必修五--等比数列的知识点归纳和习题训练

1、名师总结优秀学问点必修五：等比数列学问点一：等比数列的定义、等差中项和通项公式1. 等比数列的定义：an an 1qq0n2,且nn *， q 称为 公比2. 通项公式：aa q n 1a1 q na b naq0, a b0，首项：a ；公比： qn111qm推广： ana qn m ，从而得qn man 或 qn m an amam等比数列通项公式aa qn 1a1 q na b na b0是关于 n 的带有系数的类指数函数，底数n1q为公比 q （ q1 ） ；3. 等比中项假如 a, a,b 成等比数列，那么a 叫做 a 与 b 的等差中项即：a2ab 或 aab留意： 同号的 两个数

2、 才有 等比中项，并且它们的等比中项有两个 （两个等比中项互为相反数）数列a是等比数列a 2aannn 1n 1【典型例题】1.等比数列 an中， a6 6， a9 9，就 a3 等于 3a 3b.2c.169d 4a 64b 81c 128d 2433. 已知等比数列 an 的前三项依次为a 1，a 1， a 4，就an .2. 已知等比数列 an 满意 a1a23， a2 a3 6，就 a7 4. 已知数列 an 的通项公式为a n2n ，就数列 an等比数列数列（填是或者不是），如是就该数列的首项 a1，公比 q.5.设 a1 , a 2 , a 3 , a4 成等比数列，其公比为2，就

3、2a1 2a3a2的值为（）a4111a. b c428d 16、等比数列a n中， a2a36, a 2a 38, 就q（）名师总结优秀学问点1a 2b21c 2 或21d 2 或2【习题实践】51已知等比数列 an 的公比为正数，且a3· a9 2a2，a21，就 a1 1a. 2b.22c.2d22假如将 20、50、100 各加上同一个常数能组成一个等比数列，那么这个数列的公比是（）1345a bcd 22333数列an的前 n 项和记为sn ，已知 an5sn3 nn *，求数列an的通项公式4. 设sn 为数列an的前 n 项和， snkn2n, nn * ，其中 k 是

4、常数(1) 求 a1 和 an ；m2m4m(2) 如对于任意的mn * , a,a, a成等比数列，求k 的值学问点二：等比数列的前n 项和 sn等比数列的前n 项和sn 公式：(1) 当 q1 时，snna1(2) 当 q1 时， sna1 1qn1qa1an q1q名师总结优秀学问点前 n 项 sna1 1qn1qaa q n111qa1a1q n1q1qa b na ，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q ；【典型例题】1. 设 an 是公比为正数的等比数列，如a1 7， a5 16，就数列 an 前 7 项的和为 a 63b 64c 127d 128n2. 已知数列 a

5、n 的前 n 项和为 sn，如 sn 2n1，就 a8 .3. 如等比数列 an 的前项之和为sn3a ，就 a 等于（）a3b 1c 0d14. 设 sn 为等比数列an的前项和，已知3s3a42 ， 3s2a32 ，就公比 qa.3（ b） 4（c） 5（ d） 65. 设等比数列 an 的公比 q 2，前 n 项和为 sn，就 s4 a21517a.2b.4c. 2d. 26. 设等比数列 an 的前 n 项和为 sn.如 a1 1， s6 4s3 就 a4 .7. 设 fn a a4 a7 a10 a3n 10a 0， n n，就 fn .8. 数列an是等比数列，其中sn=48， s

6、2n=60，求 s3n【习题实践】2 2 247103n 11. 设 fn 22nn ，就 fn等于 a. 2 8n1 7b. 2 8n 117c.2 8n 317d. 2 8n 4172. 设等比数列 an 的前 n 项和为 sn，如 a1 1， s6 4s3，就 a4 .3.已知等比数列 an 中， a1 a2 a3 40， a4 a5 a6 20，就前 9 项之和等于 a 50b 70 c 80d 904. 已知数列a8an为等比数列，如a42， s44 ，就s8 等于 a 12b 24c 16d 32名师总结优秀学问点5已知等比数列前n 项和为sn ，s10 s531 ，就数列的公比为

7、 1an2326等比数列 an的前 n 项和 sn5n1 , 就 a 22a 2 =a 2 5n1b 52n1c 2352n 11d 2352n17在等比数列 an 中， s4=1，s8=4 ，就 a17+a18+a19+a20= 8. 如数列 a n的前 n 项和为 sn3n1 ，就数列 a n 的通项公式为 ;9. 如等比数列 an 中， a11, an512 ，前 n 项的和为 sn341 ，就公比q= ，项数nn= ；10. 在等比数列an中，（ 1）已知 s230, s3155 ，求an和sn ；（2）已知 sn21 , 求an和 a 4学问点三：等比数列的证明方法、判定方法和性质1

8、. 等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的n, 都有aqa 或an 1qq为常数， a0 a 为等比数列；n 1nnnan（2） 等比中项：a 2aa（ aa0） a 为等比数列；nn 1 n 1n 1 n 1nn（3） 通项公式：aa bna b0 an为等比数列；（4） 前 n 项和公式：sna b na a, b为常数 an 为等比数列；名师总结优秀学问点2. 等比数列的证明方法依据定义：如anqq0n2,且nn *或 aqa a 为等比数列；an 1n 1nn*23. 等比数列的性质（1）如 mnst m, n, s, tn, 就 anamasat . 特殊的 , 当 mn2k 时,

9、 得 anamak注： a1ana 2a n 1a3an 2（2）如数列 an , bn 为等比数列 , 就数列 k an, kan , ank , kanbn an bnk为非零常数 均为等比数列；数列 a 为等比数列 , 每隔 kkn * 项取出一项 a , a,a, a, 仍为等比数列；nmm km2km 3k如 an 为等比数列 , 就数列sn ， s2 nsn ， s3ns2 n ,，成等比数列如 an 为等比数列 , 就数列 a1a2an ,an 1an 2a2 n ,a2 n 1a2 n 2a3n 成等比数列； 假如 an 是各项均为正数的等比数列 , 就数列 loga an 是

10、等差数列(3) 当 q1 时，当 0<q1 时，a10，就 an 为递增数列 a10，就 an 为递减数列,a10，就 an 为递减数列 a10，就 an 为递增数列当 q1 时, 该数列为常数列（此时数列也为等差数列）;当 q0 时, 该数列为摇摆数列.(4) 在等比数列 an中,当项数为2n nn *时, s奇1 .s偶q(5) 如 a 是公比为q 的等比数列 , 就 ssqns .nn mnm【典型例题】1. 已知sn 是数列 an的前 n 项和sp n pr, nn , 那么 an （）na. 是等比数列b当时 p0 是等比数列c.当 p0 , p1时是等比数列d不是等比数列2.

11、 已知 an是等比数列，且an0 ， a2a42 a3a5a4 a625 ，那么 a3a5（）名师总结优秀学问点a 10b 15c 5d 63. 如数列是等比数列，以下命题正确的个数是（）n a2 ， a2n 是等比数列 lgan成等差数列 1 ， anan 成等比数列 can ， ank k0 成等比数列；a 5b 4c 3d 24. 已知等比数列 an 的各项均为不等于1 的正数，数列 bn 满意 bn ln an，b3 18，b6 12，就数列 bn前 n 项和的最大值为 5. 已知a n是等比数列，an0 ，且a4a62a5a7a6 a836 ， a5a7 等于（）a6b 12c18d

12、 246. 等比数列 an 中，（ 1） a 24,a51，求通项公式； （ 2）已知2a3 a4 a58 ，求a2 a3a4a5a6的值；7. 已知an是等比数列，(1) 如 an0 ， a2a42a3a5a4 a625 ，就a3a5.(2) 如 an0 ， a1a100100 ，就lg a1lg a2lg a100 .8等比数列a n共 2n 项，其和为 240，且奇数项的和比偶数项的和大80，就公比q .【习题实践】1. 在等比数列 an 中， a5、a9 是方程 7x2 18x 7 0 的两个根，就a7 等于 a. 1b 1c± 1d 以上都不正确2. 已知等比数列 a 的前

13、 n 项和 s t· 5n 21t 的值为 nn 5，就实数名师总结优秀学问点41a 4b5c.5d.53. 等比数列an是递减数列，其前n 项的积为tn ，如 t134t9 ，就a8a15 等于 a± 2b±4 c2d 44数列an成等比数列，a63 , 就 a3a4a5a6a7a8a9 的值等于（）a 35b 36c 37d 385. 设 lg a1, lg a 2, lg a3, lg a4成等差数列，公差为5，就a4= ;a1x6. 正项等比数列 a n 中，a 2 a 41, s313, 如 bnlog 3an ，就数列 bn 的前 10 项的和为7.如

14、 log 32,log 3 21, log 3 211 成等差数列，就xx且 a18已知等比数列a n ，公比 q=1+a3+a49=30, 就 a1+a2+a3+a50=2a 35b 40c 45d 509. 在等比数列an的前 n 项和中，a1 最小，且 a1an66, a 2a n 1128 ，前 n 项和 sn126 ，求 n和公比 q；10.一个有穷的等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数学问点四：等比数列的应用名师总结优秀学问点1. 已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数；2. 等比数列 an 的

15、首项为1，公比为q，前 n 项的和为s，由原数列各项的倒数组成一个新数列1 ，an由 1 an的前 n 项的和是（） a. 15b1 qn ssq ncn 1dqs3在等比数列 an 中， a1 2，前 n 项和为 sn，如数列 an 1 也是等比数列，就sn 等于 a 2n 1 2b 3nc 2nd 3n 14. 已知 an 是等比数列，a2 2，a5 1，就 a1a2 a2a3 anan 1 4 n n32 n32na 1614b 161 2c. 3 1 4d. 3 1 225. 已知 a、b、c、d 成等比数列，且曲线y x 2x 3 的顶点为 b， c ，就 ad 等于 a 3b 2c

16、 1 d 226. 在等比数列an中，如 a4a6a8a10a12243 , 就a10的值为 22a127. 在等比数列an中，已知对任意正整数n，有 sn2 n1 ，就 a 2aan a.2n21b.1 2n31221c.2n1d.1 4n138. 等比数列前3 项的积为2，最终三项的积为4，全部项的积为64，就该数列有a13 项b 12 项c 11 项d 10 项29. 已知 a，b， c 成等比数列，就二次函数f x ax bx c 的图象与x 轴的交点有 a0 个b 1 个c 2 个d 0 个或 1 个10. 设 an是正数等差数列，bn是正数等比数列，对应的函数图象如图，且a1b1

17、, a2n 1b2 n1 ，就 a. an 1bn 1b an 1bn 1c an 11bn 1d an 1bn 111. 已知等比数列an中， a232, a8, an 12an ，(1) 求数列a n的通项公式；名师总结优秀学问点(2) 设 tnlog 2 a1log 2 a2log 2 a n ，求tn 的最大值及相应的n 值12. 已知数列a n满意， a11, a22，an 2anan 21 , nn * .(1) 令 bnan 1an ，证明：bn是等比数列；(2) 求 an的通项公式学问点五：等差数列和等比数列的综合应用【典型例题】1. 如互不相等的实数a， b， c 成等差数列

18、，c， a， b 成等比数列，且a 3bc 10，就 a 等于 a4b 2c 2d 42. 如两个数的等差中项为6，等比中项为5，就以这两个数为两根的一元二次方程是22a x 6x 5 0bx 12x 25 022c x 6x 25 0dx 12x 25 03. 等差数列an中，2a3a72 a110 , 数列bn为等比数列，且b7a7 ，就b6b8 的值为 a2b 4c16d 8名师总结优秀学问点4.有三个正数成等比数列，其和为21，如第三个数减去9，就它们成等差数列，这三个数分别为 ；5.数列 an 中， an2n 1n为正奇数，2n 1n为正偶数.设数列 an 的前 n 项和为 sn，就 s9 .5. 三个数成等比数列，如其次个数加4 就成等差数列，再把这个等差数列的第3 项加 32 又成等比数列，求这三个数6. 在四个正数中，前三个成等差数列，和为48，后三个成等比数列，积为8000. 求此四个数7. 如 sn是公差不为0 的等差数列a n的前 n 项和，且s1, s2 , s4 成等比数列(1) 求数列s1 , s2 , s4 的公比；(2) 如 s24