第二章 流变学的基本概念

1、第二章 流变学的基本概念制造学院课程内容l流体形变的基本类型l标量、矢量和笛卡尔张量的定义l应力张量和应变张量l本构方程和材料函数流体形变的基本类型 流体所有的流变现象都是力学行为应力与应变应力与应变速率流动变形时流体形变的基本类型.拉伸和单向膨胀 流体元在拉伸方向的长度增加而在另外两个方向上的长度则缩短。简单拉伸示意图流体形变的基本类型.各向同性的压缩和膨胀 在各向同性膨胀中，任何形状的流体元都变为几何形状相似但尺寸变大的流体元。各向同性膨胀实验示意图流体形变的基本类型.简单剪切和简单剪切流 在简单剪切实验中，流体元的顶面相对于底面发生位移，而高度保持不变，使得原来与底面垂直的一边在变形后与

2、其原来位置构成一定的角度。可以用 来表示简单剪切形变示意图标量、矢量和笛卡尔张量的定义 标量、矢量和张量是用数学方法处理流体流动与变形时，常用的物理量。 1）标量 在选定了测量单位后，仅有数值大小决定的物理量。 2）矢量 同上条件，由数值大小和空间决定的物理量。 3）张量 是矢量的推广，是在一点处不同方向上有不同量值的物理量。标量、矢量和笛卡尔张量的定义.数学定义 不同坐标变换，不同的集合满足不同转换关系：标量：123123(,)(,)x xxx xx矢量： 123123123123(,)(,)(,)(,)ikkiikikF x xxF x xxF x xxF x xx张量： 12312312

3、3123(,)(,)(,)(,)mijijminjmnimjntx xxtx xxtx xxtx xx 例1：例2：例3：标量、矢量和笛卡尔张量的定义.张量的运算1）单位张量（克罗内克算子）100010001ijI标量、矢量和笛卡尔张量的定义2）对称张量 张量的分量满足 ，则称这样的张量为对称张量。ijji111213111213212223222331323333标量、矢量和笛卡尔张量的定义3）并矢张量 将矢量A和矢量B按以下形式排成数组：111213212223313233ABABABA BA BA BA BA BA B 并矢张量或两矢量的矢并积是二阶张量的特殊形式，数组内的各元素是矢量的

4、分量之积。标量、矢量和笛卡尔张量的定义4）张量相等 在同一坐标系中，如两张量的各个分量全部对应相等，则两张量相等。5）张量的加减 按矩阵方法，两张量对应分量相加减。PQTPQ标量、矢量和笛卡尔张量的定义6）张量与标量的乘（除） 即把张量的各个分量分别乘以标量111213111213212223212223313233313233PPPPPPTPPPPPPPPPPPPP标量、矢量和笛卡尔张量的定义7）向量和张量的乘积 向量与张量点乘，其积均为一个矢量。8）张量与张量乘积 张量与张量单点积得一张量：TP Q标量、矢量和笛卡尔张量的定义.张量的重要性 在一个坐标系中，笛卡尔张量所有分量都等于零，在所

5、有笛卡尔坐标系中也为零。 两个同阶笛卡尔儿张量的和或差仍是同阶张量，于是同阶张量的任何线性组合仍是同阶张量。 如果某个张量方程在一个坐标系中能够成立，那么对于允许变换所能得到的所有坐标系，也一定成立。应力张量和应变张量物体受力的类型： 1）外力 作用在物体上的非接触力，也称为长程力。 2）表面力 施加在物体外表面的接触力。 3）内部应力 是由毗邻的流体质点直接施加给所研究的微元体表面的接触力，又称为近程力。应力张量和应变张量0SFSdF dS 当时，比值趋于一个确定的极限dFTdST极限向量可写为： 极限向量 称为面力，或称为应力向量，即代表作用在面上的单位面积的力；应力张量和应变张量.应力张

6、量 在笛卡尔坐标系中，可以将某点的作用力分解在该点附近的三个互相垂直的微分面上，微分面的方向与选择的坐标方向相同。将各个面的分力除以微体积元对应的表面积，得到相关的应力，再沿坐标方向进行分解，得到的分量形式为:123(,)(,)(,)xxxyxzyxyyyzzxzyzzTTTTTTTTTTTT,第一个下标表示该应力的作用面。第二个下标表示该应力的方向。应力张量和应变张量 在笛卡尔坐标系中，只需在三个面上的应力分量，就能完整描述材料的受力情况。可成以下矩阵形式：xxxyxzyxyyyzzxzyzzTTTTTTTTTTijTT称为应力张量，而则称为应力张量分量。应力张量和应变张量 通常将应力张量分

7、解为两部分： 流体形变有关的动力学应力，偏应力张量； 张量的各向同性部分；-TP-ijijijTP应力张量和应变张量称为单位张量，可定义为以下形式：100= 010001ij当时，应力分量就是法向应力，其他分量称为剪切应力应力张量和应变张量简单流变实验中的应力张量拉伸实验 在矩形断面上施加一个与端面垂直的力。00000000 xxTT应力张量和应变张量各向同性压缩 应力矢量总是与分隔面垂直，且在某给定点上的大小与分割面方向无关。nTnP 流体静止时（完全流体无论何时）内部的接触力就属于这种性质，因此各向同性的应力也称为流体静压力。应力张量和应变张量 在各向同性压缩实验中，应力在任何方向都与作用

8、面垂直且大小相同。即在笛卡尔坐标中：xxyyzzTTTP000000 xxyyzzTTTT剪切应力分量均为零，则应力张量为：应力张量和应变张量简单剪切 在实验中，应力与作用面平行。总力矩为： yxxydLT dxdydzT dxdydz 为了保持平衡，在施加一个剪切应力的同时，必须施加相应的另一个剪切应力。0000000 xyyxTTT应力张量和应变张量.应变张量 变形前两点的相对位置可用下列矢量表示：12(,)PPdx dy dz变形后的两点相对位置用下列矢量表示：12(,)xyzP Pdxdu dydudzdu应力张量和应变张量变形前的距离为：(,)dsdx dy dz变形后产生的相对位移

9、：(,)xyzdudu dudu应力张量和应变张量 变形前后两点的相对位置发生变化，其变化量分别为相对位移在坐标轴上的分量，其矩阵形式为:xxxyyyzzzuuuxyzuuududsxyzuuuxyz 无穷小位移梯度张量,yxzuuuxyz和分别表示各坐标轴方向上的单位伸长，即变形对各坐标的变化率。应力张量和应变张量 根据矩阵运算法则，无穷小位移梯度张量可分解为两部分：11+2211+2211+22110-2211-2212yxxxzyyyxzyxzzzyxxzyyyxzuuuuuxyxzxuuuuududsxyyzyuuuuuxzyzzuuuuyxzxuuuuuxyyzy（） （）（）（）（

10、） （）（） （）（）（）（=E+W1-2yxzzzuuuuuxzyzz） （）应变张量反对称二阶张量应力张量和应变张量应变张量可简为：xxxyxzijyxyyyzzxzyzzeeeEeeeeeee可得到：,yxzxxyyzzuuueeexyz1+2yxxyyxuueeyx（）1+2xzxzzxuueezx（）1+2yzyzzyuueeyz（）应力张量和应变张量第一不变量：1xxyyzzIeee第二不变量：2( , , )ijjiijIe ei jx y z第三不变量：3000000 xxxyxzxyxyyyzyzxzyzzzeeeeIeeeeeeee应力张量和应变张量.各向同性压缩 设笛卡尔

11、坐标的原点在试样的角上，各边与坐标轴一致。(1)xx(1)yy(1)zz应力张量和应变张量.拉伸实验 笛卡尔坐标的原点在物体的中心，各边与坐标轴平行。(1)xx(1)yy(1)zz应力张量和应变张量.简单剪切xxyyyzz应力张量和应变张量描述流动会涉及应变速率张量，则为11()()2211()()2211()()22yxxxzyyyxzyxzzzxyxzxvxyyzyxzzyz应力张量和应变张量如果 ，则流体无体积变化11I 如果 ，则流体体积膨胀11I 如果 ，则流体体积压缩11I 本构方程和材料函数本构方程：（constitutive equation） 是一类联系应力张量和应变张量或应变速率张量