2019年高考数学压轴题专题05零点存在定理中取点问题(原卷版)

1、专题五零点存在定理中取点问题如果函数y = f(x )在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)c0,那么，函数y = f (x附区间(a, b)内有零点，即存在cw (a,b),使彳导f (c )= 0 ,这个c也就是方程f (x )= 0的根.在实际应用中，如何取 a,b,是解决问题的难点.*例剖析J类型一 利用方程的根或部分代数式的根取点x典例1已知函数f (x ) = x"-ax+1. ex(1)当a =1时，求y = f (x )在xw -1,1 上的值域;(2)试求f(x )的零点个数，并证明你的结论.类型二利用放缩法取点典例2已知b>0,且

2、b=1,函数f (x )=ex +bx,其中e为自然对数的底数:(1)如果函数f (x)为偶函数，求实数 b的值，并求此时函数的最小值；(2)对满足b>0,且b*1的任意实数b,证明函数y = f (x)的图像经过唯一的定点;(3)如果关于x的方程f (x)=2有且只有一个解，求实数 b的取值范围.类型三利用尝试法取点典例3 已知函数f(x)=2x -2ax-a 1,x - 0,In J-x ,x 0,g(x)=x2+12a .若函数 y=f(g(x)有 4 个零点，则实数a的取值范围是共由*叫"修*廿寸 30*11a U精选各校模掀J Q X 04.MS U 锣 W 4. &

3、#171;中 M " 隔 K> ?；S=Jtdiff(x)1 21 .设函数f(x)= x (a+b)x+abln x (其中e为自然对数的底数，a#e,b=R),曲线y 2在点(e, f (e)处的切线方程为1 2y = - -Q .21 (2)右对任意xW,"), e'f (x)有且只有两个零点，求 a的取值范,围.22 .已知函数 f(x)=a(2x)e , g(x)=(x-1).(1)若曲线y=g(x )的一条切线经过点 M (0,-3),求这条切线的方程.(2)若关于x的方程f (x尸g(x )有两个不 相等的实数根xi, X2求实数a的取值范围；证

4、明：x1 x2 :二2.3 .已知a, b是实数，1和1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.(1)求a和b的值；.(2)设函数g(x)的导函数g'(x) = f (x)+2 ,求g(x)的极值点；(3)设h(x) = f(f(x) -c,其中 H2, 2,求函数y =h(x)的零点个数.来源：Z+xx+k.Com4 .已知函数 f(x) = ax4 -2x2, xC(0, +°°), g(x) =f(x) f ' (x).若 a>1,记 g(x)的两个零点为xi, x2, 求证： 4vxi + x2a+4.1 25 .已知 f (x )=5

5、x alnx , .aw R.(1)求函数f (x )的增区间；(2)若函数f(x/T两个零点，求实数 a的取值范围，并说明理由；(3 )设正实数 及， 满足 ，当a > 0时，求证：对任意的两个正实数x1 ,x2总有f 1 X2x2 E - if xi2f x2(参考求导公式：f (ax+b】=af (ax+b)1，,6 .已知a , b为头数，函数 f (x ) =+b ,函数g( x )=lnx .x a(1)当a=0时，令F(x)=f(x) +g(x),若F(x)2 0恒成立，求实数b的取值范围;(2)当a = 1时，令G(x)=f(x) g(x),是否存在实数b,使得对于函数y

6、 = G(x )定义域中的任意实数Xi,均存在实数X2 w 1,),有G(Xi )-X2 =0成立？若存在，求出实数b的取值集合；若不存在,请说明理由.7 .已知函数 f (x) = (2-a) (x-1) - 2lnx , g (x) = xe. (aCR, e 为自然对数的底数)(I)当a=1时，求f (x)的单调区间；(n)若函数f (x)在1 0 上无零点，求a的最小值； .2(出)若对任意给定的 xoC (0, e,在.(0, e上总存在两个不同的 xi (i=1 , 2),使得f (xi) =g (x。) 成立，求a的取值范围.来源学罩Z_X_X_K8 .已知函数 f(x) =a

7、+ qXlnx(a C R).求f(x)的单调区间；(2)试求f(x)的零点个数，并证明 你的结论.9 .已知函数f(x) =a ex + x2 bx(a , bC R, e= 2.718 28是自然对数的底数)，其导函数为 y = f'(x) .来源：学#科f+舸 Z#X#X#K(1)设a=1,若函数y=f(x)在R上是单调减函数，求 b的取值范围；(2)设b=0,若函数y=f(x)在R上有且只有一个零点，求 a的取值范围；(3) 设b=2,且aw。，点(m, n)(m , nCR)是曲线y=f(x)上的一个定点，是否存在实数x0(x0Wm),使得f(x。)= f ' ,0；

8、 m (x 0- m)+ n成立？证明你的结论10 .设函数f(x) = xexasinxcosx(a C R,其中e是自然对数的底数).(1)当a=0时，求f(x)的极值；(2)若对于任意的x |0, I, f(x) >0恒成立，求a的取值范围；(3)是否存在实数a,使得函数f(x)在区间?，2 j上有两个零点？若存在，求出 a的取值范围；若不 存在，请说明理由.11 .已知函数f(x) =ex, g(x) = mx+ n,其中e是自然对数的底数，m, nCR(1)设 h(x) = f(x) g(x). 若函数h(x)的图象在x=0处的切线过点(1 , 0),求m+ n的值； 当n=0

9、时，若函数h(x)在(一1, 十 °°)上没有零点，求 m的取值范围.1 nx(2) 设函数 r(x) = f(x)-%(x),且 n = 4m(m>0),求证：当 x>0 时，r(x) > 1.12 .设函数f(x) =x2lnx ax2+b在点(xo, f(x o)处的切线方程为 y= x+b.求实数a及xo的值；(2)求证：对任意实数be F，e i函数f(x)有且仅有两个零点. 一k (x 2)13 .已知函数f(x) = 1 + lnx,其中k为常数.x 若k=0,求曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程；(2)若k=5,求证：f(x)有且仅有两个零点；(3)若k为整数，且当x>2时，f(x) >0恒成立，求k的最大值.(参考数据：ln8=2.08, ln9=2.20, ln10 =2.30)7、我们各种习气中再没有一种象克服骄傲那麽难的了。虽极力藏匿它，克服它，消灭它，但无