穿根法解高次不等式

1、穿根法解高次不等式一.方法:先因式分解，再使用穿根法.注意:因式分解后，整理成每个因式中未知数的系数为正.使用方法： 在数轴上标出化简后各因式的根，使等号成立的根，标为实点,等号 不成立的根要标虚点. 自右向左自上而下穿线，遇偶次重根不穿透，遇奇次重根要穿透(叫 奇穿偶不穿). 数轴上方曲线对应区域使“ >”成立，下方曲线对应区域使“ V”成例1:解不等式23(x+4)(x+5)2(2-x)3v0x2-4x+13x2-7x+2解：原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0不等式解集为1 1x xv-3-或2- w x< 1 或 x>2.【例 2】解不等式：(1

2、)2x3-x2-15x >0; (2)(x+4)(x+5) 2(2-x) 3V 0.【分析】如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x) >0(或f(x) v 0)可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况.解：(1)原不等式可化为x(2x+5)(x-3)> 0扌巴方程x(2x+(“)=0的三个根莓=0, X)=-|,為二?顺次标上顺轴.然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(5 1)的阴影部分.:原不等式解集为x4<x<0x>3(2)原不等式等价于(x+4)(x+5) 2(x-2) 3 > 0Jx + 50-5

3、69; |(k +4)仗 - 2) >0 o4热2原不等式解集为 x|x v-5或-5 v xv -4或x >2.【说明】用.穿根法”.解不等式时应注意各一次项中X的系数必为正；.对于偶次或奇次重根可参照(2).的解法转化为不含重根的 不等式，也可直接用“穿根法”.,但注意.“奇穿偶不穿”.其法如图(5 2) 5-2数轴标根法”又称“数轴穿根法”第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。(注意：一定要保证x前的系数为正数)例如：将 乂人3-2乂人2咲+2>0 化为(x-2)(x-1)(x+1)>0第二步：将不等号换成等号解出所有根。例如：(x-2)(x

4、-1)(x+1)=0 的根为：x仁2，x2=1，x3=-1第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。例如：-1 1 2第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后 又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。第五步：观察不等号，如果不等号为“ >”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果 不等号为“ <”则取数轴下方，穿根线以内的范围。x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0 的根。在数轴上标根得：-1 1 2画穿根线：由右上方开始穿根。因为不等号为“ >”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。即：-1&l

5、t;x<1或x>2。运用序轴标根法解题时常见错误分析当高次不等式f (x)> 0(或VO)的左边整式、分式不等式$ (x)/h(x)>0 (或V0)的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积(x al) (x a2)(x-an)的形式，可把各因式的根标在数轴上，形成若干个区间，最右端的区间f (x)、$ (x)/h(x )的值必为正值，从右往左通常为正值、负值依次相间，这种解不等式的 方法称为序轴标根法。为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法”，如图1。运用序轴标根法解不等式

6、时，常犯以下的错误：1. 出现形如(a x)的一次因式时，匆忙地“穿针引线”。例1 解不等式 x(3x)(x+1)(x 2)>0。解x(3 x)(x+1)(x 2)> 0,将各根1、0、2、3依次标在数轴 上，由图1可得原不等式的解集为x|xV1或0 VxV2或x>3。事实上，只有将因式(a x)变为(x a)的形式后才能用序轴标根法，正确的解 法是：解原不等式变形为x(x 3)(x+l)(x 2)V 0,将各根1、0、2、3依次标在数轴上，由图1,原不等式的解集为x|1VxV 0或2<x<3o2. 出现重根时，机械地“穿针引线”例2 解不等式(x+1)(x 1)

7、2(x 4)3<0解 将三个根一1、1、4标在数轴上，由图2得，原不等式的解集为x|x< 1或1 <x<4。这种解法也是错误的，错在不加分析地、机械地“穿针引线”。出现几个相同的根时， 所画的浪线遇到“偶次”点(即偶数个相同根所对应的点)不能过数轴，仍在数轴的同侧折回，只有遇到“奇次”点(即奇数个相同根所对应的点)才能穿过数轴，正确的解法如下：解 将三个根1、1、4标在数轴上，如图3画出浪线图来穿过各根对应点，遇到x =1的点时浪线不穿过数轴，仍在数轴的同侧折回；遇到x = 4的点才穿过数轴，于是，可得到不等式的解集x|1<x< 4且 x13. 出现不能再分解的二次因式时，简单地放弃“穿针引线”例3 解不等式 x(x+1)(x 2)(x3 1)>0解原不等式变形为x(x+1)(x 2)(x 1)(x2 + x+1)> 0，有些同学同解变形到这里时认为不能用序轴标根法了，因为序轴标根法指明要分解成一次因式的积，事实上，根据这个二次因式的符号将其消去再运用序轴标根法即可。解原不等式等价于x(x+