高中数学人教A版必修四教学案：第一章 章末小结与测评 含答案

1、起1 在直角坐标系中， 设任意角终边上任意一点 p(x， y)， 它与原点的距离为 r x2y2，则 sinyr；cosxr；tanyx.2任意角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，而与点 p 在终边上的位置无关；角与三角函数值的对应关系是多值对应关系，给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的；反过来，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应3三角函数值在各象限的符号有如下记忆口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦依据相应三角函数值的符号可以确定角终边所在的象限典例 1已知角的终边经过点 p(12m，5m)(m0)，求 sin，cos，tan的值解：r （12m）2（5m）213|m|，若 m0

2、，则 r13m，为第四象限角，sinyr5m13m513，cosxr12m13m1213，tanyx5m12m512.若 m0，则 r13m，为第二象限角，sinyr5m13m513，cosxr12m13m1213，tanyx5m12m512.对点训练1(1)是第四象限角，p( 5，x)为其终边上一点，且 sin24x，则 cos的值为()a.104b.64c.24d104(2)若20，则点 p(tan，cos)位于()a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限解析： (1)选 a由定义可得 sinxx2524x， x0， 可得 x 3， cos52 2104.(2)选 b20，tan0，点 p

3、(tan，cos)位于第二象限.三角函数式的化简、 求值与证明问题的依据主要是同角三角函数的关系式及诱导公式 化简的顺序是：(1)先用诱导公式化为同角三角函数(2)再用同角三角函数关系化简用同角三角函数关系化简时，有两种思路：化弦法：当切函数的项比较少时，常常化弦达到化简的目的；化切法：当弦函数的项比较少或者正、余弦的表达式是齐次式时，常常化切，便于化简典例 2已知2tan（）1tan （2）4，求(sin3cos)(cossin)的值解：2tan（）1tan （2）2tan1tan4，解得 tan2.(sin3cos )(cossin)sincossin23cos23sincos4sinco

4、ssin23cos2sin2cos24tantan23tan214222322115.对点训练2化简下列各式：(1)sin3（）cos（）cos（）tan3（）cos3（）cos（3）sin2（3）cos232tan（5）tan（）cos3（）；(2)tan（510）cos（210）cos 120tan（600）sin（330）sin 29cos 61tan 36tan 54.解：(1)原式sin3cos（cos）tan3（cos）3（cos）sin2sin2tantan（cos）3sin3cos2sin3cos3cos3cossin4sin2cos2cos3cos2sin22sin21.(2

5、)原式tan 510cos 210cos 120tan 600（sin 330）sin 29cos 61tan 36tan 54tan（360150）cos（18030）cos（18060）tan（2360120）sin（36030）1tan 36tan 54tan 150（cos 30） （cos 60）tan（120） （sin 30）tan（18030）cos 30cos 60tan（18060）sin 30（tan 30）cos 30cos 60tan 60sin 3036.(1)“五点法”作图中的五点分别为图象的最高点、最低点及与 x 轴的交点，描点作图并向左或向右平移即得正弦曲线和

6、余弦曲线周期变换(0)周期变换(0)振幅变换a(a0)和周期变换(0)相位变换(0)振幅变换 a(a0)注意二者平移量的不同(3)由已知条件确定函数 yasin(x)的解析式，需要确定 a，其中 a，易求，下面介绍求的几种方法平衡点法由 yasin(x)asin x知它的平衡点的横坐标为， 所以我们可以找与原点相邻的且处于递增部分的平衡点，令其横坐标为 x1，则可求.确定最值法这种方法避开了“伸缩变换”且不必牢记许多结论，只需解一个特殊的三角方程利用单调性将函数 yasin(x)的图象与 ysin x 的图象比较，选取它们的某一个单调区间得到一个等式，解答即可求出.典例 3已知函数 f(x)a

7、sin(x)(a0，0，02 的图象上的一个最低点为 m23，2，周期为.(1)求 f(x)的解析式；(2)将 yf(x)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)， 然后再将所得的图象沿 x 轴向右平移6个单位，得到函数 yg(x)的图象，写出函数 yg(x)的解析式；(3)当 x0，12 时，求函数 f(x)的最大值和最小值解：(1)由题可知 t2，2.又 f(x)min2，a2.由 f(x)的最低点为 m，得 sin431.02，4343116.4332.6.f(x)2sin2x6 .(2)y2sin2x6横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变）y2sin122x62si

8、nx6沿 x 轴向右平移6个单位y2sinx6 62sin x，g(x)2sin x.(3)0 x12，62x63.当 2x66，即 x0 时，f(x)min2sin61，当 2x63，即 x12时，f(x)max2sin3 3.对点训练3函数 ytan xsin x|tan xsin x|在区间2，32内的图象大致是()解析：选 d当 x2，时，sin x0，tan x0，tan xsin x0.ytan xsin x(sin xtan x)2tan x.同理，当 x，32时，sin x0，故 tan xsin x0.ytan xsin x(tan xsin x)2sin x.综上可知，选项

9、 d 正确4如图，是函数 yasin(x)k(a0，0)的一段图象(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过 ysin x 变换得来的？解：(1)由图象知a1232212，k123221，t2236 ，2t2.y12sin(2x)1.当 x6时，262，6.所求函数解析式为 y12sin2x6 1.(2)把 ysin x 向左平移6个单位，得到 ysinx6 ，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12，得到 ysin2x6 ，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到 y12sin2x6 ，最后把函数 y12sin2x6 的图象向下平移 1 个单位，得到 y12sin2x61 的

10、图象.(1)函数 ysin x 和 ycos x 的周期是 2，ytan x 的周期是；函数 yasin(x)和 yacos(x)的周期是2|，yatan(x)的周期是|.(2)函数 ysin x 和 ycos x 的有界性为： 1sin x， cos x1， 函数 ytan x 没有最值 有界性可用来解决三角函数的最值问题(3)函数 ysin x 在22k，22k上递增，在22k，322k上递减；函数 ycos x 在2k，2k上递增，在2k，2k上递减；函数 ytan x 在2k，2k上递增，以上 kz.(4)利用函数的单调性比较同名三角函数值的大小时，注意利用诱导公式将角化到同一单调区间

11、内；求形如 f(x)的单调区间时，采用整体代换的方法将x视为整体求解相应 x 的范围即可，注意的符号及 f 对单调性的影响典例 4函数 yasin(x)(a0，0)在 x(0， 7)内取到一个最大值和一个最小值，且当 x时，y 有最大值 3，当 x6时，y 有最小值3.(1)求此函数解析式；(2)写出该函数的单调递增区间解：(1)由题可知 a3，t25，t10.2t15，152.310.y3sin15x310 .(2)令 2k215x3102k2，得 10k4x10k，kz.函数的单调递增区间为x|10k4x10k，kz对点训练5函数 f(x)3sin2x3 的图象为 c.图象 c 关于直线

12、x1112对称；函数 f(x)在区间12，512 内是增函数；由 y3sin 2x 的图象向右平移3个单位长度可以得到图象 c.以上三个论断中，正确论断的个数是()a0b1c2d3解析：选 cf11123sin1163 3sin323，直线 x1112为对称轴，对；由12x51222x32，由于函数 y3sin x 在2，2 内单调递增，故函数 f(x)在12，512 内单调递增，对；f(x)3sin 2x6 ，而由 y3sin 2x 的图象向右平移3个单位长度得到函数 y3sin2x3 的图象，得不到图象 c，错(时间：120 分钟满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题

13、5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在 0360的范围内，与510终边相同的角是()a330b210c150d30解析： 选 b因为5103602210， 因此与510终边相同的角是 210.2若 sin33，2，则 sin2 ()a63b12c.12d.63解析：选 asin2cos，又2，sin33，cos63.3已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也是 2，则这个圆心角所对的弧长是()a2b.2sin 1c2sin 1dsin 2解析：选 b如图，由题意知1，bc1，圆的半径 r 满足 sinsin 11r，所以 r1sin 1，弧长 ab2r2si

14、n 1.4函数 f(x)sinx4 的图象的一条对称轴是()ax4bx2cx4dx2解析： 选cf(x)sinx4 的图象的对称轴为x4k2， kz， 得xk34，当 k1 时，则其中一条对称轴为 x4.5化简 12sin（2）cos（2）得()asin 2cos 2bcos 2sin 2csin 2cos 2dcos 2sin 2解析：选 c12sin（2）cos（2） 12sin 2 （cos 2） （sin 2cos 2）2，220.原式sin 2cos 2.6函数 f(x)tanx4 的单调增区间为()a.k2，k2 ，kzb(k，(k1)，kzc.k34，k4 ，kzd.k4，k34

15、，kz解析：选 c令 k2x4k2，kz，解得 k34xk4，kz，选 c.7已知 sin432，则 sin34的值为()a.12b12c.32d32解析：选 c434，344，sin34sin 4sin432.8设是第三象限的角，且|cos2|cos2，则2的终边所在的象限是()a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限解析：选 b是第三象限的角，2k322k，kz.2k234k，kz.2在第二或第四象限又|cos2|cos2，cos20，0，|)的一段图象如图所示，则函数的解析式为()ay2sin2x4by2sin2x4 或 y2sin2x34cy2sin2x34dy2sin2x34解析：选

16、 c由图象可知 a2，因为88 4，所以 t，2.当 x8时，2sin822，即 sin4 1，又|0)， 对任意 x 有 fx12 fx12 ， 且 f14 a， 那么 f94等于()aab2ac3ad4a解析：选 a由 fx12 fx12 ，得 f(x1)fx12 12fx1212 f(x)，即 1 是 f(x)的周期而 f(x)为奇函数，则 f94 f14 f14 a.二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13已知 tan 3，2，那么 cossin的值是_解析：因为2，所以 cos0，所以 cos cos2cos2cos2sin211tan211312.sin3

17、2，所以 cossin1 32.答案：1 3214设 f(n)cosn24 ，则 f(1)f(2)f(3)f(2 015)等于_解析：f(n)cosn24 的周期 t4，且 f(1)cos24 cos3422，f(2)cos4 22，f(3)cos324 22，f(4)cos24 22.所以 f(1)f(2)f(3)f(4)0，所以 f(1)f(2)f(3)f(2 015)f(1)f(2)f(3)22.答案：2215定义运算 a*b 为 a*ba（ab） ，b（ab） ，例如 1*21，则函数 f(x)sin x*cos x 的值域为_解析：由题意可知，这实际上是一个取小的自定义函数，结合函数

18、的图象可得其值域为1，22 .答案：1，2216给出下列 4 个命题：函数 y|sin2x12|的最小正周期是2；直线 x712是函数 y2sin3x4 的一条对称轴；若 sincos15，且为第二象限角，则 tan34；函数 ycos(23x)在区间23，3上单调递减其中正确的是_(写出所有正确命题的序号)解析：函数 ysin2x12 的最小正周期是，则 y|sin2x12|的最小正周期为2，故正确对于，当 x712时，2sin37124 2sin322，故正确对于，由(sincos)2125得2sincos2425，为第二象限角， 所以 sincos 12sincos75，所以 sin35

19、，cos45，所以 tan34，故正确对于， 函数 ycos(23x)的最小正周期为23， 而区间23，3长度7323， 显然错误答案：三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10 分)已知tantan11，求下列各式的值：(1)sin3cossincos；(2)sin2sincos2.解：由tantan11，得 tan12.(1)sin3cossin costan3tan112312153.(2)sin2sincos2sin2sincos2(cos2sin2)3sin2sincos2cos2sin2cos23tan2tan2tan2

20、131221221221135.18(12 分)已知函数 f(x)2sin13x6 ，xr.(1)求 f54的值；(2)求函数 f(x)的单调递增区间解：(1)f542sin13546 2sin4 2(2)令 2k213x622k，kz，所以 2k313x232k，kz，解得 6kx26k，kz，所以函数 f(x)2sin13x6 的单调递增区间为6k，26k，kz.19(12 分)已知函数 f(x)3sinx4 .(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；(2)写出 f(x)的值域、最小正周期、对称轴，单调区间解：(1)列表如下：x44345474x402322sinx4010103sinx403030描点画图如图所示(2)由图可知，值域为3，3，最小正周期为 2，对称轴为 x4k，kz，单 调 递 增 区 间 为342k，42k(kz) ， 单 调 递 减 区 间 为42k，542k(kz)20(12 分)如图，函数 y2sin(x)，xr其中 02 的图象与 y 轴交于点(0，1)(1)求的值；(2)求函数 y2sin(x)的单调递增区间；(3)求使 y1 的 x 的集合解：(1)因为函数图象过点(0，