chapter3_3现代数字信号处理北邮

1、3.3 LMS格型自适应滤波器格型自适应滤波器n本节讨论的主要内容及方法本节讨论的主要内容及方法n预测误差滤波器预测误差滤波器n预测误差格型滤波器预测误差格型滤波器nLMS格型自适应滤波器格型自适应滤波器1、本节讨论的主要内容及方法n讨论的主要内容：讨论的主要内容：前、后向横向预测误差滤波器、预测误差格型滤波器和LMS格型自适应滤波器n主要方法：主要方法：基于前、后向横向预测误差滤波器，导出预测误差格型滤波器2、 线性预测误差滤波器线性预测误差滤波器n 前向预测误差为 ,10( )( )( )( )()()ppp kp kkke nx nx nx nax nkax nk 将前向预测误差用 表示

2、，上式重写为 )(nefppkkpfpknxanxne1,)()()(前向预测误差滤波器 z1ap,0z1z1ap,1ap,2ap, p1ap, px(n)(nefp111,1( )( )()pfppkkenx nax nk,10( )( )1( )fpppkkfp kp kkkEzHzazazX z pkkpfpknxanxne1,)()()(pixxipxxppixxipxxirarpkikrakr1,21,)()0(, 3 , 2 , 10)()(将上式用矩阵方程表示为 2,1,(0)(1)( )1(1)(0)(1)00( )(1)(0)xxxxxxppxxxxxxp pxxxxxxrr

3、rparrrparprpr其Yule-Walker方程式为：n 假设前、后向预测器具有相同的系数，则后向预测误差为,000( )()()1ppbpp kp p kpkkenax npkax nka,1( )()()()()pp kkb nx npx npx npax npk 后向预测误差用 表示，上式可写为：)(nebp后向预测误差滤波器 111,1(1)()()pbppkkenx npax npkz1ap,0z1z1ap,1ap,p1ap,px(n)(nebpap,p2()x np(1)x npkkkppbpbzazzXzEzH1,1)()()(,1( )()()pbpp kkenx npa

4、x npkn 前、 后向预测误差滤波器的系数函数之间的关系是 )()(1zHzzHfpb 为了求解前、后向预测误差滤波器的最佳系数，需要解Yule-Walker方程，求解方法采用Levinson-Durbin算法。 Levinson-Durbin的一般递推公式如下： )()0()1 (1, 3 , 2 , 1 )()(2202122, 1, 1,21111nxErkpkakaaakkpraprkxxpppkpppkpkppppppkxxpxxp 其中，kp称为反射系数。2p和2p-1是预测误差的均方值，因此1-k2p必须大于等于0，这样kp应要求满足下式： 1|pk由上式可知，预测误差随递推次

5、数增加而减少。212pp3、预测误差格型滤波器预测误差格型滤波器n 由预测误差滤波器导出格型滤波器由预测误差滤波器导出格型滤波器 将前面已推导的前向预测误差公式重写如下: pkkpfpknxanxne1,)()()( 将系数ap,k(k=1,2,3,p)的递推公式代入上式，并令kp=ap,p，得到 1,111,1,111,111,11,1111( )( )()()( )() ()()()()()()()(pfpp kpkppkppppp kpkpppp kkpfpppkkfkpkenx nax nkk x npx nak ax nkk xxnpknpax npx nax nx npax nkk

6、kenek11)()bppnekn 由此，便可得到前向预测误差的递推公式， 即 ) 1()()(11neknenebppfpfp 类似地，得到后向预测误差的递推公式为 )() 1()(11neknenefppbpbp对于p=0的情况， 得到 )()()(00nxnenebf图 3.3.5 全零点格型滤波器 n 格型滤波器的性质格型滤波器的性质 (1) 各阶后向预测误差相互正交。 用公式表示如下： jineneEbjbi 0)()( (2) 平稳随机序列可由自相关函数或反射系数表征。 (3) 前向预测误差滤波器是最小相位滤波器，即它的全部零点在单位圆内。后向预测误差滤波器是一个稳定的最大相位滤波

7、器，全部零点在单位圆外。 4、LMS格型自适应滤波器格型自适应滤波器n在满足预测误差的均方值最小的准则下，最佳自适应格型滤波器求解关键在于计算出反射系数。其方法有：222min( )( ) pfbpppLevinsonDurbinkE enenBurgk1、观测数据估计自相关函数递推求、观测数据法求 采用使前、后向预测误差功率的和为最小的原则求反射系数。 公式为 0)()(22pbpfpkneneE即 111111112( )(1)2( )( )02( )(1)(1)2(1)( )( )0fbbfppppfbbppppbffppppEen enen enEenk enenEenk enen可以

8、得到)1()()1()(2212111neEneEneneEkbpfpbpfpp实际计算时，上式中的统计平均值用时间平均计算， 公式为 1122112( )(1)( )(1)fbppipfbppiiei eikeiei对于复信号情况，公式为 | ) 1(| )(|) 1()(22121*11ieieieiekbpifpbpifpp 如果输入数据为x(i), i=0, 1, 2, , n， 当p=1时， 00122002( )(1)( )(1) fbifbiei e ikeie i这里 )()()(00ixieiebf因此 112212( ) (1)( )(1)ninix i x ikx ix

9、i当p=2时， ibfibfieieieiek)1()() 1()(22121112其中 101 01101 01( )( )(1)( )(1)( )(1)( )(1)( )ffbbbfeieik e ix ik x ie ie ik eix ik x i1122221122( )(1)( )(1) nfbinfbiei e ikeie i 以此类推，可以得到 的具体计算公式为 pknpibpfpnpibpfppieieieiek)1()() 1()(2212111 这种算法必须从低阶推起，要求较大的存储时间，有较大的计算延迟，使应用受到限制。 采用梯度算法计算反射系数22(1)( )( )(

10、 ) pfbppkppknknenen 其中，222211( )( ) ( )( ) 2( )(1)( )( )pfbfbkpppppfbbfppppenenenenken enen en将上式代入前一式中， 得到 )()() 1()()() 1(11nenenenenknkfpbpbpfppp式中，=2，为步长因子。3.4 最小二乘自适应滤波最小二乘自适应滤波n本节讨论的主要内容及方法n最小二乘（LS）滤波n递推最小二乘（RLS）算法1、本节讨论的主要内容及方法n主要内容：讨论一种以误差的平方和最小作为最佳准则的误差准则最小二乘准则，及其递推算法。n分析方法：2*min ( )jjneWWX

11、dydeTjjjjj2、最小二乘滤波22min( )( )( )optmin E e nhnE e n 最小均方误差(LMS)滤波（统计分析法）2*min ( )jjneW 最小二乘(LS)滤波（精确分析法）n 最小二乘的基本问题最小二乘的基本问题 已知n个数据x(1),x(2),x(n)，采用M个权的FIR滤波器对数据进行滤波，假设期望信号为d(i)，滤波器的输出 是对期望信号d(i)的估计 )(idnikixiwidMkk, 1 , 0) 1()()(1 n时刻的估计误差为 Mkkknxnwndndndne1) 1()()()()()(图 3.4.1 M个权的FIR滤波器z1z1x(i1)

12、x(i M1 )z1d(i)x(i)e(i)d(i)w1(i)w2(i)wM(i) 误差信号的平方加权和为 21( )( )nn iine i 为了后面叙述方面，引入一些符号。TT21)1(,),1(),()()(,),(),()(MnxnxnxnxnwnwnwnwMMMe(n)=e(1), e(2), , e(n)T d(n)=d(1), d2), , d(n)T XM(n)=xM(1),xM(2),xM(n) TT)(,),2(),1 ()(nxxxnXCMMMM 应用这些符号，期望信号的估计、估计误差和误差信号能量分别为 T1T( )( ) (1)( )( )( )( )( )( )(

13、)( )( )( )( )MkMMMkMMMd nw i x ikXn wnCwne nd nd nd nXn wnd nCwn)()()()()(T21nenneienniin式中 100000021nn为了推导简单起见， 取=I，则误差信号能量重新表示为)()(d)()(d)()()(TTnCwnnCwnnenenMM要使(n)取得最小值，满足 ( )( )( )0( )MwnMnnwnTTTT2 ( )( )0( ) ( )0 ( )( )MMMCd nCwnXn e nC CwnC d n引入M维向量pM(n)以及MM维矩阵RM(n)， niTMMTMMMMniMMixixnXnXCC

14、nRixidndnXndCnp1T1T)()()()()()()()()()()(TTT ( )( )( )( )( )MMMMC CwnC d nRn wnpn可以转换为可得wM(n)的最小二乘估计wLS(n) )()()()()()()()(11T1ndnXnXnXndCCCnpnRnwMTMMTMMLS若rankXM(n)M, 则wM(n)不能唯一辨识。 当 存在时，最小二乘的估计值 为 )(nwLS)(nd)()()(TnwnXndLSM 最小二乘估计的误差信号能量min为 TminTTTTT( )( ) ( )( ) ( )2( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )L

15、SMLSMLSLSMnen e ndn d nwn pnwn Rn wndn d nwn pn2T1T1Tmin()TLSLSzAnzAddewC CC dA AA zn 最小二乘估计的模型描述最小二乘估计的模型描述 令误差信号能量为J，并取加权矩阵=I，则 )()()()(TTAzAzAzAzJ3、 递推最小二乘法递推最小二乘法(RLS)n基本思想：新的估计值是在老的估计值的基础上修正而成的。新的估计值(k)=老的估计值(k-1)+修正项 最小二乘递推算法的关键是得到修正项的表达式n 递推最小二乘法递推最小二乘法(RLS)(RLS) 根据最小二乘估计式,用a(i)表示第i步迭代时A的取值，A

16、k表示前k步A的数值构成的向量。定义一个变量P： 1111T11T1def)()() 1(def)()()(kTkkikTkkiAAiaiakPAAiaiakP其中 T)(,),2(),1 (kaaaAk那么 1T11TT1T11T1)()() 1()()()()() 1()()()()()(kakakPAAkPkakakPkakaiaiakPkkkik-1时刻的估计值为 )()()1()() 1(111T111T1kikkkkLSiziakPzAAAk上式两边同时左乘P-1(k-1)，得 )()() 1() 1(111kiLSiziakkPT11TT1T1 ( )( )()( )( ) ( )( )(1)(1)( ) ( )( )(1)( ) ( )(1()( ) ( )(1)() ()kLSkkkkiLSLSLSLSkA AA zP ka i z iP kka k z kP kka k z kkPkPkPz kakak akka kk定义q(k)为)()()(kakPkq)1()()()() 1()(Tkkakzkqkk 根据矩阵反演公式 T111T11T1()()ACCAA C IC A CC A1T1T1TTT1TT( )(1)( )( )(1)(1) ( )1( ) (1) ( )( )