第1讲变化率与导数、导数的计算

1、导数及其应用'知识回顾A yxo,即 f'(xo) =Aim0A=f (xo+A x) f (xo) limaxoA x1晶新老纲考向極测'L粹界我眩然的取廂TT幫.2.曲过审教門集f规理解辱勉的1何枪X-3-能根据寻址宦址求曲載7-唯为常脚7”!虚的乂戟-4.能脚用¥Trt5»的导tl&式粘导It的四朋握算蟲则求商单補啟的导tL能求简单的逗令腑数f佗限于解如附屮加的址舍臥垃、的寻靶命3/T用:刖-ili |刁丨；7的几何总辽術q科祈儿何叩酌n損疋 nr丹1赳型内沮邛粗应無尋也的®(l问.Kh#®.植心£L炖追型

2、.放学止*第1讲 变化率与导数、导数的计算理救时势实必备刘识*学生用书P39走逬教材一、知识梳理1. 导数的概念函数y= f(x)在x= xo处的导数一般地，称函数 y= f(x)在x= xo处的瞬时变化率f (xo+ Ax) f (xo)Ay . 一、,f'(xo)或 y'x =jjmoax=Am0Ax为函数y=f(x)在x=xo处的导数，记作(2) 导数的几何意义函数f(x)在点xo处的导数f (xo)的几何意义是在曲线y= f(x)上点P(xo, yo)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地，切线方程为y yo= f ' (xo)(x

3、 xo).函数f(x)的导函数称函数f (x)= Am ff x+A x) f (x)为f(x)的导函数.2. 基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)= c(c为常数)f (x) = 0f(x) = xn(n Q*)f'(x) = nxn 1f(x)= sin xf ' (x) = cos_xf(x)= cos xf ' (x) = sin xf(x) = ax(a>0 且1)f (x)= axln af(x) = exf ' (x) = exf(x)= logax1(x>0, a>0 且1)f (x)=砧f(x) = In x (x>

4、;0)1 f'(X)电3导数的运算法则f(x) ±(x) = F(x) ±(x).(2) f(x) g(x)(= f(x)g(x) + f(x)g(x).f (X), f' (x) g (x) f (x) g' (x)(3) =2(g(x)工 0).g (x)g (x) 24.复合函数的导数复合函数y= f(g(x)的导数和函数y = f(u), u = g(x)的导数间的关系为yx ' = yu_ux_,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.常用结论1. 奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.

5、2. af(x) + bg(x) '= af _(x) + bg (x).3. 函数y = f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小f '(x)|反映了变化的快慢，|f'(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.二、习题改编1. (选修2-2P65A组T2(1)改编)函数y= xcos x sin x的导数为()A . xsin xB. xs in xC. xcos xD. xcos x解析： 选 B. y ' = cos x+ x(cos x) ' (sin x) '= cos x xs

6、 in x cos x= xsin x.22. (选修2-2P18A组T6改编)曲线y= 1 二在点(1 , 1)处的切线方程为 .2解析：因为y '=2一-,所以y 'x= 1= 2.(x+ 2) 2故所求切线方程为 2x y+1= 0.答案：2x y+ 1 = 02 33. (选修2-2P7例2改编)有一机器人的运动方程为s=t2 + "(t是时间，s是位移)，则该机器人在t= 2时的瞬时速度为 .3 3解析：因为s= t2+ 3,所以s = 2t - 3所以 szt=|2= 4 3 =學.4 4答案：134走岀误区一、思考辨析判断正误(正确的打，错误的打“X”)

7、f'(xo)是函数y= f(x)在x= xo附近的平均变化率.()求f (xo)时，可先求f(xo)，再求f'(xo).()(3) 曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.()(4) 与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.()曲线y= f(x)在点P(xo, yo)处的切线与过点 P(xo, yo)的切线相同.()答案： X (2) X (3) V X (5) X二、易错纠偏常见、口 l |K (1)求导时不能掌握复合函数的求导法则致误；误区(2) 不会用方程法解导数求值.n1. 已知函数 f(x) = sin 2x + 3，贝y f (x) =.解析：f'(x)

8、= sin 2x+ 3 = cos 2x+ 3 -2x+3 / =cos 2x+-.n答案：2cos 2x+ 3nn2. 设函数 f(x)的导数为 f'(x),且 f(x)= f' 2 sin x+ cos x,则 f' 4 =.-n解析：因为f(x) = f ' 2 sin x+ cos x,所以 f (x) = f ' 2 cos x sin x,2 cos? sin?，即 f ' 2 = 1,所以 f(x)= sin x + cos x, f (x)= cos x sin x.故 f ' = cosn sinn= . 2.444考点

9、趣边考点-册心学生用书P40导数的计算（多维探究）角度一根据求导法则求函数的导数 I 求下列函数的导数:(1) y= (3X2 4x)(2x+ 1);x2x(2) y= sin 1 2cos 4 ;(3) y= 3xex 2x+ e;In x(4) y= x2 ；2x 1(5) y= lnk.【解】 因为y= (3x2 4x)(2x+ 1)=6x3 + 3x2 8x2 4x= 6x3 5x2 4x,所以 y = 18x2 10x 4.x x因为 y= sin COS12s in x,1所以 y = sin x1 , 1 2(sin x) = 2cos x.(3)y'= (3xex) (

10、2x)牛 e'=(3x) ex+ 3x(ex) (2x)'=3xexln 3 + 3xex 2xln 2=(In 3 + 1) (3e)x 2xln 2.1(In x) ( xIn (2x 1) In (2x+ 1) =(2x 1) (2x+ 1) =22 2x 12x+ 12x 1 2x+ 1 4x 1 + 1) In x (x2+ 1) ' x (/ + 1) 2xln x(4)y '=22=22(x2+ 1) 22 八2x2+ 1) 2x2+ 1 2x2| n xx (x2 + 1) 22x 1(5) y = In= In (2x 1) In (2x+ 1

11、)=2x+ 1角度二抽象函数的导数计算 1 :已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足关系式f(x) = x2 + 3xf+ In x，贝V f ( 2)=1【解析】因为 f(x)= x2+ 3xf + In x,所以 f (x) = 2x+ 3f'(2) + -,所以 f'(2) = 4 + 3f入199+ 2= 3f + 2,所以 f'(2)4.【答案】94£3田1IS导数的计算技巧(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使

12、用商的求导法则,减少运算量.(2)复合函数求导时,先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元.1.已知 f(x)= x(2 019+ In x)，若 f'(xo)= 2 020，则 xo=()A. e2B. 1C. In 2D. e解析：选 B.因为 f(x) = x(2 019+ In x),所以 f (x) = 2 019+ In x+ 1 = 2 020 + In x,又 f'(xo)= 2 020 ,所以 2 020 + In xo= 2 020,所以 xo= 1.2. (2020宜昌模拟)已知f (x)是函数f(x)的导数，f(x) = f (1) + x2,则f

13、 (2)=()12 8In 2A1 2In 22B.1 2In 24C1 2In 2D. 2解析：选 C.因为 f'(x) = f'(1) 2如 2 + 2x,所以 f (1) = f (1) 2In 2 + 2,解得 f'(1)=1 2In 2所以f '(x)=21 2In 22xIn 2 + 2x,所以 f (2)=21 2In 2X 22In 2 + 2X 2 =41 2In 2考点回导数的几何意义(多维探究)角度一求切线方程例匹】(1)(2019高考全国卷I)曲线y= 3(/+ x)ex在点(0, 0)处的切线方程为 .(2)已知函数f(x)= xln

14、x,若直线l过点(0, - 1),并且与曲线y= f(x)相切，则直线I的方 程为.【解析】 因为y = 3(2x+ 1)ex+ 3(x2 + x)ex= 3(x2+ 3x+ 1)ex,所以曲线在点(0, 0)处 的切线的斜率k= yx= 0= 3,所以所求的切线方程为y= 3x.(2)因为点(0, 1)不在曲线f(x)= xln x上，所以设切点为(x0, y0).又因为f'(x) = 1 + In x, 所以直线I的方程为y+ 1 = (1 + In X0)x.y0= X0ln X0,所以由解得X0= 1 , y0= 0.y0 + 1=( 1 + In X0)X0,所以直线I的方程

15、为y= x 1,即 x y 1 = 0.【答案】(1)y= 3x (2)x y 1 = 0角度二求切点坐标例區(2019高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy中，点A在曲线y= In x上，且该曲 线在点A处的切线经过点(一e, 1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是 .11【解析】 设A(X0, In X0),又y'= -，则曲线y= In x在点A处的切线方程为y In x°=XX0ae+ 1 = 2,a=e ,线方程为 y ae= (ae+ 1) (x 1),即 y= (ae+ 1)x 1,所以解得b= 1,b= 1.1(2)设直线x+ y+ 1 = 0与函数f(x)

16、 = In x ax的图象的切点为 P(xo, yo)，因为f (x) = J a,xo+ yo+ 1 = 0xo= 1f(x)的导函数y= f' (x)的图象如图所示，则函数y = f(x)的图象可能是(2)已知y= f(x)是可导函数，如图，直线 y= kx + 2是曲线y= f(x)在x= 3处的切线，令g(x)= xf(x), g' (x)是 g(x)的导函数，贝Ug =.【解析】(1)不妨设导函数y= f'(x)的零点依次为 X1, X2, X3,其中 X1<0<x2<X3,由导函数的图象可知，y= f(x)在(一8, X1)上为减函数，在(

17、X1, X2)上为增函数，在(X2, X3)上为减函 数，在(X3, + 8)上为增函数，从而排除A , C.y= f(x)在x= X1, x= X3处取到极小值，在x = X2处取到极大值，又X2>0,排除B,故选D.1 1由题图可知曲线y= f(x)在x= 3处切线的斜率等于一3，所以f (3) = 3.因为 g(x)= xf(x),所以 g'(x)= f(x) + xf '(x),所以g=f(3) + 3f,又由题图可知f(3) = 1,1所以 g (3) = 1 + 3 X 3 = 0.【答案】(1)D(2)0导数几何意义的应用类型及求解思路(1)已知切点A(xo

18、，f(xo)求斜率k,即求该点处的导数值：k= f'(xo).yi = f (x1),若求过点P(xo, yo)的切线方程，可设切点为(X1,y”,由，求yo y1 = f (X1)( xo X1)解即可.(3) 已知斜率k,求切点A(X1, f(x”),即解方程f'(X1)= k.(4) 函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢.1 .曲线y= eX 1 + x的一条切线经过坐标原点，则该切线方程为 .解析：设切点坐标为(Xo, exo1 + Xo),因为y= ex1 + 1,所以切线的斜率 k= e

19、 xo 1 + 1, 故切线方程为y exo 1 xo= (exo 1 + 1)(x xo).因为切线过原点，所以0 exo 1 xo= (exo1 + 1)(o xo),解得 xo= 1,将 xo= 1 代入 y exo 1 xo= (eXo1+ 1)(x xo),可得切线方程为 y =2x,故答案为y= 2x.答案：y= 2x2.设曲线 y= 1 + C" X在点n，1处的切线与直线x ay+ 1 = o平行，则实数 a =sin x21 COS Xn解析：因为y=s-，所以y'x=n=1由条件知a= 1,所以a= 1.答案：1学生用书P269(单独成册)基础题组练1 .

20、函数 f(x)= (x+ 2a)(x a)2 的导数为()A . 2(x2 a2)B. 2(x2 + a2)C. 3(x2 a2)D. 3(x2 + a2)解析：选 C.f'(x)= (x a)2+(x+ 2a) (2x 2a)= (x a) ( a+ 2x+ 4a) = 3(x2 a2).12ln x2.(2020安徽江南十校检测)曲线f(x)=在点P(1 ,(1)处的切线I的方程为()xA . x+ y 2= 0B. 2x+ y 3= 0C. 3x+ y+ 2 = 0D. 3x+ y 4= 01 2ln x 3 + 2|n x解析：选 D.因为 f(x) =x，所以 f'(

21、x)=7，所以 f(1) = 3，又 f(1) = 1，所以所求切线方程为y 1 = 3(x 1),即3x+ y 4 = 0.3. (2020安徽宣城八校联考)若曲线y = aln x + x2(a>0)的切线的倾斜角的取值范围是n3,n，则 a=(C.4a解析：选B.因为y= aln x+ x2(a>0),所以y'= - + 2x>2 2a,因为曲线的切线的倾斜角x的取值范围是n 2，所以斜率因此£= 2/2,所以a= 8故选B.4. 如图所示为函数y= f(x), y= g(x)的导函数的图象，那么 y= f(x) , y= g(x)的图象可能是()解析

22、：选D.由y= f'(x)的图象知y= f'(x)在(0, +)上单调递减，说明函数y = f(x)的切线的斜率在(0,)上也单调递减，故排除A、C.又由图象知y= f'(x)与y= g (x)的图象在x=xo处相交，说明y= f(x)与 y= g(x)的图象在x= xo处的切线的斜率相同，故排除B.5. (2020 东佛山教学质量检测(一)若曲线y= ex在x= 0处的切线也是曲线 y= In x+ b 的切线，贝U b =()A . - 1B . 1C. 2D. e解析：选C.y=ex的导数为y'=ex,贝恤线y=ex在x= 0处的切线斜率k=1,贝恤线y1

23、=ex在x= 0处的切线方程为 y 1 = x,即y= x+ 1.y= In x+ b的导数为y'= -，设切点为(m,x1n),则m= 1,解得m = 1,贝U n = 2,即有2 = In 1 + b,解得b= 2.故选C.6. 设函数f(x)在(0,+s )内可导，其导函数为f'(x)，且f(ln x)= x + In x,则f (1) =.解析：因为 f(ln x)= x+ ln x,所以 f(x)= x+ e,所以 f(x) = 1 + ex,所以 f(1) = 1 + e1= 1 + e.答案：1 + e1 ln x7. (2020江西重点中学 4月联考)已知曲线y

24、 = ：+：T在x= 1处的切线I与直线2x+ 3yx a=0垂直，则实数a的值为.111解析：y'= "2+ ,当x= 1时，y'= + -.由于切线I与直线2x+ 3y= 0垂直，所以xaxa1 2 21 + a ° - 3 =- 1,解得 a = 5.答案：25&若过点 A(a, 0)作曲线C: y = xex的切线有且仅有两条，则实数 a的取值范围是解析：设切点坐标为(X。，x°ex0),y'=x+ 1)ex,y'|x= x0=(x°+1)ex°,所以切线方程为yx°ex0=(X0+ 1

25、)ex0(x X0),将点 A(a, 0)代入可得一 x°ex°=(X0+ 1)ex°(a X0),化简，得 x0 ax。一 a= 0,过点A(a, 0)作曲线C的切线有且仅有两条，即方程x2 ax0 a= 0有两个不同 的解，则有= a2+ 4a> 0,解得a>0或av 4,故实数a的取值范围是(® 4)U (0,+ ).答案：(一a, 4) U (0,+ )9. 已知函数 f(x) = x3 + (1 a)x2 a(a+ 2)x+ b(a, b R).若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为一3，求a, b的值；(2)若曲线y=

26、 f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围.解：f'(x) = 3x2+ 2(1 a)x a(a+ 2).f (0)= b= 0,(1)由题意得 f' 0)= a (a+ 2)= 3,解得 b= 0, a= 3 或 a= 1.因为曲线y= f(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f'(x)= 3x2+ 2(1 a)x a(a+ 2) = 0有两个不相等的实数根，所以= 4(1 a)2+ 12a(a + 2)>0,即 4a2 + 4a + 1>0 ,1所以a夕1 1所以a的取值范围为一R, 2 U 2，.10. 已知函数 f(x)= x3 +

27、 x 16.(1)求曲线y= f(x)在点(2, 6)处的切线的方程；直线I为曲线y= f(x)的切线，且经过原点，求直线I的方程及切点坐标；一 1 一如果曲线y= f(x)的某一切线与直线 y= qx+ 3垂直，求切点坐标与切线的方程.解：(1)可判定点(2, 6)在曲线y= f(x)上.因为 f'(x) = (x3 + x 16) = 3/+ 1.所以f(x)在点(2, 6)处的切线的斜率为k= f'(2) = 13.所以切线的方程为 y= 13(x 2) + ( 6),即 y = 13x 32.设切点为(X0, y0),则直线I的斜率为f'(x0)= 3x2 +

28、1,所以直线I的方程为y= (3x0 + 1)(x X0) + x0+ X0 16,又因为直线I过点(0, 0),所以 0= (3x2 + 1)( xo) + x0 + xo 16,整理得，x0=- 8,所以xo=- 2,所以 yo= ( 2)3+ ( 2)- 16= 26,k= 3X ( 2)2 + 1= 13.所以直线I的方程为y= 13x,切点坐标为(一2, 26).一 1 一因为切线与直线y= 4x+ 3垂直，所以切线的斜率k= 4.设切点的坐标为(xo, yo),则 f'(xo)= 3x2 + 1 = 4,所以xo= ±1.xo= 1,xo= 1,所以或yo= 14

29、yo= 18,即切点坐标为(1, 14)或(一1, 18),切线方程为 y= 4(x 1) 14 或 y= 4(x+ 1) 18.即 y = 4x 18 或 y= 4x 14.综合题组练1 .在等比数列an中，a1= 2,a8= 4，函数 f(x) = x(x a1) (x a2)(xa8),贝Uf'(o)=( )B. 29A. 26C. 212D. 215解析：选 C因为 f'(x) = x'(x a1)(x a2)(x a8) + (x a1)(x a2)(x a8)'x= (x a1)(x a2)(x a8) + (x a"(x a2) (x a

30、8)，x,所以 f' (=(o a1)(o a2)(o a8) + o= a1a2 a8.因为数列an为等比数列，所以a2a7 = a3a6 = a4a5= a1a8= 8,所以f' (=84= 212.故选C.2. (2o2o湖北武汉4月调研)设曲线C: y= 3x4 2x3 9x2+ 4，在曲线C上一点M(1 ,4)处的切线记为I，则切线I与曲线C的公共点个数为()A . 1B. 2C. 3D. 4解析：选 C.y，12x3 6x2 18x,贝U y'x|= 12X 13 6X 12 18 x 1 = 12,所以曲线y= 3x4 2x3 9x2+ 4在点M(1 ,

31、4)处的切线方程为y+ 4 = 12(x 1),即12x + y 8= 0,x = 1 ,12x+ y 8= 0.联立解得或y = 3x4 2x3 9x2 + 4,y = 4x = 2,或y = 32x= 3,y= 0.2故切线与曲线C还有其他的公共点(一2, 32),3，0，所以切线I与曲线C的公共点个数为3.故选C.In x, 0<x<1 ,3. (2020安徽淮南二模)设直线li, I2分别是函数f(x)=图象上点Pi,In x, x>1P2处的切线.li与l2垂直相交于点P,且li, l2分别与y轴相交于点 A, B，则A, B两点之 间的距离是()A . 1B. 2

32、C. 3D. 4解析：选 B.设 P1(X1, f(X1) , P2(X2, f(X2),11当 0<x<1 时，f'(x)= 一，当 x>1 时，f'(x)= 一, xx不妨设 X1 (0, 1), x2 (1 , +8),1故 l1: y= (x X1) ln X1,整理得X11l1： y= X1X ln X1+1,1l2： y= (x X2)+ ln X2,1整理得 l2： y=x+ ln X2 1,所以 A(0, 1 ln X1), B(0, ln X2 1),则 RB|= |2 ln(x1X2)|,1 1因为|1丄12 ,所以一X1X2= 1,所以X

33、1X2= 1,所以|AB|= 2.故选B.4.已知曲线y= x3 + x 2在点P0处的切线l1平行于直线4x y 1 = 0,且点P0在第三象限，则P0的坐标为 ;若直线I丄11,且I也过切点P0,则直线I的方程为 .解析：由 y= x3 + x 2,得 y'= 3x2 + 1,由已知得3x2 + 1 = 4,解得x=±.当 x = 1 时，y= 0;当 x= 1 时，y= 4.又因为点Po在第三象限，所以切点Po的坐标为（一1, 4）.因为直线I丄li, |1的斜率为4,1所以直线I的斜率为一T.4因为I过切点Po,点Po的坐标为（一1, 4）,1所以直线I的方程为y+ 4= 4（x+1）,即 x + 4y+ 17= 0.答案：（1, 4） x+ 4y+ 17 = 095. 设有抛物线 C: y= x2+ 2x 4,过原点O作C的切线y= kx,使切点P在第一象限.（1）求k的值；（2）过点P作切线的垂线，