年高考数学总复习三角恒等变换

1、第三节三角恒等变换考纲解读会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦，正切公式.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦，余弦， 正切公式， 导出二倍角的正弦，余弦，正切公式，明白它们的内在联系.能利用上述公式进行简洁的恒等变换（包括导出积化和差， 和差化积，半角公式，但对这三种公式不要求记忆）.命题趋势探究高考必考，在挑选题， 填空题和解答题中都有渗透， 是三角函数的重要变形工具.分值与题型稳固，属中下档难度.考题以考查三角函数式化简，求值和变形为主.化简求值的核心是：探究已知角与未知角的联系，恒等变换（化同角同函）.学问点精讲常用三角恒等变形公式和角公式s

2、insincoscossincoscoscossinsintan差角公式tantan1tantansinsincoscossincoscoscossinsintan倍角公式tantan1tantansin 22sincoscos 2cos2sin 22cos 2112sin 2tan 22 tan1tan2降次（幂）公式sincos1 sin 2;sin 21cos 2;cos 21cos 2;222半角公式sin1cos;cos1 cos;2222tansin1cos.2 1cossin a帮助角公式a sinb cosa 2b2sin, tanb ab a0, 角的终边过点 a, b ，特

3、别地，如a sinb cosab或ab，就 tanb . a2222常用的几个公式sincos2 sin; 4sin32 cos2sin; 33 sincos2sin; 6题型 65两角和与差公式的证明题型归纳及思路提示思路提示推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦定理或向量数量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路.例 4.33证明(1) c: coscoscossinsin;(2) 用 c证明 s: sinsincoscossin3 用12证明t: tantantan.1tantan解析1 证法一：如图 432（ a）所示，设角,的终边交单位圆于p1c

4、os.sin, p2 cos,sin, , 由余弦定理得pp2op 2op 22opop cos1 212122coscos2sinsin22cos22coscossinsin22cosc: coscoscossinsin.证法二：利用两点间的距离公式.如图 432（b）所示a1,0, p1cos,sin, p2 cos,sin,p3 cos,sin, 由oap2op3p1; 得，ap2p1p3 .故1cos20sin 2coscos2sinsin2 ,即sin 2 cos2cos22coscossin 2sin 22sinsincoscossinsin1cos2化简得 cos(2) sinc

5、oscos 22coscossinsin 22cossinsincoss: sinsincoscossin(3) tansinsincoscossin coscoscossinsinsincoscossincoscoscoscoscoscossinsincoscoscoscost: tantantan.1tantan变式证明：1c: coscoscossinsin;2 s: sinsincoscossin3t: tantantan.1tantan题型 66化简求值思路提示三角函数的求值问题常见的题型有：给式求值、给值求值、给值求角等.(1) 给式求值： 给出某些式子的值， 求其他式子的值 .

6、解此类问题， 一般应先将所给式子变形， 将其转化成所求函数式能使用的条件，或将所求函数式变形为可使用条件的形式 .(2) 给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值， 解题关键在于“变角” ，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：将待求式用已知三角函数表示；将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧， 解题时第一要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并依据这些关系来挑选公式 .(3) 给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范畴，最终借助三角函数图像、诱导公式求角.一、化同角同函例 4.34已知c

7、osx) 3sin 2 x就2sin 2 xa. 7 2545b.12251tan xc. 1125d. 1825解析解法一：化简所求式sin 2 x2sin 2 x2sinx cos x2sin 2 x1tan x1sin x2sin xcos xsin xcos xcos x2sinx cos x.cos xsin x由 cosx3 得2 cos x2 sin x3 , 即 cos xsin x32 , 两边平方得452255cos2 xsin 2 x2sinxcos x18 , 即12sin25x cos x18 .25所以 2sinx cos x7 .应选 .25解法二：化简所求式si

8、n 2 x2sin 2 x2sin x cos xsin 2 x1tan xsin2xcos 2x12cos 2 x7 . 应选 .424425评注 解法一运用了由未知到已知， 单方向的转化化归思想求解； 解法二运用了化未知为已知， 目标意识剧烈的构造法求解， 从复杂度来讲， 一般情形下采纳构造法较为简洁 .变式 1如 cos1 ,cos3 , 就 tantan .变式 2如 cos554，是第三象限角，就51tan21tan11a. b.22c.22d.2变式 3（ 2021 江西理）如tan1tan4 ，就 sin 2.1111a.b.c .d . 5432二、建立已知角与未知角的联系（通

9、过凑配角建立）将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解 题时第一要分析已知条件和结论中各种角的相互关系，并依据这种关系来挑选公式.常见的角的变换有：和、差角，帮助角，倍角，降幂，诱导等.1. 和、差角变换如可变为 ； 2可变为 ； 2可变为 例 4.35如 0,cos3,sin3, 就cos的值为（）.255a. 17b. 1或25c. 24 25d. .2425分析建立未知角与已知角的联系，.解析解法一：coscoscoscossinsin. 由于3, 22所以，就cos44,0,sin0, sin525,cos4 33424 .555525解法二：由于, 2应选

10、.，所示 cos1,0.评注利用和、差角公式来建立已知角与未知角的联系，常利用以下技巧：; 等. 解题时，要留意依据已知角的范畴来确定未知角的范畴，从而确定所求三角式的符号.变式 1已知 sin5 ,sin10 ,0, 就.5102a. 512b. c.d . 346变式 2 如, 3,0,cos3 ,sin 35 ，就44445413sin .二、帮助角公式变换例 4.36已知 cossin43 ，就sin7 的值为（）.a. 25 565b. 25 5c. . 456d. 45分析将已知式化简，找到与未知式的联系.解析由题意，coscos 6sinsin6sin4353cos3sin3 s

11、in43 ，得 sin4 .226565所以 sin7sinsin4 . 应选 .6665变 式 1 设（）.sin14ocos14o ,bsin16 ocos16 o, c6 , 就 a,b,c的大小关系为2a. a<b<cb.b<c<ac.a<c<bd.b<a<c变式 2 设sin15 ocos15o ,bsin17 ocos17o,就以下各式中正确选项（）.a2b2a 2b 2a. ab2b. ab2a 2b2a 2b2c. ba23. 倍角，降幂（次）变换d.b ba2例 4.37 （ 2021 大纲全国理7 ）已知为其次象限角，sinc

12、os3 就3cos 2.a. 53b. 59c. 5 9d. .53分析利用同角三角函数的基本关系式及二倍角公式求解.解析解法一：；由于sincos3 所以3sincos213得 2sincos2，即 sin 232 . 又由于为其次象限角且3sincos30 ，就2 k, 2k3 kz .3所以 24kcos 21,4 k2 2243 kz . 故2为第三象限角，25 . 应选 .33解法二：由为其次象限角，得 cos0,sin0 ， cossin0,且 cossin212sincos，又sincos3 ，就3sincos2所以 cossin12sincos15 ，31 2sincos 32

13、 ，得3cossin 25 ，3cos 2cos2sin 2cossincossin315 5 . 应选 .333变式 1如 sin1 就cos 2.633a. 7 9b. 1 3c. . 13d. . 79变式 2（2021 江苏 11）设为锐角，如cos4 ，就 sin27 的值省为.变式 3 已知 sin23 ,sin6512且,0,12求sin值.变式 4 如 sin5133 , tan221，就 tan2.522a. 24 7b. 7 24c. 247d. 7 24变式 5 已知 sin4. 诱导变换1 cos 2，且0. ，就2cos 2 . sin4例 4.38 如f sinx3

14、cos 2 x ，就f cos x.a.3cos2 xb.3sin 2xc .3cos2 xd.3sin 2 x分析化同函f cos xf sinl 以便利用已知条件 .解析解法一：f cos x2应选 .f sin x3cos 2 x23cos2 x23cos 2x.解法二：f sinx3cos 2 x2312sinx2sinx2 就f x2 x2应选 .2, x1,1 故f cos x2cos 2 x2 2cos 2 x13cos2 x3.变式 1是其次象限角，tan24 ，就 tan .3cos 2变式 2 如 sin5 ,0, ，就 .4132cos4最有效训练题19（限时 45 分钟

15、）1. 已知函数f xsin x3 cos x, 设 af, bf 7, cf 6 ，就 a, b, c 的大小 3关系为（）.a. a<b<cb.c<a<bc.b<a<cd.b<c<a2. 如sin1 ，就 cos2.343a. 1b.144c. . 78d. . 783. 如 tan1 ，就 cos2.224411a. b.c .d .55224. 已知 tan1 , tan1 ，且,0, ，就 2.27a. b.3c. ., 5d. . 3, 544444445. 函数 ysinx0 的部分图像如图4 33 所示，设 是图像的最高点， 是图像与 x 轴的交点，就 tanapb.10.8c. 8d. 4776. 函数 ysin x3 的最大值是（） .a. 1 2cos xb.41226c .4153d .1226157. 已知 tan43 ，就sin 22cos 2 .8. 已知 x,y 满意sin xsin y13，就 cosxy .cos xcos y153 tan10o