第二章连续时间系统时域分析

1、第第二二章章 连续时间系统连续时间系统的的时域分析时域分析2.1 2.1 引言引言2.2 2.2 微分方程的建立与算子表示法微分方程的建立与算子表示法2.7 2.7 卷积卷积2.8 2.8 卷积的性质卷积的性质2.3 2.3 用时域经典法求解微分方程用时域经典法求解微分方程 ( )( )( )hpr tr tr t2.4 2.4 起始点的跳变起始点的跳变 从从 0 0- - 到到 0 0+ + 状态的转换状态的转换2.5 2.5 零输入响应与零状态响应零输入响应与零状态响应( )( )( )zizsr tr trt2.6 2.6 单位冲激响应单位冲激响应 的求解的求解( )h t 线性时不变线

2、性时不变连续时间系统的激励连续时间系统的激励e e( (t t) )与响应与响应r r( (t t) )之间的关系，之间的关系，可用以下可用以下线性常系数线性常系数微分方程描述。微分方程描述。系统分析的任务就是求解这个系统分析的任务就是求解这个n n 阶非齐次线性常微分方程。阶非齐次线性常微分方程。10111( )( )( )( )nnnnnnd r tdr tdr tCCCC r tdtdtdt10111( )( )( )( )mmmmmmd e tde tde tEEEE e tdtdtdt2.1 2.1 引言引言微分方程求解微分方程求解时域分析法时域分析法变换域法变换域法（LT法）法）全

3、响应全响应= = 零输入响应零输入响应+ +零状态响应零状态响应（卷积积分法）（卷积积分法）全响应全响应= = 齐次解齐次解 + + 特解特解 （自由响应）（强迫响应）（自由响应）（强迫响应）1. 1. R、L、C 元件端口电压与流经电流的约束关系元件端口电压与流经电流的约束关系)()(tRitvRRRtvtiRR)()(dttdiLtvLL)()(tLLdvLti)(1)(dttdvCtiCC)()(tCCdiCtv)(1)(（一）微分方程的建立（一）微分方程的建立2.2 2.2 微分方程的建立与算子表示法微分方程的建立与算子表示法2. 2. 电路的电流、电压约束关系（电路的电流、电压约束关

4、系（KVL、KCL）)(tiRR)(tvR)(tiC)(tvCCL)(tvL)(tiL( )i t11F1H11( )i t例：例：右图所示电路，激励为电流右图所示电路，激励为电流 ， 响应取响应取 ，列写微分方程。，列写微分方程。( )i t1( )i t2( )i t解：解：12( )( )( )i ti ti t1221( )( )( )( )tdi ti tidi tdt 21112( )( )( )2( )( )d i tdi tdi ti ti tdtdtdt消去中间变量消去中间变量 ，得，得221( ) ()i tii i 方程阶数等于电路阶数（方程阶数等于电路阶数（独立独立储能

5、元件的个数）。储能元件的个数）。)(4)(5)(3)(2)(22tetedtdtrtrdtdtrdtd 22( )2( )3 ( )( )( )5( )4 ( )ddq tq tq te tdtdtdr tq tq tdt（二）微分方程的算子表示法（二）微分方程的算子表示法（参考（参考P78P782.102.10节）节）微分算子微分算子dpdt积分算子积分算子1( )tdp11010111( )( )( )( )( )( )nnmmnmnnmmd r tdr td e tde tCCC r tEEE e tdtdtdtdt1101101( )( )nnmmnnmC pC pCpCr tE pE

6、 pEe t( ) ( )( ) ( )D p r tN p e t( )( )( )( )N pr te tD p( ) ( )H p e t( )( )( )N pH pD p称为系统的传输算子称为系统的传输算子传输算子是系统数学传输算子是系统数学模型的另一种形式。模型的另一种形式。21112( )( )( )2( )( )d i tdi tdi ti ti tdtdtdt21(21) ( )(1) ( )ppi tpi t例例1：121( )( )21pi ti tpp21( )21pH ppp11p)(4)(5)(3)(2)(22tetedtdtrtrdtdtrdtd22( )2( )

7、3 ( )( )( )5( )4 ( )ddq tq tq te tdtdtdr tq tq tdt例例2：( )(54) ( )r tpq t21( )( )23q te tpp254( )( )23pr te tpp1. 1. 算子符号的运算规则算子符号的运算规则（1 1） 算子多项式可进行因式分解或由因式相乘展开。算子多项式可进行因式分解或由因式相乘展开。256( )23( )ppf tppf t例：例：（2 2） 等式两端的公共因子不能随意消去。等式两端的公共因子不能随意消去。例：例：12( )( )pftpft12( )( )f tf t不等价于不等价于11( )( )pf tpf

8、tpp（3 3）1( )pf tp( )tdfddt( )f t1( )pf tp( )tdfdd( )()f tf1( )( )pf tf tp2. 2. 借助算子符号建立微分方程借助算子符号建立微分方程( )( )LLdi tv tLdt1( )( )tCCvtidCLp( )Li t( )Cit1Cp( )Rvt ( )RitR广义阻抗广义阻抗( )i t11F1H11( )i t例例1 1：1( )( )i ti t111( )( )11 1pi ti tpp 1pp21( )21pi tpppp例例2 2：P83P83习题习题2-12-1（a a）( )( )oe tv te(t)+

9、vo(t)1HR12L1R21C1FL22H+-i2(t)i1(t)1pp2 p0)() 12()()()()() 12(221212tipptitpetitipp121211(2) ( )( )( )11( )(21) ( )0pi tite tppi tpitpp232( )( )(2553)pi te tpppp321( )2553e tppp多余的公共多余的公共因子可消去因子可消去2322( )2( )( )2553opv tpi te tppp)(2)(3)(5)(5)(22233tedtdtvtvdtdtvdtdtvdtdoooo总结：总结：（1 1）引入算子符号后，）引入算子符号

10、后，RLC 电路可借助纯电阻电路的分析方法；电路可借助纯电阻电路的分析方法；（2 2）是否可消去公共因子的原则：）是否可消去公共因子的原则：微分方程的阶数应等于电路微分方程的阶数应等于电路 阶数（独立储能元件的个数）。阶数（独立储能元件的个数）。1、齐次解：齐次解：写特征方程写特征方程求出特征根求出特征根写出齐次解的形式。写出齐次解的形式。经典法求解微分方程步骤：经典法求解微分方程步骤：特征根特征根对应的齐次解部分项对应的齐次解部分项teA12()tAtA e单根单根二重根二重根激励函数激励函数e(t)特解特解)(常数E)(常常数数B12BtBt etB e（ 不是系统的特征根）不是系统的特征

11、根）t e12()etBtB（ 是系统的特征根（非重根）是系统的特征根（非重根）t( )pr t3、完全解完全解=齐次解齐次解+特解，由特解，由初始条件初始条件定出齐次解系数。定出齐次解系数。2、特特 解：解：根据自由项的形式，写含待定系数的特解表达根据自由项的形式，写含待定系数的特解表达 式式代入原方程，比较系数定出特解。代入原方程，比较系数定出特解。（1）求齐次解）求齐次解( )hr t 特征方程特征方程02321122 特征根特征根、 齐次解齐次解 ttheAeAtr221)(（2）求特解）求特解( )pr t3( )te te根据根据 ，设，设tpBetr3)(tttteBeBeBe3

12、3332993( )0.5tpr te2.3 2.3 用时域经典法求解微分方程用时域经典法求解微分方程 ( )( )( )hpr tr tr t，求完全响应。，求完全响应。)(4)()(2)(3)(22tetedtdtrtrdtdtrdtd(0)1, (0)3rr3( ),0te tet，例：例：系统微分方程、系统微分方程、 激励信号及初始条件如下：激励信号及初始条件如下：2312( )( )( )0.5ttthpr tr tr tAeA ee完全解完全解（3）由初始条件确定待定系数）由初始条件确定待定系数1212(0)0.51(0)21.53rAArAA 125.55AA 235.550.5

13、,0ttteeet 微分方程的齐次解称为系统的自由响应，它由系统本身的特性 决定； 特解称为系统的强迫响应，特解的形式由激励函数决定。 系统的完全响应 = =自由响应 + +强迫响应 ；( )r t( )hr t( )pr t特征方程的根特征方程的根称为系统的称为系统的固有频率固有频率，它决定了系统，它决定了系统自由响应自由响应的的全部形式；全部形式；1、建立电路微分方程的两个依据是？、建立电路微分方程的两个依据是？2、如何理解微分方程作为实际系统的抽象性、如何理解微分方程作为实际系统的抽象性3、解释如下概念：、解释如下概念：微分方程的齐次方程、其次解、特征方程、微分方程的齐次方程、其次解、特

14、征方程、 特征根、自由项、自特征根、自由项、自由响应、强迫响应、系统固有频率、初始条件由响应、强迫响应、系统固有频率、初始条件4、电路系统的内部元件储能对输出相应的影响体现在微分方程求、电路系统的内部元件储能对输出相应的影响体现在微分方程求解的哪个环节上？解的哪个环节上？5、使用微分方程时域求解、使用微分方程时域求解84页习题页习题2-72.4 起始点的跳变起始点的跳变从从 0- 到到 0+ 状态的转换状态的转换 系统状态系统状态( ) ( )( ) ( )D p r tN p e t阶系统阶系统 ， n0t 在在 时刻的状态时刻的状态(1)(0)(0),(0)nrrr( )e t0t 若若

15、从从 时刻开始作用，时刻开始作用，则系统状态可能会发生跃变。则系统状态可能会发生跃变。(1)(0 )(0 ),(0 )nrrr0- 状态：状态：0+ 状态：状态：(1)(0 )(0 ),(0 )nrrr0- 状态状态( )e t0+ 状态状态( )( )( )hpr tr tr t确定确定 的待定系的待定系数，需要用数，需要用0+ 状态状态。（一）（一） 实际电路实际电路条件：没有冲激电流（或阶跃电压）强迫作用于C； 没有冲激电压（或阶跃电流）强迫作用于L。(0 )(0 )(0 )(0 )CCLLvvii+-+-RC( )e t( )RvtP54P54例例2-62-6： , , , 求求 。(

16、0 )0Cv( )( )e tu t( )Rvt1( )( )( )RRddvtvte tdtRCdt( )tRCRvtAe(0 )(0 )0CCvv(0 )(0 )(0 )RCvev1,0tRCet例：例：如右图所示电路，如右图所示电路，t0两方面的效果考虑）2、一个N阶系统的初始状态，是要确定哪N个值？3、系统总的输出可以分解成哪两个成分？请列出3种不同的分解方式4、零输入响应和自由响应的区别是什么？ 5、一般的，LTI系统的单位冲激响应表达式是什么函数形式？请解释原因6、LTI系统单位冲激响应和单位阶跃响应的关系是什么？请解释原因。7、从卷积运算的步骤来分析，变量t在卷积过程中的几何意义是什么？8、从LTI系统的零状态响应和系统的因果性两方面来解释单位冲激响应如何在时域描述系统的