘以多项式，合并同类项【分析】直接应用多项式乘以多项式法就，留意不要漏乘【

25、解答】原式 x3 x2yxy 2 x2yxy 2 y3x3 y3.【考点】多项式乘以多项式，合并同类项【分析】直接应用多项式乘以多项式法就，留意不要漏乘【解答】x318（7 分）解方程x1 1 x21 .【考点】分式方程的解法【分析】依据解分式方程的一般步骤： 去分母、去括号、移项、合并同类项、 系数化为 1、检验等即可得解注 意点主要有：去分母时不要漏乘，去分母后分子如是多项式需要添加括号 此题将x2 1 分解因式，确定最简公分母后，去分母即可转化为整式方程【解答】原方程可转化为：x3x 1 1（ x1）（ x1） .方程两边乘（ x1）（x1），得： x（ x1）（ x 1）（ x1） 3

26、.整理，得： x 1 3.解得： x2.检验：当 x2 时，（x 1）（x 1） 0.原分式方程的解为： x2.19（7 分）如图， d 是 abc 的边 ab 的中点， de bc，ce ab ，ac 与 de 相交于点 f.求证： adf cef.14 / 32【考点】中点的定义；三角形全等的判定：sas、asa 、aas 、sss，hl ；平行四边形的判定：两组对边分别平行，两组对边分别相等，一组对边平行且相等，对角线相互平分【分析】对比已知条件，观看图形不难发觉四边形dbce 是平行四边形，依据d 为 ab 中点，即可得到ad bdce，欲证的两个三角形由平行可得两组内角（均为内错角）

27、相等【解答】证明： debc ，ce ab.四边形 dbce 是平行四边形 . bd ce. d 是 ab 中点. ad bd. ad ce. ceab. a 1， 2 e. adf cef.20（8 分）下图是某市连续5 天的天气情形（ 1）利用方差判定该市这五天的日最高气温波动大仍是日最低气温波动大；15 / 32（ 2）依据上图供应的信息，请再写出两个不同类型的结论.【考点】从图中猎取信息，方差的意义与运算，数据与客观世界之间的联系，分析与综合的才能【分析】问题（ 1）利用方差运算公式直接运算，方差越大，波动越大；方差运算分两步，先求平均数，再运算方差：1x n（x1 x2xn） .s2

28、 1 （x ）2（ x ）2（ x ） 2.n1x2xnx问题（ 2）数据与客观世界之间的联系，可以从不同的角度来分析：天气现象与最高气温、天气现象与最低气温，天气现象与温差、天气现象与空气质量等.【解答】这五天的日最高气温顺日最低气温的平均数分别为：（ 1）x高15（ 23 25 2325 24） 24x低15（ 21 22 1515 17） 18.方差分别为：s2 高s2 低1222222（ 2218）2（ 15 18）2（ 15 18） 2（ 1718）25（ 23 24）15（ 21 18）（ 2524）（ 23 24）（ 25 24）（ 2424） 0.8. 8.8. s2 高s2

29、低.这五天的日最低气温波动较大.（ 2）此题答案不唯独，以下解法供参考.如: 25 日、26 日、27 日、28 日、29 日的天气现象依次是大雨、中雨、晴、晴、多云，日温差依次是2、 3、8、10、7，可以看出雨天的日温差较小； 25 日、26 日、27 日的天气现象依次是大雨、中雨、晴，空气质量依次是良、优、优，说明下雨后空气质量改善了； 27 日、28 日、29 日天气现象依次是晴、晴、多云，最低气温分别为15、 15、17，说明晴天的最低气温较低 .21（8 分）某校方案在暑期其次周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位同学挑选两天参与活动.（ 1）甲同学随机挑选两天，其中有一天是

30、星期二的概率是多少？（ 2）乙同学随机挑选连续的两天，其中有一天是星期二的概率是 .【考点】概率的运算方法，枚举法、树状图、列表法在求概率中的应用【分析】选用适当分析工具（枚举法、列表法、树状图）确定全部等可能的结果与符合条件的结果是解决此16 / 32类问题的常用方法挑选不同的分析工具，解答过程会有差异，繁简程度也有区分 .【解答】（ 1）枚举法：甲同学随机挑选两天，全部可能显现的结果共有6 中，即：（星期一，星期二） 、（星期一，星期三） 、（星期一，星期四） 、（星期二、星期三） 、（星期二、星期四） 、（星期三、星期四） .这些结果显现的可能性相等，全部的结果中，满意有一天是星期二（记

31、为大事a ）的结果有 3 种，即（星期一，星期二）、（星期二、星期三） 、（星期二、星期四） .31 p（a ） 6 2.列表法：星期一星期一星期二星期一，星期二星期三星期一，星期三星期四星期一，星期四星期二星期三星期二、星期一星期三、星期一星期三、星期二星期二、星期三星期二、星期四星期三、星期四星期四星期四、星期一星期四、星期二星期四、星期三全部可能显现的结果共有12 中，这些结果显现的可能性相等，全部的结果中，满意有一天是星期二（记为大事 a ）的结果有 6 种.61 p（a ） 12 2 .树状图：2全部可能显现的结果共有12 中，这些结果显现的可能性相等，全部的结果中，满意有一天是星期

32、二（记为大事 a ）的结果有 6 种. p（a ） 6121 .17 / 32（ 2）枚举法：乙同学随机挑选连续的两天，全部可能显现的结果共有3 中，即：（星期一，星期二） 、（星期二、星期三） 、（星期三、星期四） .这些结果显现的可能性相等，全部的结果中，满意有一天是星期二（记为大事a ）的结果有 2 种，即（星期一，星期二）、（星期二、星期三） . p（a ） 2 .3列表法：星期一星期二星期三星期四 星期一星期一，星期二星期二星期二、星期一星期二、星期三星期三星期三、星期二星期三、星期四 星期四星期四、星期三全部可能显现的结果共有6 中，这些结果显现的可能性相等，全部的结果中，满意有一

33、天是星期二（记为大事 a ）的结果有 4 种. p（a ） 4 2.63树状图：全部可能显现的结果共有6 中，这些结果显现的可能性相等，全部的结果中，满意有一天是星期二（记为大事 a ）的结果有 4 种. p（a ） 4 2.6322（7 分）如图， o 的弦 ab 、cd 的延长线相交于点p，且 ab cd求证： papc.18 / 32【考点】弦、弧之间的关系，圆周角与弧之间的关系，垂径定理，三角形全等等【分析】此题条件比较简洁，需要结合圆的有关学问进行一般推理：弦等可以得出弧等、圆周角相等，弦可以联想垂径定理，构造垂径定理的基本图形，可进一步得到全等三角形.据此分析，由弦等连接ac，只要

34、证 a c；如构造垂径定理的基本图形，可用全等来证【解答】 方法一： 如图，连接 ac. ab cd. abcd. abbd cd bd.即adbc. a c. papc.方法二：如图，连接 ad 、bc.19 / 32 ab cd. abcd. abbd cd bd.即adbc. ad bc. 1 2. 3 4.又 a c. pad pcb. papc.方法三：如图，连接 oa 、oc、op，作 oe ab 于 e， ofcd 于 f. oeab ，of cd.11 ae2ab ， cf2 cd. ab cd. aecf. oa oc. rt aoe rt cof oeof.又 op op.

35、 rtpoertpof. pepf. peae pf cf即： pa pc.20 / 3223（8 分）已知一次函数y1 kx 2（ k 为常数， k 0）和 y2 x 3.（ 1）当 k 2 时，如 y1 y2，求 x 的取值范畴 .（ 2）当 x1 时， y1y2.结合图像，直接写出k 的取值范畴 .【考点】一次函数的图像和性质，三个“一次”的关系，一次函数图像与k、b 值之间的关系等 .【分析】问题（ 1）可用代入法并建立不等式解答，也可利用函数图像解答.问题（ 2）关键积存并熟识函数图像随着k 值的变化，y kx（ k0）、ykx b（ k0）函数图像变化规律，即“操作实践体会” ：实

36、数范畴内，当k 0 时，在 k 值逐步增大过程中， ykx （k 0）位于第一象限的图像与x 轴正方向的夹角逐步增大，并且向y 轴无限接近，简洁的看成其图像绕原点作逆时针旋转；k0 时，在 k 值逐步增大过程中， ykx（k0）位于其次象限的图像与x 轴正方向的夹角逐步增大，并且向x 轴无限接近，简洁的看成绕原点作逆时针旋转，如图1.图 1图 2y kx b（ k0）的图像即把 y kx（k 0）的图像平移 |b|单位后所得，在 k 值逐步增大过程中，其图像的变化与 ykx （k0）的图像类似：当k0 时，在 k 值逐步增大过程中， ykx b（ k0）位于 x 轴上方的图像与 x 轴正方向的

37、夹角逐步增大， 并且向 y 轴无限接近， 简洁的看成其图像绕点 （ 0，b）作逆时针旋转；k 0 时，在 k 值逐步增大过程中， y kx b（k 0）位于 x 轴上方的图像与x 轴正方向的夹角逐步增大，并且向过点（ 0，b）且平行于 x 轴的直线无限接近，简洁的看成绕点（0，b）作逆时针旋转，如图2.两个图像不重合的一次函数y1 k1xb1（k10）与 y2k2x b2（k20）且 b1b2 的位置关系：当k1k2 时， y1 与 y2 相交，当 y1y2 时， y1 与 y2 平行，如图 3.图 321 / 32此题第一求出x1 时，两函数图像的交点坐标为a（ 1， 2），此点是分析问题的

38、关键点， 同时过点（1， 0）作垂直于 x 轴的直线 l；y1 的 b 2，可知 y1过点（ 0，2），设为点 b，此时 y1 即为直线 ab ，可以求出此时 k 4，发觉当 x 1 时，即在直线 l 的左侧 y1 y2，故 k 4 是符合题意的解，如图4；只要点 a 沿着 y1 的图像向右上方移动，即y1 绕点 b 逆时针旋转，所得到的k 值均符合题意，如图5、图6；随着 k 的增大， a 沿着 y1 的图像向右上方移动，当k1 时， y1 的图像 y2 的图像， 符合题意，如图7； 当 k 1 时， y1 与 y2 图像交点在第四象限，如图8，此时图像上存在y1 y2 的点，即当 x xa

39、 时， y1y2，故不 符合题意 .1图 4（k 4）图 5（k 1）图 6（k4 ）图 7（ k1）图 8（k 3）留意，已知条件中k0.综上分析， k 的取值范畴为： 4 k 1，且 k0.【解答】 4k 1，且 k0.24（ 8 分）如图，山顶有一塔ab ，塔高 33m.方案在塔的正下方沿直线cd 开通穿山隧道ef.从与点 e 相距80m 的 c 处测得 a 、b 的仰角分别为27°、22°，从与 f 点相距 50m 的 d 处测得 a 的仰角为 45° .求隧道ef 的长度 .（参考数据： tan22° 0.40，tan27° 0.51

40、）22 / 32【考点】三角函数的应用【分析】三角函数的应用通常需要构造直角三角形，解法有两种，其一为直接运算，其二为不能直接运算时 需要建立方程（组）进行解答，方程模型通常有：线段的和差、三角函数式、勾股方程等此题可以通过延 长 ab 交 cd 于点 g，就 ag ad 来构造直角三角形，如图 1.图 1已知条件中 ce 80， df 50，只要求出 cd 长，即可求出 ef 长.从而构造出三个直角三角形中， 公共边 ag 是连接三个三角形之间的桥梁， 不难发觉 dg ag，rt acg 、rtbcg 的公共边 cg 是联系两个直角三角形的桥梁，方程可以由： agbg ab （ 33m）建立

41、，只要挑选一个线段长为未知数（ x），把 ag、bg 分别用 x 的代数式表示出来即可求解，明显，挑选 cg 为未知数最为合适【解答】如图，延长 ab 交 cd 于点 g，就 ag ad ，设 cgx在 rtacg 中， acg 27° kanacg agcg agcg·tanacg x· tan27° 在 rtbcg 中， bcg 22°23 / 32 kanbcgbgcg bgcg· tanacg x·tan22° ab ag bg. x·tan27° x·tan22°

42、33. 解得： x300. cg300. agx·tan27° 153在 rtadg 中， adg 45° kanadgagdg ad ag 153 ef cd cedf. cgdg cedf. 3001538050 323.隧道 ef 的长度约为 323m25（ 8 分）某地方案对矩形广场进行扩建改造.如图，原广场长 50m，宽 40m.要求扩充后的矩形广场长与宽的比为 32.扩充区域的扩建费用每平方米30 元，扩建后在原广场和扩建区域都铺设地砖.铺设地砖费用每平方 米 100 元.假如方案总费用642 000 元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？【考点】二元

43、一次方程组的应用【分析】依据题意描述的相等关系，挑选适当的设未知数的方法进行解答即可.此题描述的数量关系有：扩充后：矩形广场长宽的比3 2；扩建费用铺地砖的费用642 000【解答】设扩充后广场的长为3xm，宽为 2xm.依据题意，得： 30（3x·2x50×40） 3x·2x·100 642 000.解得： x1 30， x2 30（不合题意，舍去） . 3x90，2x60.答：扩充后广场的长和宽应分别为90m 和 60m.24 / 3226（ 9 分）如图，在rtabc 中， c 90°， ac 3，bc 4.求作菱形 defg，使点 d 在边 ac 上，点e、f 在边 ab 上，点 g 在边 bc 上.（ 1）证明小明所作的四边形defg 是菱形 .（ 2）小明进一步探究， 发觉可作出的菱形的个数随着点d 的位置变化而变化请你连续探究，直接写出菱 形的个数及对应的cd 的长的取值范畴 .【考点】菱形的判定，直线与圆的位置关系，相像三角形，实践与操作体会等【分析】问题（ 1）由已知可得 dgef，dg de ef，易证四边形defg 是菱形；问题（ 2）随着点 d 的位置变化， dg 的长度也在变化，作法的第 2 步，弧与直线 ab 和线段 ab