高考数学一轮复习第7章立体几何第7讲立体几何中的向量方法第1课时知能训练轻松闯关理北师大版101

1、高考数学精品复习资料2019.5第第 7 7 讲讲 立体几何中的向量方法第立体几何中的向量方法第 1 1 课时课时1.如图所示，平面pad平面abcd，abcd为正方形，pad是直角三角形，且paad2，e，f，g分别是线段pa，pd，cd的中点求证：pb平面efg.证明：因为平面pad平面abcd，且abcd为正方形，所以ab，ap，ad两两垂直以a为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系axyz，则a(0，0，0)，b(2，0，0)，c(2，2，0)，d(0，2，0)，p(0，0，2)，e(0，0，1)，f(0，1，1)，g(1，2，0)法一：ef(0，1，0)，eg(1，2，1)，设平面

2、efg的法向量为n n(x，y，z)，则n nef0，n neg0，即y0，x2yz0，令z1，则n n(1，0，1)为平面efg的一个法向量，因为pb(2，0，2)，所以pbn n0，所以n npb，因为pb平面efg，所以pb平面efg.法二：pb(2，0，2)，fe(0，1，0)，fg(1，1，1)设pbsfetfg，即(2，0，2)s(0，1，0)t(1，1，1)，所以t2，ts0，t2，解得st2.所以pb2fe2fg，又因为fe与fg不共线，所以pb，fe与fg共面因为pb平面efg，所以pb平面efg.2.如图，在直三棱柱abca1b1c1中，abc为等腰直角三角形，bac90，

3、且abaa1，d，e，f分别为b1a，c1c，bc的中点求证：(1)de平面abc；(2)b1f平面aef.证明：如图，建立空间直角坐标系axyz，令abaa14，则a(0，0，0)，e(0，4，2)，f(2，2，0)，b(4，0，0)，b1(4，0，4)(1)取ab中点n，则n(2，0，0)，c(0，4，0)，d(2，0，2)，所以de(2，4，0)，nc(2，4，0)，所以denc，所以denc.又nc平面abc，de平面abc，故de平面abc.(2)因为b1f(2，2，4)，ef(2，2，2)，af(2，2，0)，所以b1fef(2)22(2)(4)(2)0，所以b1fef，即b1fe

4、f.因为b1faf(2)222(4)00，所以b1faf，即b1faf，又affef，所以b1f平面aef.3.如图所示，四棱锥sabcd的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 2倍，p为侧棱sd上的点(1)求证：acsd.(2)若sd平面pac，则侧棱sc上是否存在一点e，使得be平面pac.若存在，求seec的值；若不存在，试说明理由解：(1)证明：连接bd，设ac交bd于点o，则acbd.由题意知so平面abcd.以o为坐标原点，ob，oc，os分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图设底面边长为a，则高so62a，于是s0，0，62a，d22a，0，0，b22a，0

5、，0，c0，22a，0，oc0，22a，0，sd22a，0，62a，则ocsd0.故ocsd.从而acsd.(2)棱sc上存在一点e，使be平面pac.理由如下：由已知条件知ds是平面pac的一个法向量，且ds22a，0，62a，cs0，22a，62a，bc22a，22a，0.设cetcs，则bebccebctcs22a，22a（1t） ，62at，而beds0t13.即当seec21 时，beds.而be不在平面pac内，故be平面pac.4.如图，已知ab平面acd，de平面acd，acd为等边三角形，adde2ab，f为cd的中点(1)求证：af平面bce；(2)求证：平面bce平面cd

6、e.证明：(1)设adde2ab2a，建立如图所示的空间直角坐标系axyz，则a(0，0，0)，c(2a，0，0)，b(0，0，a)，d(a， 3a，0)，e(a， 3a，2a)因为f为cd的中点，所以f32a，32a，0.af32a，32a，0，be(a， 3a，a)，bc(2a，0，a)因为af12(bebc)，af平面bce，所以af平面bce.(2)因为af32a，32a，0，cd(a， 3a，0)，ed(0，0，2a)，所以afcd0，afed0，所以afcd，afed.又cdded，所以af平面cde，即af平面cde.又af平面bce，所以平面bce平面cde.1.如图所示，在四

7、棱锥pabcd中，pc平面abcd，pc2，在四边形abcd中，bc90，ab4，cd1，点m在pb上，pb4pm，pb与平面abcd成 30角(1)求证：cm平面pad；(2)求证：平面pab平面pad.证明：(1)以c为坐标原点，分别以cb所在直线为x轴，cd所在直线为y轴，cp所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系cxyz，因为pc平面abcd，所以pbc为pb与平面abcd所成的角，所以pbc30.因为pc2，所以bc2 3，pb4.所以d(0，1，0)，b(2 3，0，0)，a(2 3，4，0)，p(0，0，2)，m32，0，32 ，所以dp(0，1，2)，da(2 3，3，0)

8、，cm32，0，32 ，令n n(x，y，z)为平面pad的一个法向量，则dpn n0，dan n0，即y2z0，2 3x3y0，所以z12y，x32y，令y2，得n n( 3，2，1)因为n ncm 332201320，所以n ncm，又cm平面pad，所以cm平面pad.(2)取ap的中点e，则e( 3，2，1)，be( 3，2，1)因为pbab，所以bepa，又因为beda( 3，2，1)(2 3，3，0)0，所以beda，所以beda，又padaa，所以be平面pad，又因为be平面pab，所以平面pab平面pad.2如图，正abc的边长为 4，cd是ab边上的高，e、f分别是ac和bc边的中点，现将abc沿cd翻折成直二面角adcb.(1)试判断直线ab与平面def的位置关系，并说明理由；(2)在线段bc上是否存在一点p，使apde？如果存在，求出bpbc的值；如果不存在，请说明理由解：(1)ab平面def，理由如下：在abc中，由e、f分别是ac、bc的中点，得efab.又因为ab平面def，ef平面def，所以ab平面def.(2)以点d为坐标原点，直线db、dc、da分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，则a(0，0，2)，b(2，0，0)，c(0，2 3，0)，e(0， 3，1)，故de(0， 3，1)假设存在点p(x，y，