高中数学 第1章 导数及其应用 1.3.3 最大值与最小值课件 苏教版选修2-2

1、1.3.3最大值与最小值第1章1.3导数在研究函数中的应用学习目标1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1知识点函数的最大(小)值与导数观察a，b上函数yf(x)的图象，试找出它的极大值、极小值.答案答案答案极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4).如图为yf(x)，xa，b的图象.思考2结合图象判断，函数yf(x)在区间a，b上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？答案答案答案存在，f(x)minf(a)，f(x)maxf(x3).思考3函数yf(x)在a，b上的最大(小)值

2、一定是某极值吗？答案答案答案不一定，也可能是区间端点的函数值.(1)最大值与最小值如果在函数定义域i内存在x0，使得对任意的xi，总有 ，那么f(x0)为函数在定义域上的最大值.最大值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大值，那么最大值 .如果在函数定义域i内存在x0，使得对任意的xi，总有 ，则称f(x0)为函数在定义域上的最小值.最小值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最小值，那么最小值 .梳理梳理f(x)f(x0)惟一f(x)f(x0)惟一(2)求f(x)在区间a，b上的最大值与最小值的步骤求f(x)在区间(a，b)上的 .将第步中求得的 与 ， 比较，得到f(x)在区间a，b上的最

3、大值与最小值.极值极值f(a)f(b)题型探究命题角度命题角度1不含参数的函数求最值不含参数的函数求最值例例1已知函数f(x)x33x，xr.(1)求f(x)的单调区间；解答类型一求函数的最值解解f(x)3x233(x1)(x1)，当x1时，f(x)0；当1x1时，f(x)0，b2，当x1,1时，求f(x)的最小值.解答解解f(x)3ax23x3x(ax1).分以下两种情况讨论：x(1,0)0(0,1)f(x)0f(x) 极大值f(0) 例例3已知函数f(x)ax36ax2b，x1,2的最大值为3，最小值为29，求a，b的值.类型二由函数的最值求参数解答解解由题设知a0，否则f(x)b为常函数

4、，与题设矛盾.求导得f(x)3ax212ax3ax(x4)，令f(x)0，得x10，x24(舍去).当a0，且当x变化时，列表如下.x1(1,0)0(0,2)2f(x) 0 f(x)7ab b 16ab由表可知，当x0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在1,2上的最大值，f(0)b3.又f(1)7a3，f(2)16a3f(1)，f(2)16a329，解得a2.当af(1)，f(2)16a293，解得a2.综上可得，a2，b3或a2，b29.已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)

5、解决问题.其中注意分类讨论思想的应用.反思与感悟跟踪训练跟踪训练3(1)若函数f(x)3xx3在区间(a212，a)上有最小值，则实数a的取值范围是_.答案解析解析解析由f(x)33x20，得x1.列表如下.x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)22又当x(1，)时，f(x)单调递减，且当x2时，f(x)2.a2.综上，10，求a的值.解解f(x)的定义域为(a，)，解答令f(x)0，解得x1aa.当ax1a时，f(x)1a时，f(x)0，f(x)在(1a，)上单调递增.因此，f(x)在x1a处取得最小值，由题意知，f(1a)1a0，故a1.例例4已知2xln xx2ax3对一切

6、x(0，)恒成立，求a的取值范围.解答类型三与最值有关的恒成立问题当x(0,1)时，h(x)0，h(x)单调递增.h(x)minh(1)4，ah(x)min4.分离参数求解不等式恒成立问题的步骤反思与感悟跟踪训练跟踪训练4设f(x)ln x，g(x)f(x)f(x).(1)求g(x)的单调区间和最小值；解答解解 由题设知f(x)的定义域为(0，)，令g(x)0，得x1.当x(0,1)时，g(x)0，故(1，)是g(x)的单调增区间.因此，x1是g(x)在(0，)上的惟一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)1.解答即ln a0成立.由(1)知，g(x)的最小值为1，所以ln

7、 a1，解得0a0时，x0；当f(x)0时，2x0，解得x2或x2；令f(x)0，解得2x2.故函数在2,2上是减函数，在3，2)，(2,3上是增函数，所以函数在x2时取到最小值f(2)82488，在x2时取到最大值f(2)824824.即m24，m8，所以mm32.23451答案解析2345121e25.已知函数f(x)2x36x2a在2,2上有最小值37，求a的值，并求f(x)在2,2上的最大值.23451解答23451解解f(x)6x212x6x(x2).令f(x)0，得x0或x2.列表如下.x2(2,0)0(0,2)2f(x) 00f(x)40aa8a所以当x2时，f(x)min40a37，所以a3.所以当x0时，f(x)取到最大值3.规律与方法1.求解函数在固定区间上的最值，在熟练掌握求解步骤的基础上，还需注意：(1)对函数进行准确求导.(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值.(3)比较极值与端点函数值的大小时，有时需要利用作差或作商，甚至要分类讨论.2.解决恒成立问题常用的方法是转化为求函数最值问题.如：(1)f(x)m恒成立，只需f(x)minm成立