2021年福建龙岩第一次质检数学-答案

1、龙岩市 2021 年高中毕业班第一次教学质量检测数学试题参考答案一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。题号12345678选项CDDCCABA二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。题号9101112选项ADBCABDCD12简解A若直线l 过点 F、Q 且与 y 轴垂直，可得 p = 2 ,当直线l 过点 F、Q 但不与 y 轴垂直时， 得不出 p = 2 ，故 A 错;B 当 点Q在 抛 物 线 的 内 部 时 , 由 抛 物 线 的 定 义 得高三数学答案第 7 页（共 7 页）PQ + PF³ PQ + PN³ 1+ P =

2、 2 Þ P = 2 ( N 为抛物线准线上的点); 当点Q 在抛物( P -1)2 +12232线的外部时,连接 FQ ,PQ + PF³ QF = 2 ,得 P = 2 + 2,故 B 错pC 由条件知直线 l 的斜率存在， 设其方程为 y = kx +2与 x2 = 2 py 联立消去 y 得1122设x2 - 2 pkx - p2 = 0,A(x , y ), B( x , y ),2则x1x2 = - p(x x )2, y1 y2 = 1 2=p21, kOAkOB = -, 故 C 正确;4 p244D 设 A(x , y ), B( x , y ) , 由

3、x2 = 2 py 得 y' = 1 x, 1 x x= -1 , x x= - p2 ,1122pp2 1 21 2 y + y = 1 (x2 + x2 ) = 1 (x + x )2 + p, 所 以 当 x + x= 0 时,122 p122 p1212y + y取得最小值 p = 4 ,从而求得 x , = ±4, y = y= 2 , S= 1 ´ 8´1 = 4 ,故 D12正确.1 212DABQ2三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。( , 0)131 ；14. 337 ；15.32， 3 ；（第一空 2 分，第二空

4、 3 分）16.pa32DB'16解：动点 P 的轨迹是以 A 为球心，半径为2a 的球与平面D'A'A¢B¢C¢D¢ ，平面 DCC¢D¢ ，平面CBB¢C¢ 的交线，这三条C'3弧长之和为pa .2四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。17（本题满分 10 分）CAbcB解：（1）选条件，由正弦定理sin B=及c sin B =sin C3b cosC 得sin C sin B =3 sin B cos C,1 分Q 0 < B < p ,sin B >

5、 0,2 分sin C =3 cos C3 分tan C =C = p33, Q 0 < C < p ,4 分5 分选条件，由2 cos C - sin( 3p2- 2C) = 2 cos2 C得 2 cos C + cos 2C = 2 cos2 C2 cos C + 2 cos2 C -1 = 2 cos2 C，cos C = 12Q 0 < C < p ,C = p3 2 分4 分5 分1选条件Q SDABC = CA × CB ×sinC = ab cos C sin C = 2 ab sin C2 分Qsin C > 0, cosC

6、= 1 ,Q 0 < C < p ,C = p5 分（2）法 1：由（1）知C =2p ，又c = 233=c24 3设DABC 的外接圆的半径为R,则2R =sin Csin p34 3,6 分32p所以DABC 的周长 L = 2R(sin A + sin B) + 2 =sin A + sin(33- A) + 2= 4sin（A + p ）+ 268 分Q 0 < A < 2p , p < A + p < 5p , 1 < sin( A + p ) £ 19 分366626LÎ(4,610 分法 2：由（1）知C = p3由

7、余弦定理得，又c = 2c2 = a2 + b2 - 2ab cos C = a2 + b2 - 2ab ´ 12= a2 + b2 - ab6 分 4 = (a + b)2 - 3ab ³ (a + b)2 - 3 (a + b)2 = 1 (a + b)2447 分(a + b)2 £ 16, a + b £ 4, 又Q a + b > c, 2 < a + b £ 4（当且仅当 a = b = 2 时取等号）9 分 4 < l £ 6 ,所以DABC 的周长的取值范围为 (4, 610 分18（本题满分 12

8、分）解：（1）Q Sn = 2an - 2 ， n ³ 2 时， Sn-1 = 2an-1 - 2 2 分两式相减得a = 2a - 2aa，又各项均为正数，即n= 2 ，4 分nnn-1an-1又 S1 = 2a1 - 2 ，则a1 = 2 ，5 分n所以a = 2n6 分（2） b = a × log a= (n +1) × 2n ，7 分nn2n +1nT = 2 ´ 2 + 3´ 22 + 4 ´ 23 +L+ (n +1) ´ 2n2Tn-= 2´ 22 + 3´ 23 + 4´ 24

9、 +L+ (n +1) ´ 2n+1 n得-T = 2´ 2+22 +L+2n - (n +1)2n+1= 2 +2(1- 2n )1- 2- (n +1)2n+1= -ng2n+1Tn= ng2n+19 分10 分因Tn+1- Tn=（n+1）× 2n +2 - n × 2n+1 = (n + 2) × 2n+1 > 0 ， 11 分所以Tn+1 > Tn ，即Tn 单调递增，所以k £ T1 = 419（本题满分 12 分）解:（1）列联表补充如下：12 分感兴趣不感兴趣合计男441256女36844合计8020100

10、1 分计算K 2 =n (ad - bc)2(a + b)(c + d )(a + c)(b + d )100´ 44´ 8 - 36 ´12 2()=» 0.162 < 2.706 ,80 ´ 20 ´ 56´ 443 分所以没有90 0 0 的把握认为学生对“冬季长跑”的兴趣度与性别有关4 分（2） 设 2 人中恰有 1 人不感兴趣这一事件为 A ，=´+´=44812367则 P( A)7 分5644564422（3） 根据题意， X 的值可能为0,1, 2，3 .C3C3则 P ( X =

11、0) = 712= 7 ,44C 2 × C121CP ( X = 1 = 75 =)44312P ( X = 2 = 75)C1 × C2C312= 7 ,22P ( X = 3) = 5 = 1CC331222故 X 的分布列如下：X0123P744214472212211 分故 X 的数学期望：E ( X ) = 0 ´ 7 +1´ 21 + 2 ´ 7 + 3´ 1 = 512 分44442222420（本题满分 12 分）解：（1）在线段 AD 上存在点 E 满足题意，且 E 为 AD 中点， 1 分连接 ES ， EF ，

12、 SF ，Q底面 ABCD 为矩形， AB AD ，又 E, F 分别是 AD, BC 中点， EF / / AB ， EF AD ，2 分zSlDCE FyABx又侧面SAD 为等腰直角三角形， SE AD ， SE Ç EF = E ，A D平面SEF ，3 分过 S 点在平面SAD 内作 AD 的平行线 l ，Q AD / / BC ， BC / /l即 l 为平面SAD 与平面SBC 的交线5 分l 平面SEF6 分（2）以 E 为原点， EA 方向为 x 轴， EF 方向为 y 轴，建立如图坐标系 E - xyz .则ÐSEF = 120° ，7 分S

13、(0, -1, 3) ， A(2, 0, 0)， B(2, 2, 0) ， C(-2, 2, 0) ， D(-2, 0, 0) ，设Q(t, -1, 3) 8 分 SB = (2, 3, - 3) ， DC = (0, 2, 0) ， DQ = (t + 2, -1, 3) ，设平面QCD 的法向量为n = (x, y, z) ，则ì ruuurïn × DC = 0ìï2 y = 0rt + 2由í r uuur，得í(t + 2)x - y +，取 n = (-1, 0,) ，9 分33z = 0ïî

14、n × DQ = 0ïî设直线SB 与平面QCD 所成角为q ，uur r4 + t93则sinq = cos < SB, n > = =(t + 2)2，得t = -11 分444 1+365此时 DQ =12 分42c21（本题满分 12 分）SDA B F1 (a - c)b解：（1）由已知条件设 F1(-c, 0) ，则 1 1 12 2SDOA B= 2= 1-1 aba2= 1-,1 分2所以有 c =2 ，将（12C的方程得 1 + 1= 1, 又a2 = b2 + c2 .，）代入椭圆a22a22b22解得a =，b = 12椭圆C的标

15、准方程为 x2+ y2= 1.3 分4 分（2）依题意可设 P( x1, y1 ), Q(x2 , y2 ), x1 ¹ 0, x2 ¹ 0联立直线与椭圆C 的方程得ï 2yì x2 + 2í= 1,ïî y = kx + m,消去 y 并整理得(2k 2 +1)x2 + 4kmx + 2m2 - 2 = 0 .则D = 16k 2m2 - 4(2k 2 +1)(2m2 - 2) > 0, 化简得m2 < 2k 2 +15 分x + x = - 4km , x x =122k 2 +11 22m2 - 22k 2

16、 +1 ,Q x ¹ 0, x ¹ 0, x x¹ 0, m2 ¹ 16 分121 2QOP的斜率k1= y1 , OQ的斜率k x1= y2 ,x222y1 y2(kx1 + m)(kx2 + m)2km(x+ x ) + m2k = k1k2 =x1x2x1 x2= k + 12x1x2把 x + x = - 4km , x x =122k 2 +11 22m2 - 2代入上式并化简得2k 2 +1m2 = 2k 2m2，Q m ¹ 0, 2k 2 = 1,Q k > 0, k =228 分2当k =2 , m ¹ 

17、7;1 时， k1 ¹ 0, k2 ¹ 0所以直线l的方程为y =2 x + m,此时由D > 0 得m2 < 222Q m ¹ 0，0 < m <, 且m ¹ ±19 分x + x = - 2m, x x= m2 -1,121 21+ k 2(x + x )2 - 4x x121 21+ 12m2 - 4(m2 -1)2 PQ =m1+ 1263点O到直线PQ的距离d =m=3 2 - m210 分 S= 1 PQ dDOPQ23 2 - m2= 1 ´2´ m =22m2 (2 - m2 )22-

18、 (m2 -1)2 +111 分632Q m ¹ 0，0 < m <, m ¹ ±1所以DOPQ 面积的取值范围为(0, 22（本题满分 12 分）2 ) .12 分2解：（1） f (x) = x ln x - ax2 - x, f ¢(x) = ln x - 2ax ，所以 f (x) = x ln x - ax2 - x 有两个极值点就是方程lnx - 2ax = 0 在(0, +¥）有两个不同的解，即 y = 2a 与m ( x) = ln x 的图像的交点有两个1 分x m¢(x) = 1- ln x ，当 x

19、Î(0,e) 时， m¢( x) > 0 ， m ( x) 单调递增；x2当 x Î(e, +¥) 时， m¢( x) < 0 ， m ( x) 单调递减， m ( x) 有极大值 1 3 分e又因为 x Î(0,1 时， m ( x ) £ 0 ； x Î(1, +¥) 时， 0 < m ( x) < 1 4 分e当0 < 2a < 1 时，即0 < a < 1 时有两个解， a Îæ 0, 1 ö5 分e2eç2e

20、 ÷èø（2） h ( x ) = g ( x ) - f ¢( x) = ex-1 - ln x - a(x -1) (x > 0) h¢( x ) = ex-1 - 1 - a ，又h¢¢( x ) = ex-1 + 1xx2> 0 ， h¢( x ) 在(0, +¥) 单调递增若a = 0 时， h ' (1) = 0当 x Î(0,1) 时， h ' ( x) < 0.当 x Î(1, +¥) 时， h ' ( x) >

21、 0.h ( x) 在(0,1) 上单调递减；h ( x) 在(1, +¥) 上单调递增； h ( x) 在 x = 1 处取得极小值h (1) = e0 - ln1 = 1若a > 0 ，令 x = 1, 则 1 -1 - a < 0 ；令 x = ln(a + 1) +1,e则eln(a+1)+1-1 -1ln(a + 1) + 1- a = 1 -1> 0ln(a + 1) + 1所以在 x Î(1, ln(a + 1) + 1) ， h¢(x) = 0 有唯一解；1 1 -1 1 -1若a < 0 ，令 x = e- a - a ，则ee- a -a则e1-1 -1- a > 0 ，-