19-20第3章32321复数代数形式的加减运算及其几何意义

1、3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义学习目标核心素养i掌握复数代数形式的加减运算法贝U.（重点）2了解复数代数形式的加减运算的几 何意义.（易错点）1. 通过复数代数形式的加减运算的几何 意义，培养数学直观的素养.2. 借助复数代数形式的加减运算提升 数学运算的素养自主预习吋齢新Ml.mm.匚新知初探二1. 复数加法与减法的运算法则设乙=a+ bi, z2 = c+ di是任意两个复数，则 zi + z2= (a+ c)+ (b+ d)i; zi _ Z2 (a c) + (b d)i.(2)对任意 zi, Z2, Z3 C，有 zi + Z2 Z2 + z

2、i; (zi + z2)+ z3 zi + (z2 + 23).2. 复数加减法的几何意义如图所示，设复数Zi, z2对应向量分别为OZi, 0Z2,四边 形OZiZZ2为平行四边形，向量OZ与复数zi+2对应，向量Z2Zi 与复数Zi_ z对应.思考：类比绝对值|x xo|的几何意义，|z zo|（z, zo C）的几何意义是什么?提示|z zo|(z, zo C)的几何意义是复平面内点Z到点Zo的距离1 .已知复数 zi = 3+ 4i, Z2= 3 4i，贝U zi + Z2=()A.8iB.6C.6+8iD.6 &B zi + z2 3 + 4i + 3 4i = (3+ 3)

3、 + (4 4)i = 6.2 .复数(1 i) (2 + i) + 3i 等于()A.1+ iB.1 iC.iD.iA (1 i) (2 + i) + 3i (1 2)+ ( i i + 3i) 1 + i.故选 A.3. 已知向量OZ1对应的复数为2 3i，向量0乙对应的复数为3 4i，则向量Z1Z2对应的复数为.1 i Z1Z2 OZ2 OZ1 (3 4i) (2 3i) 1 i.合作探究时是察春复数代数形式的加、减运算类型1/【例 1】(1)计算：3+ 2i + (2 i) 3 - 2 ；(2)已知复数z满足z+ 1 3i 5 2i，求乙心11、i43、i'l4)13解(1)

4、3+ 2i +(2-i)- 3 2i 3+ 2 3 +21 + 2 i1 + i.法一：设 z x+ yi(x, y R),因为 z+ 1 3i 5 2i,所以 x+ yi + (1 3i) 5 2i,即 x+ 1 5 且 y 3 2,解得 x 4, y 1,所以 z 4+ i.法二：因为 z+ 1 3i 5 2i,所以 z (5 2i) (1 3i) 4+ i.U! f屮方込复数代数形式的加、减法运算技巧复数与复数相加减，相当于多项式加减法的合并同类项，将两个复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加 减跟踪训练1. 计算：(2 - 3i) + ( 4 + 2i) =.(2)已知 zi= (3x

5、 4y)+ (y2x)i, Z2= (2x+ y) + (x 3y)i, x, y 为实数，若 zi Z2 = 5 3i，则 |zi + Z2| =.一2 i (2) 2 (1)(2 3i) + ( 4+ 2i) = (2 4)+ ( 3+ 2)i = 2 i.(2)zi Z2= (3x 4y) + (y 2x)i ( 2x+ y) + (x 3y)i = (3x4y) ( 2x+ y) + (y 2x) (x 3y)i = (5x 5y) + ( 3x+4y)i = 5 3i，f5x 5y= 5，所以j解得x= 1，y= 0，3x + 4y= 3，所以 zi = 3 2i，z2= 2+ i，

6、则 zi + z2= 1 i，所以 |zi + z?|= , 2.复数代数形式加减运算的几何意义空型2【例 2(1)复数 zi，z2 满足 |Zi|=z2匸 1，|zi + z2|=2 .则 |zi z2|=(2)如图所示，平行四边形OABC的顶点O, A，C对应复数分别为0、3 + 2i、 2+ 4i，试求z2，zi aO所表示的复数，bC所表示的复数； 对角线cA所表示的复数； 对角线OB所表示的复数及OB的长度.(1) 2 由zi|=|z2匸 1，zi + 羽=.2,知 zi,为1的正方形的三个顶点，所求|zi z2|是这个正方形的一条对角线长，所以|zi Z2l= 2.(2)解：A0=

7、 0A,. AO所表示的复数为3-2i. BC = AO,： BC所表示的复数为3 2i. CA= OA OC, CA所表示的复数为(3 + 2i) (2 + 4i) = 5 2i. 对角线 OB= OA+ OC,它所对应的复数 z= (3 + 2i) + (2 + 4i) = 1+ 6i, |OB匸 1探究问题1.满足zi = 1的所有复数z对应的点组成什么图形?提示：满足|z|= 1的所有复数z对应的点在以原点为圆心，半径为1的圆上.2.若|z1|=|z+ 1|,贝U复数z对应的点组成什么图形？提示：V |z 1|= z+ 1|, 点Z到(1,0)和(一1,0)的距离相等,即点Z在以(1,

8、0) 和(-1,0)为端点的线段的中垂线上【例3】(1)如果复数z满足|z+ i| + z i| = 2,那么|z+ i + 1|的最小值是()+ 62= .37.1 用复数加、减运算的几何意义解题的技巧(1) 形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处 理.(2) 数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具 运用于几何之中.2. 常见结论在复平面内，Z1, Z2对应的点分别为A, B, zi + Z2对应的点为C, O为坐标 原点，则四边形OACB为平行四边形；若Z1 + Z2|=|Z1 Z2|,则四边形OACB为矩 形；若Z1匸|Z2|,则四边形OA

9、CB为菱形；若|Z1|= |Z2且Z1 + Z2匸|Z1 Z2|,则四边 形OACB为正方形.二(x 1, y-2).BC = OC- OB= ( 1, 2)- ( 2,1)= (1, 3). x1=1,AD = BC ,y 2= 3,x= 2,解得S故点D对应的复数为2 i.y= 1,复数模的最值问题D. 5、类曬3 /母题探究1 若本例题(2)条件改为“设复数z满足Z 3-4i匸1”，求|z|的最大值.解因为 |z 3 4i|= 1,所以复数z所对应点在以C(3,4)为圆心,半径为1的圆上,由几何性质得ZI的最大值是32+ 42+ 1= 6.2若本例题(2)条件改为已知|z|= 1且z C

10、,求Z 2 2i|(i为虚数单位)的最解因为|z|= 1且z C,作图如图:小值.所以z 2 2i|的几何意义为单位圆上的点 M到复平面上的点P(2,2)的距离,所以|z 2 2i|的最小值为|OP| 1= 2 2 1.|Z1 Z2|表示复平面内Z1 , z2对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数模的 问题转化为复平面内两点间的距离问题， 从而进行数形结合，把复数问题转化为 几何图形问题求解.LI课堂小结|J1 复数代数形式的加减法满足交换率、结合律，复数的减法是加法的逆运 算.2 复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何 意义就是向量减法的三角形法则.3. |z zo

11、|表示复数z和zo所对应的点的距离，当|z zo|= r(r >0)时，复数z 对应的点的轨迹是以zo对应的点为圆心，半径为r的圆.当堂达标)ANGTANGDABAOGUSHUANG11.判断正误(1) 复数加法的运算法则类同于实数的加法法则.()(2) 复数与复数相加减后结果为复数.()(3) 复数加减法的几何意义类同于向量加减法运算的几何意义.()答案“VV2 .计算 |(3 i) + ( 1 + 2i) (-1 3i)| =.5|(3 i) + ( 1 + 2i) ( 1 3i)| = |(2+ i) ( 1 3i)|= |3+ 4i|= 32+ 42二 5.3已知复数 z= (a

12、2 2)+ (a 4)i, Z2= a (a2 2)i(a R),且 z1 z2为纯虚 数，贝U a=.221Z1 Z2= (a a 2)+ (a 4+ a 2)i(a R)为纯虚数，f 2a2 a 2= 0,- 2a + a 6 工 0,解得a= 1.4在复平面内，复数一3 i与5+ i对应的向量分别是0A与0B,其中0是 原点，求向量0A+ OB, bA对应的复数及A, B两点间的距离.解向量0A+ 0B对应的复数为(一3 i) + (5 + i) = 2.v bA= oA OB,向量bA对应的复数为(一3 i) (5 + i) = 8 2i. A, B 两点间的距离为8 2i|= ' 8 2+ 2 2= 2 17.2 .复数Z1 = 1+ 2i, Z2二一2+ i, Z3二一1 2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.解设复数Z1, Z2, Z3在复平面内所对应的点分别为 A, B,C,正方形的第四个顶点D对应的复数为x+ yi(x, y R),如图. 则aD = OD OA= (x, y) (1,2)1A. 1B2C. 2(2)若复数z满足|z+ 3+ i| < 1,求|z|的最大值和最小值.(1)A设复数一i ,i, 1