重庆大学数学实验微分方程模型求解及稳定性分析参考答案

1、开课学院、试验室 ：ds1401试验时间 ：2021 年 4 月 10 日课程数学试验试验项目名称名称指导何仁斌成绩老师微分方程模型、求解及稳固性分析试验项目类型验证演示综合设计其他试验目的1 归纳和学习求解常微分方程 组 的基本原理和方法；2 把握解析、数值解法，并学会用图形观看解的形状和进行解的定性分析；3 熟识 matlab软件关于微分方程求解的各种命令；4 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程；基础试验一、试验内容1 微分方程及方程组的解析求解法；2 微分方程及方程组的数值求解法欧拉、欧拉改进算法；3 直接使用matlab命令对微分方程 组 进行求解 包括解析解、数值解

2、 ；4 利用图形对解的特点作定性分析；5 建立微分方程方面的数学模型，并明白建立数学模型的全过程；二、试验过程 （一般应包括试验原理或问题分析，算法设计、程序、运算、图表等，试验结果及分析）1求微分方程的解析解,并画出它们的图形，y= y + 2 x,y0 = 1, 0<x<1;解： 1）求解析解的程序设计：y=dsolve'dy=y+2*x', 'y0=1', 'x' prettyy% 按手写方式输出得解析式为：-2 - 2 x + 3 expx2画图程序： x=0:.1:1;y=-2-2*x+3*expx; plotx,yxlab

3、el'x',ylabel'y',title'y=-2 - 2 x + 3 expx'% 标注图形：y=-2 - 2 x + 3 expx4.543.53y2.521.5100.10.20.30.40.50.60.70.80.91xy+ycos x = 0,y0=1,y0=0;解： 1）求解析解的程序设计：y=dsolve'd2y+y*cosx=0', 'y0=1,dy0=0', 'x' prettyy%按手写方式输出得解析式为：mathieuc0, -2, 1/2 x2画图程序：2用向前欧拉公式和改

4、进的欧拉公式求方程y= y - 2x/ y,y0 = 1 0x 1,h = 0.1的数值解，要求编写程序，并比较两种方法的运算结果，说明白什么问题？解： 1）程序： x11=0;y11=1;y21=1;h=0.1;fork=1:10 x1k+1=x1k+h;y1k+1=y1k+h*y1k-2*x1k/y1k;%向前欧拉y2k+1=y2k+h/2*y2k-2*x1k/y2k+y2k+h*y2k-2*x1k/y2k-2*x1k+1/ y2k+h*y2k-2*x1k/y2k;%改进欧拉end x1,y1,y2 x=0:0.1:1;y=1+2*x.1/2%解析解plotx,y,x1,y1,'g

5、-',x1,y2,'r-'legend'.a.a. ú .', '. ò .° .·à -. ú .,.''. ·à -. ú .' xlabel'x',ylabel'y'gridon结果：x1 =%在自变量的取值00.10000.20000.30000.40000.50000.60000.70000.80000.90001.0000y1 =%向前欧拉的值1.00001.10001.19181.2774

6、1.35821.43511.50901.58031.64981.71781.7848y2 =%改进向前欧拉1.00001.09591.18411.26621.34341.41641.48601.55251.61651.67821.7379y =%解析解的值1.00001.09541.18321.26491.34161.41421.48321.54921.61251.67331.7321图像 :1.81.7解 析 解 曲 线向 前 欧 拉 曲 线改 进 欧 拉 曲 线1.61.5y1.41.31.21.1100.10.20.30.40.50.60.70.80.91x说明：改进欧拉法的解比向前欧拉

7、得到的解更加接近于解析解（即精确解）；3rossler微分方程组：x'yy'xz'bz ayz xc当固定参数b=2, c=4 时，试争论随参数a 由小到大变化（如a0,0.65而方程解的变化情形，并且画出空间曲线图形，观看空间曲线是否形成混沌状？解：编写解方程组程序：（ 1） a=0x （红），y （绿），z （蓝）随t 变化情况相图0.60.40.80.20-0.20.6z0.4-0.40.2-0.6-0.8-1050100150200t00-0.5y0-1-0.5x0.5（2 ） a=0.05x （ 红 ） ， y （ 绿 ） ， z （ 蓝 ） 随 t 变 化

8、情 况相 图0.60.40.20-0.20.80.6z0.40.2-0.4-0.6-0.8-1（ 3） a=0.1050100150200t00-0.5y0-1-0.5x0.5x （红 ） ，y （绿 ） ，z （ 蓝） 随 t 变 化 情况相图0.60.40.20-0.20.80.6z0.4-0.40.2-0.6-0.8-1050100150200t00-0.5y0-1-0.510.5x（ 4） a=0.15x （ 红） ， y （ 绿 ）， z （ 蓝 ）随 t 变 化情 况相 图21.510.50-0.510.80.6z0.40.2-1-1.5-2-2.5050100150200t020

9、2-20y-4-2x（ 5） a=0.2x （红），y （绿），z （蓝）随t 变化情况相图43221.51z100.5-1-2-3-4050100150200t0250-20y-4-5x（ 6） a=0.25x （ 红） ， y （ 绿 ）， z （ 蓝 ）随 t 变 化情 况相 图432.52211.5z01-10.5-2-3-4050100150200t05500y-5-5x（ 7） a=0.3x （ 红） ， y （ 绿 ）， z （ 蓝 ）随 t 变 化情 况相 图54332.5221z1.501-10.5-20-3-4-5050100150200t5500y-5-5x（ 8） a=

10、0.35x （ 红） ， y （ 绿 ）， z （ 蓝 ）随 t 变 化情 况相 图54352413z02-11-2-3-4-5（ 9） a=0.4050100150200t05500y-5-5xx （ 红 ） ， y （ 绿 ） ， z （ 蓝 ） 随 t 变 化 情 况相 图646524z302-2-4-6050100150200t1050105-50y-10-5x（ 10） a=0.45x （ 红 ） ， y （ 绿 ） ， z （ 蓝 ） 随 t 变 化 情 况相 图108106846z2402-2-4-6050100150200t050105-50y-10-5x（ 11） a=0.5

11、x （红），y （绿），z （蓝）随t 变化情况相图121012810684z62402-20-45-6-8050100150200t1005-50y-10-5x（ 12） a=0.55x （ 红） ， y （ 绿 ）， z （ 蓝 ）随 t 变 化情 况相 图2015201015z10550-5-10050100150200t050105-50y-10-5x当 a=0.05 时， x， y，z 分别收敛于0 ，-0.5 ， 0.5当 a=0.1 时，仍旧收敛于上述三个值当 a>0.15 时, 可以看到图像逐步发散，并且随着a 值的变大，显现周期性的振荡；从右边的相图可以观察，当a 增大

12、时，单个极限环的稳固性逐步失去，进入其次周期极限环，当a 值连续变大时， 其次周期的极限环的稳固性也失去，当 a 始终变大时， 任意周期的极限环都将失去其稳固性， 这就是产生混沌的必要条件；4.apollo卫星的运动轨迹的绘制x2yx1 x xr 3r 31 ,y2xy12,1 yy33r1r21/ 82.45,11,rx2y2 ,rx2y2121x01.2, x00, y00, y01.049357514. 解：第一创建一个m文件如下：然后，绘图程序如下：functiondx=appollot,x mu=1/82.45;mustar=1-mu; r1=sqrtx1+mu2+x32;r2=sq

13、rtx1-mustar2+x32; dx=x22*x4+x1-mustar*x1+mu/r13-mu*x1-mustar/r23 x4-2*x2+x3-mustar*x3/r13-mu*x3/r23;x0=1.2;0;0;-1.04935751;%x0i 对应于 xi 的初值 %options=odeset'reltol',1e-8; tict,y=ode45appollo,0,20,x0,options;%t 是时间点， y 的第 i列对应 xi 的值， t 与y 行数相同 %tocploty:,1,y:,3% 绘制 x1 与x3 ，即 x 和y 图形 % title 

14、9;appollo卫星运动轨迹 'xlabel 'x' ylabel 'y' elapsed timeis 0.597879seconds最终得到如下轨迹图形年appollo卫 星 运 动 轨 迹0.80.60.40.2y0-0.2-0.4-0.6-0.8-1.5-1-0.500.511.5x应用试验（或综合试验）一、试验内容盐水的混合问题一个圆柱形的容器，内装350 升的匀称混合的盐水溶液；假如纯水以每秒14 升的速度淡定器顶部流入，同时，容器内的混合的盐水以每秒10.5 升的速度淡定器底部流出；开头时，容器内盐的含量为7 千克；求经过时间t 后容器内盐的含量；二、问题分析由于容器的容积相对于单位时间内水的体积变化来说很大，所以可以忽视溶质盐在在不同浓度的水内扩散至匀称的时间；依据在每个微小的时间段内，削减的盐加上容器内剩余的盐等于开头的盐量建立方程；三、数学模型的建立与求解 一般应包括模型、求解步骤或思路，程序放在后面的附录中假设容器内盐的含量在每一时刻都是匀称的，记