高等数学：2-5 函数的微分

1、1微分的定义微分的定义微分的几何意义微分的几何意义微分公式与运算法则微分公式与运算法则小结小结 作业作业第五节第五节 函数的微分函数的微分第二章第二章 导数与微分导数与微分微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用2导数导数微分微分导数与微分导数与微分表示函数在一点处由自变量所引起表示函数在一点处由自变量所引起的函数变化的快慢程度的函数变化的快慢程度.是函数在一点处由于自变量微小变化是函数在一点处由于自变量微小变化所引起的改变量的近似值所引起的改变量的近似值.有着密切的联系有着密切的联系.3正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.20 xA 0 x0 x,00 xx

2、x 变到变到设边长由设边长由,20 xA 正方形面积正方形面积2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;的主要部分的主要部分且为且为 A x )1()2(x x 2)( x 1.问题的引出问题的引出实例实例x 线性函数线性函数(linear function)xx 0 xx 0一、微分的定义一、微分的定义的线性的线性(一次一次)函数函数,x 当当,的次要部分的次要部分且为且为 A 很小时可忽略很小时可忽略.2,0 xxAx 很小时很小时当当的高阶无穷小的高阶无穷小,4再如再如,03时时处的改变量为处的改变量为在点在点设函数设函数xxxy 3030)(xxxy .)()(3332

3、020 xxxxx )1()2(,很小时很小时当当 x y ),()2(xox 的高阶无穷小的高阶无穷小是是既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值. y 求函数的改变量求函数的改变量.320 xx 5定义定义,)(在某区间内有定义在某区间内有定义设函数设函数xfy 2. 微分的定义微分的定义,00在这区间内在这区间内及及xxx )()(00 xfxxfy如果如果),(无关的常数无关的常数是与是与其中其中成立成立xA 0)(xxfy在点在点 则称函数则称函数xA 0dxxy 相相应应于于自自变变量量在在点点0)(xxfy .d0 xAyxx 即即可微可微(differentiabl

4、e),A为微分系数为微分系数),(d0 xf或或记作记作微分微分(differential),并称并称为函数为函数的的增量增量 x ()Axox 6由定义知由定义知: :;)1(的的线线性性函函数数是是自自变变量量的的增增量量 xdy ;)()2(高阶无穷小高阶无穷小是比是比 xxodyy ;,0)3(是等价无穷小是等价无穷小与与时时当当ydyA dyy xAxo )(1).0(1x;)(,)4(0有有关关和和但但与与无无关关的的常常数数是是与与xxfxA ).(,)5(线线性性主主部部很很小小时时当当dyyx ( (微分的实质微分的实质) )7可微可微在点在点函数函数0)(xxf定理定理证证

5、 (1) 必要性必要性,)(0可微可微在点在点xxf),( xoxAy .A ,)(0可可导导在在点点即即函函数数xxf3. 可微的充分必要条件可微的充分必要条件)(xf函函数数.)(d0 xxfy 即有即有).(0 xfA 且且,0处可导处可导在点在点x),(0 xfA 且且 满足什么条件的函数是可微的呢？满足什么条件的函数是可微的呢？ 微分的系数微分的系数A如何确定呢如何确定呢? 微分与导数有何关系呢微分与导数有何关系呢?下面的定理回答了这些问题下面的定理回答了这些问题. xyxxoA )(0lim x 0lim x8(2) 充分性充分性),()(0 xxxfy ,)(0 xfxy即即,)

6、(0可可导导在在点点函函数数xxf),(lim00 xfxyx ),()(0 xoxxf ,)(0可可微微在在点点函函数数xxf.可微可微可导可导.)(d0 xxfy 从而从而.)(0Axf 且且其微分一定是其微分一定是可微可微在点在点函数函数0)(xxf定理定理)(xf函函数数即有即有,0处可导处可导在点在点x),(0 xfA 且且.)(d0 xxfy (0,0)x 9有关有关和和与与xx xx 的的增增量量通通常常把把自自变变量量)2(xxfyd)(d )(ddxfxy 导数称为微商导数称为微商),(ddxfy或或 称为函数称为函数的微分的微分, 记作记作.)(dxxfy 即即称为自变量的

7、称为自变量的微分微分,记作记作,dx.dxx 即即注注,)()1(的微分的微分在任意点在任意点函数函数xxfy 10例例解解,d)2(,d)1(,23 xyyxy求求23xy 02. 02d)3( xxy .24. 0 02. 02202. 023d)3( xxxxxxy 3(1) d()yxdx23x dx222(2) d3xxyxdx12dxdxx23 dx12 11几何意义几何意义y 当当,很小时很小时当当 x ( (如图如图) )ydxxfyd)(d0 二、微分的几何意义二、微分的几何意义P107对应的增量对应的增量,.MNMP可近似代替曲线段可近似代替曲线段切线段切线段增量时增量时;

8、是曲线的纵坐标是曲线的纵坐标,的附近的附近在点在点M就是就是切线切线纵坐标纵坐标x tanPQ yd xyO)(xfy T0 xM xx 0N PQy yd)( xo x 12xxfyd)(d 求法求法1. 基本微分公式基本微分公式(P105)xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxCdcotcsc)(cscddtansec)(secddcsc)(cotddsec)(tanddsin)(cosddcos)(sindd)(d0)(d221 三、微分公式与运算法则三、微分公式与运算法则计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.13xxxxxxxxxxxxxxxxaxx

9、xeexaaaaxxxxd11)cotarc(dd11)(arctandd11)(arccosdd11)(arcsindd1)(lnddln1)(logdd)(ddln)(d2222 2. 运算法则运算法则2ddddd)(ddd)(dvvuuvvuvuuvuvvuvu ),),(),(Rxvvxuu 14例例解解.d),ln(2yexyx求求设设 ,2122xxexxey .d21d22xexxeyxx 例例解解.d,cos31yxeyx求求设设 )(dcosd31xexy,3)(3131xxee xxexexyxxd)sin(d)3(cosd3131 .d)sincos3(31xxxex .

10、sin)(cosxx )(cosd31xex vuuvuvdd)(d 15;d)(d,)1(xxfyx 是自变量时是自变量时若若的可微的可微即另一变量即另一变量是中间变量时是中间变量时若若tx,)2(),()(xfxfy 有导数有导数设函数设函数 ydxd.d)(dxxfy 结论结论)(xfy 微分形式的不变性微分形式的不变性xxfyd)(d 3. 复合函数的微分法复合函数的微分法此结论用于求复合此结论用于求复合函数的导数函数的导数,有时有时能简化运算能简化运算.无论无论x 是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量, 函数函数的微分形式总是的微分形式总是则则函数函数),(tx )(xf )(t

11、 td16例例.d,2yeybxax求求设设 解解 法一法一 用复合函数求导公式用复合函数求导公式 xeybxaxd)(d22bxaxe 法二法二 用微分形式不变性用微分形式不变性,uey ueyud)(d ueud2bxaxe 2bxaxe .2bxaxu 在计算中也可以不写中间变量在计算中也可以不写中间变量,直接利用直接利用微分形式不变性微分形式不变性.d)(2bxax xbxad)2( xbxad)2( 17例例)2arctan(dxx例例解解.d,lnyxy求求设设 )(lndx xxxdln1 x1ln d)(ln xx2arctan )2(arctandx xxd2arctan)2

12、(d)2(112xxx xxxxd)2(122arctan2 xd x18例例解解在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立使等式成立.dd()cost t dd(sin)cos,tt t ttdcos .dcos)sin1(dttCt );sin1(dt )(sind1t 19例例解解.d122yxyyx求求设设 yx d20)(d22 xyyx.d22d22xxyxyxyy xxyd2 xy d2yxyd20 20四、函数的局部线性化四、函数的局部线性化000()()()( ).xyf xfxxxyf x 很很小小时时，可可用用切切线线段段近近似似

13、代代替替曲曲线线段段由几何意义，由几何意义，.)()()(00 xxfxfxf 即用线性函数近似代替非线性函数即用线性函数近似代替非线性函数21;)(. 10附近的近似值附近的近似值在点在点求求xxxf )()(00 xfxxfy .)(0 xxf .)()()(000 xxfxfxxf )(很小时很小时x 220360cos0 故故例例.0360cos0的的近近似似值值计计算算 解解,cos)(xxf 设设)( ,sin)(为为弧弧度度xxxf ,30 x令令.,)()(00要很小要很小要容易算要容易算与与xxfxf 360 x)3603cos( xxfxfxxf )()()(0003603

14、sin3cos 3602321 .4924. 0 )3603cos(0360cos0 36030)(cos xxxx 30cos xx23常用的几个一次近似式常用的几个一次近似式)|(|很小时很小时x20.( )f xx 求求在在点点附附近近的的近近似似值值.)0()0()(xffxf ,)()()(000 xxfxfxxf , 00 x令令. xx );(sin)2(为弧度为弧度xxx );(tan)3(为弧度为弧度xxx ;1)4(xex .)1ln()5(xx 1(1) 11;nxxn24常用近似公式常用近似公式)(很小时很小时x.)1ln()5(;1)4();(tan)3();(sin

15、)2(;111)1(xxxexxxxxxxnxxn 为弧度为弧度为弧度为弧度证明证明,1)()1(nxxf 设设只证只证,)1(1)(11 nxnxf.1)0(, 1)0(nff xffxf)0()0()( .1nx 25例例.计计算算下下列列各各数数的的近近似似值值解解.)2(;5 .998)1(03. 03 e35 .99830015. 0110 )0015. 0311(10 .995. 9 03. 0 e.97. 0 xex 103. 01 (1)35 . 11000 (2)(很小时很小时x)10005 . 11(1000 31(1) 11;nxxn26五、高阶微分五、高阶微分( ):(

16、 )yf xdyfx dx2()( )( )( )( )()d dyd fx dxd fxdxfx dx dxdxfxxdx 与 无关2222()()(d yfx dd dydxxydxd二阶微分: 记作记作1( )nnnnd yd dyfdxn阶微分: ( )nnnd yfdx高阶微分高阶微分27高阶微分没有微分形式不变性( )( )( ),( )yf uuxdyf u dudux dx 22( )( )( ) ()( )( )d yd f u dud f uduf u d duffu duf u d uudux 都跟 有关20d u一般：22( )d yfu du28六、微分的实际意义六、

17、微分的实际意义时间的微分时间的微分速度速度路程的微分路程的微分 dttvds)()1()()2(2dxxdxrdV厚度厚度的微分的微分高度高度截面积截面积体积的微分体积的微分 时间的微分时间的微分功率功率功的微分功的微分 dttpdW)()3(29面积的微分面积的微分dxxfdS)()4( 弧长的微分弧长的微分22)()()5(dydxds 22( )( )( )( )( )xx tdsv tx ty tyy tdt20222()()dtdsdxdydsdxdydtdtdt或30微分概念微分概念 微分的基本思想微分的基本思想微分的几何意义微分的几何意义微分公式与运算法则微分公式与运算法则六、小结六、小结导数与微分的关系导数与微分的关系可微可微可导