2026《高一数学培优讲义》秋季(学生版)

2026届秋季高一数学培优讲义

2026届秋季高一数学培优讲义

第1讲集合及逻辑用语.......................................................................................1

第2讲基本不等式性质.....................................................................................11

第3讲一元二次不等式.....................................................................................21

第5讲函数之相关概念.....................................................................................32

第5讲函数单调性最值.....................................................................................45

第6讲函数奇偶性专项.....................................................................................57

第7讲幂函数及其应用.....................................................................................66

第8讲指数与指数函数.....................................................................................81

第9讲对数与对数函数.....................................................................................94

第10讲指对函数及应用.................................................................................106

第11讲三角函数与诱导.................................................................................119

第12讲三角函数的性质.................................................................................132

第13讲三角函数及公式.................................................................................147

第14讲图象变换及应用.................................................................................161

第15讲平面向量及运算.................................................................................178

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第1讲集合及逻辑用语

【知识点梳理】

1.1集合的含义：

一些能够确定的不同的对象所构成的整体叫做集合．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）．如：

现在我们班上的所有同学，构成了一个集合，其中每个同学都是这个集合中的一个元素．一般情况下，集合用英

文大写字母A,B,C,表示．元素用英文小写字母a,b,c,表示；不含任何元素的集合叫做空集，记作．

1.2元素与集合的关系：

如果a是集合A中元素，则a属于A，记作aA；如果a不是集合A中元素，则a不属于A，记作aA．

1.3某些常见的数集（数集即元素是数的集合）的写法：

自然数集正整数集整数集有理数集实数集

NN或NZQR

1.4元素的性质

①确定性：集合中的元素是确定的，不能模棱两可．②互异性：集合中的元素是互不相同的．

③无序性：集合中的元素是无次序关系的．

1.5集合的表示法

列举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示，

并写在大括号“{}”内的表示集合的方法．例如：{1，2，3，4，5}，{1，2，3，4，5，}．

描述法（又称特征性质描述法）：

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，形如{xA|p(x)}，p(x)称为集合的特征性质，x称

为集合的代表元素．例如：大于的所有整数用描述法表示为．

3{xZ|x3}

图示法：用平面内的一个封闭曲线的内部表示一个集合，这个区域通常叫做维恩（Venn）图．

区间表示法：设a，bR，且ab，

定义名称符号数轴表示

{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]

{x|axb}开区间(a，b)

{x|a≤xb}左闭右开区间[a，b)

{x|x≥a}[a，)

一类特殊的区间

{x|x≤a}(，a]

1.6子集：对于两个集合A，B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A为集合B的子

集，记作AB（或BA），读作“A包含于B”（或“B包含A”）．规定：是任意集合的子集．

如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，记作AB或BA．

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1.7真子集：如果集合AB，且存在元素xB，但xA，我们称集合A是集合B的真子集，

记作AB（或BA），读作A真包含于B（B真包含A）．规定：是任意非空集合的真子集．

1.8集合相等：如果集合A是集合B的子集（AB），且集合B是集合A的子集（BA），此时，集合A与

集合B中的元素是一样的，我们说集合A与集合B相等，记作A=B．

1.9交集：对于两个给定的集合A、B，属于A又属于B的所有元素构成的集合叫做A、B的交集，记作“AB”．

集合AB用符号语言表示为：ABx|xA且xB，

1.10并集：对于两个给定的集合A、B，由两个集合所有元素构成的集合叫做A与B的并集，记作“AB”．

集合AB用符号语言表示为ABx|xA或xB;

1.11补集：①全集：如果所研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，常用U表示．

②补集：如果给定集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在U中的

ðð，且

补集，记作“UA”．读作“A在U中的补集”．A在U中的补集的数学表达式是UAx|xUxA．

1.12命题：用语言、符号或式子表达的，能够判断真假的语句叫做命题，一般可以用一个小写英文字母表示，如

p，q，r，．其中判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题．

1.13充分必要条件：如果p可推出q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．

一般地，如果pq，且qp，则称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作pq，显然

q也是p的充要条件，此时又常说“q当且仅当p“或“p与q等价”．

如果pq，且q¿p，则称p是q的充分不必要条件，称q为p的必要不充分条件．

1.14全称量词：短语“所有”、“一切”、“每一个”，在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，

并用符号“”表示．

1.15全称命题：含有全称量词的命题．全称命题的符号：”对集合M中所有x，p(x)“记为：xM，p(x)．

1.16存在量词：短语“有一个”、“有些”、“至少有一个”在陈述中表示所述事件的个体或部分，逻辑中通常叫做

存在量词，并用符号“”表示．

1.17存在性命题：含有存在量词的命题就叫做存在性命题，又叫特称命题．存在性命题的符号：“存在集合M中

的元素x，q(x)”记为：xM，q(x)．

1.18存在性命题的否定：

存在性命题p：xA，p(x)；它的否定是p：xA，p(x)．

将存在量词变为全称量词，再否定它的性质．

1.19全称命题的否定：

全称命题q：xA，q(x)；它的否定是q：xA，q(x)．

将全称量词变为存在量词，再否定它的性质．

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【类型1描述法表示集合的正确理解】

12

【题1】已知集合AxxN,N，则集合A的真子集个数为（）

6x

A．32B．4C．5D．31

6

【题2】集合AZxN*，用列举法可以表示为（）

3x

A．3,6B．1,2,4,5,6,9

C．6,3,2,1,3,6D．6,3,2,1,2,3,6

*12

【题3】集合xN|Z中含有的元素个数为（）

x

A．4B．6C．8D．12

【类型2根据元素与集合的关系求参数】

2

【题4】已知集合A0,m,m3m2，且2A，则实数m的值为（）

A．3B．2C．0或3D．0或2或3

1

【题5】设集合A,1,1,2，Bx2x2m2xm0，若AB1，则实数m______.

2

2

【题6】已知集合P1,2a1,a1，若0P，则实数a的取值集合为（）

111

A．,1B．1,1C．,1D．,1,1

222

【类型3根据集合中元素的个数求参数】

【题7】若集合A{x|kx24x40}只有一个元素，则实数k的取值集合是_________

【题8】若集合Axax2ax10,xR不含有任何元素，则实数a的取值范围是________．

【题9】若集合A{x|ax2ax10}，则实数a的取值集合为（）

A．{a|0a4}B．{a|0a4}C．{a|0a4}D．{a|0a4}

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【类型4A∪B=A，A∩B=B,的等价应用】

【题10】已知集合Ax2x4，Bxa1x2a1,aR.

若ABA，求实数a的取值范围.

【题11】已知集合A{x|4x20}，集合B{x|mx1m}.

(1)求A.

(2)求ABA，求m的取值范围.

222

【题12】已知集合Axx4x30，Bxx2axaa30.

(1)若a1，求AB；

(2)若ABA，求a的取值集合.

【类型5利用venn图解决集合问题】

【题13】某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售

出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店这三天售出的商品最少有（）．

A．25种B．27种C．29种D．31种

【题14】某疫情防控志愿者小组有20名志愿者，由党员和大学生组成，其中有15人是党员，有9人是大学生，

则既是党员又是大学生的志愿者人数为（）

A．2B．3C．4D．5

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【题15】向某50名学生调查对A，B两事件的态度，其中有30人赞成A，其余20人不赞成A；有33人赞成B，

其余17人不赞成B；且对A，B都不赞成的学生人数比对A，B都赞成的学生人数的三分之一多1人，则对A，B

都赞成的学生人数为（）

A．18B．19C．20D．21

【类型6充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比】

角度1：“是”标志词

x1

【题16】已知p:0,q:2x1，则p是q的（）条件.

x2

A．充分不必要B．必要不充分

C．充要D．既不充分也不必要

x5

【题17】设xR，则“0”是“x14”的（）

2x

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

x

【题18】“2”是“x23x20”的（）

x1

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

角度2：“的”标志词（倒叙结构）

5x

【题19】（多选）若p：1，则p成立的一个充分不必要条件是（）

x1

A．1x2B．2x1C．2x5D．2x5

【题20】若不等式x2a成立的一个充分条件为0x1，则实数a的取值范围是（）．

A．a2B．a2C．a2D．a2

【题21】已知a0，若不等式x1a的一个必要条件为0x3，则实数a的取值范围是（）

A．a1B．a2C．0a1D．0a2

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【题22】命题“1x2,3x2a0，”为真命题的一个充分不必要条件是（）

A．a3B．a2C．a4D．a2

【类型7存在量词命题、全称量词命题的综合应用】

角度1：法

【题23】若命题“xR，使得ax2(a1)x10”是真命题，则实数a的取值集合是（）

A．1,0B．1C．{a|1a0}D．

2

【题24】若命题“x0R，x0(a1)x010”是真命题，则实数a的取值范围是()

A．1a3B．1a3

C．a1或a3D．a1或a3

【题25】命题“xR,x2mx2m30”为真命题，则实数m的取值范围是（）

A．2m6B．2m6

C．m2或m6D．m2或m6

【题26】已知命题“xR,ax24x10”是假命题，则实数a的取值范围是（）

A．a4B．0a4C．a4D．0a4

角度2：分离变量法

【题27】已知0x4使x22x5m0是真命题，则m的取值范围为（）

A．m5B．m13

C．m4D．m13

2

【题28】若命题“1x02,x02a”是假命题，则实数a的范围是（）

A．a2B．a2C．a2D．a2

【题29】命题“1x2，x2xa0”为假命题，则a的取值范围为（）

1

A．a2B．aC．a2D．a6

4

【题30】命题“1x3，x22xa0”为真命题的充要条件是（）

A．a1B．a1

C．a3D．a3

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名校真题练

【练习1】设集合A＝{x|2a＜x＜a+2}，B＝{x|x＜﹣3或x＞5}，

若A∩B＝∅，则a的取值范围是（）

A．B．C．D．

【练习2】已知x，y∈R，则使x＞y成立的充分条件为（）

A．B．C．x2＞（y+1）2D．（x﹣1）3＞y3

【练习3】以下五个式子中，错误的个数为（）

①{1}∈{0，1，2}；②{1，﹣3}＝{﹣3，1}；③{0，1，2}⊆{1，0，2}

④∅∈{0，1，2}；⑤∅∈{0}．

A．5B．2C．3D．4

【练习4】已知命题p：∀x∈R，ax2+2x+3＞0为真命题，则实数a的取值范围是（）

A．B．C．D．

【练习5】命题，则¬p是（）

A．B．

C．或x﹣1＝0D．或x﹣1＝0

【练习6】设集合M＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k﹣1，则M∩N＝（）

A．{x|x＝2k+1，k∈Z}B．{x|x＝3k﹣1，k∈Z}

C．{x|x＝6k+1，k∈Z}D．{x|x＝6k﹣1，k∈Z}

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【练习7】集合S＝{x|x＝m+，m∈Z}，P＝{x|x＝+，Q＝{x|x＝，k∈Z}（）

A．S⊂P⊂QB．S⊂P＝QC．S＝P⊂QD．P⊂Q⊂S

【练习8】设m∈R，命题“存在m≥0，使mx2﹣mx﹣1＝0有实根”的否定是（）

A．任意m≥0，使mx2﹣mx﹣1＝0无实根B．任意m＜0，使mx2﹣mx﹣1＝0有实根

C．存在m≥0，使mx2﹣mx﹣1＝0无实根D．存在m＜0，使mx2﹣mx﹣1＝0有实根

【练习9】若集合M满足：M≠∅，若a∈M，则﹣a∈M，B＝{x|x≤1}，那么下列集合中为“偶集合”的是（）

A．A∩BB．A∪BC．A∩（∁RB）D．（∁RA）∩B

【练习10】某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组

的学生有22人，则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是（）

A．20B．21C．23D．25

【练习11】（多选）已知命题p：x2﹣5x+4≤0，则命题p成立的一个充分不必要条件是（）

A．1≤x＜2B．2＜x≤4C．1≤xD．x≤4

【练习12】（多选）下列说法正确的是（）

A．“”是“a＜b”的充分不必要条件

B．A∩B＝∅是A＝∅的必要不充分条件

C．若a，b，c∈R，则“ac2＞bc2”的充要条件是“a＞b”

D．若a，b∈R，则“a2+b2≠0”是“|a|+|b|≠0”的充要条件

【练习13】若“∃x∈[，2]，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围为．

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【练习14】设集合，B＝{x||x2﹣ax|≤2}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围

是．

【练习15】已知全集U＝R，集合A＝{x|x2+2x＜3}，B＝{x|﹣3＜3x﹣a＜6}．

（1）若a＝3，求A∪（∁UB）；

（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求a的取值范围．

【练习16】已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}，B＝{x|m﹣3≤x≤3m+3}．

（1）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围；

（2）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．

【练习17】已知集合A＝{x∈R|ax2﹣3x+2＝0，a∈R}．

（1）若A是空集，求a的取值范围；

（2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；

（3）若A中至少有一个元素，求a的取值范围．

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【练习18】已知集合A＝{1，2}和非空集合B＝{x|x2﹣2ax+a＝0}，C＝{x|x2﹣mx+3≥0}．

（1）若命题P：“∀x∈B，都有x∈A”为真命题，求实数a的取值；

（2）若“x∈C”是“x∈A”的必要条件，求实数m的取值范围．

【练习19】已知函数y＝ax2﹣（a+1）x+1，a∈R．

（1）若a＝2，当x＞1时，求的最小值；

（2）求关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＞0（a＞0）的解集；

（3）当a＜0时，已知A＝{x|﹣2≤x≤﹣1}，B＝{x|y+a＞0}，求a的取值范围．

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第2讲基本不等式性质

【知识点梳理】

ab

1.1均值定理：如果a，bR（R表示正实数），那么≥ab，当且仅当ab时，有等号成立．

2

此结论又称均值不等式或基本不等式．

22

ababab

1.2均值不等式推广：ab≤≤，其中ab≤需要前提条件a,bR．

222

aba2b2

叫做a，b的算术平均值，ab叫做a，b的几何平均值，叫做平方平均值．

22

可以认为基本元素为ab，ab，a2b2；其中任意一个为定值，都可以求其它两个的最值．

【注】在利用均值定理求某些函数的最值时，要注意以下几个条件：

①一正：函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可以先进行转化，再运用

均值不等式；实际过程中，两项全是负的其实也可以用均值，提出一个负号即可．所以说“一正”这个条件可以扩展

为“同号”

②二定：函数式中含变量的各项的和或积或平方和必须是定值；特殊情况下，至少要求各项的和、积、平方

和是一个可化简的定式

③三相等：只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值．否则不能由均值不等式

求最值，只能用函数的单调性求最值．需要注意，只要满足条件①，即使等号不成立，不等号也是一定成立的．这

种均值的应用常用于不等式放缩．

1.3求两个正数和的最小值

1．利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数．通常要通过添加常数、凑

分母等方式进行构造．

2．对于分子分母的最高次数为平方关系的分式函数fx，可以经过适当的变形，把含有x的部分最终化为

a

gxb的形式，进而利用均值不等式处理函数的最值．

gx

【注】事实上，处理此类问题的实质是去寻找定值，把给定的式子整理为可以找出其乘积为定值的形式，进

而处理原式子的最值．求分式函数的最值在以后的解析几何中会比较常出现．

1.4求两个正数积的最大值

利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，调整系数，使其和为常数．通常要通过乘以或

除以常数、平方等方式进行构造．

2

ab

【注】此类题型中一般用到不等式ab≤的形式，其中ab为定值．若ab为定值，通过调整系

2

2

1≤1ab，

数，可以得到abab（R）的形式．

2

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【类型1直接法】

4

【题1】yx(x1)的最小值为（）

x

A．2B．3C．4D．5

1

【题2】若x0，则x的最大值为（）

x

3

A．2B．22C．D．2

2

9

【题3】若x0，则x2有（）

x

A．最小值6B．最小值8

C．最大值8D．最大值3

x2

【题4】函数y(x0)的最小值是________.

2x

4

【题5】若x0，则x的最小值为________________．

x

【类型2凑配法】

2

【题6】（多选）已知a1，则2a的取值可以是（）

a1

A．5B．6C．7D．8

4

【题7】已知x0，则2x的最小值为__________.

2x1

1

【题8】若x2，则fxx的最小值为___________.

x2

4

【题9】已知x2，则x的最小值是______．

x2

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1

【题10】若x1，则x1的最小值为______．

x1

【类型3分离法】

x2x1

【题11】函数yx0的最小值是（）

x

A．2B．3C．4D．5

a2b26

【题12】已知a0，b0，ab1，则的最小值为（）

ab

A．2B．4C．22D．42

5x2x1

【题13】已知x，求y的最小值______________.

3x1

2x2

【题14】若x1，则函数yx的最小值为（）

x1

A．4B．5C．7D．9

(x1)(x4)

【题15】已知x0，比较两数的大小：______9．

x

x27x10

【题16】已知x1，则函数y的最小值为___________.

x1

【类型4二次与二次（一次）商式（换元法）】

xy

【题17】若实数x，y满足xy0，且xy4，则2的最大值为______.

xy

x2x5

【题18】函数y(x2)的最小值为______．

x2

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x28

【题19】函数y(x1)的最小值为___．

x1

x5x2

【题20】设x0，则函数y的最小值为（）

x1

A．10B．9C．8D．7

【类型5常数代换“1”的代换】

41

【题21】已知a0，b0，3a1，则3b的最小值为（）

ba

A．13B．19C．21D．27

14

【题22】若正实数x，y满足y2，则x的最小值是（）

xy

9

A．4B．C．5D．9

2

41

【题23】已知x,y都是正数，且xy2，则的最小值为（）

x2y1

139

A．B．2C．D．3

155

【题24】已知实数x0,y0满足xyxy，则x4y的最小值为（）

A．8B．9C．7D．10

【题25】已知a0，b0，3ab2ab，则ab的最小值为（）

A．2B．3C．22D．23

41

【题26】设m，n为正数，且mn2，则的最小值为（）

m1n1

13979

A．B．C．D．

4445

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11

【题27】已知a0，b0，且1，则4ab的最小值是（）

ab

A．2B．6C．3D．9

11

【题28】已知正实数x，y满足1，则x4y最小值为______．

xy

21

【题29】已知x0，y0，x2y6，则的最小值为__________．

xy

【类型6消元法】

1

【题30】负实数x，y满足xy2，则x-的最小值为（）

y

A．0B．1C．2D．3

【题31】已知x1,y1,x1y12，则2x4y的最小值是（）

A．14B．626C．8D．426

【题32】已知正实数a，b满足ab2a20，则4ab的最小值是（）

A．2B．422C．432D．6

【题33】若正数x,y满足x23xy10，则xy的最小值是___________.

【类型7对勾函数】

4

【题34】函数yx(x3)的最小值为（）

x

13

A．B．2C．3D．4

3

x25

【题35】求函数y的最值.

x24

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9

【题36】若x3，则yx的最小值是（）

x1

21

A．6B．5C．D．3

4

4

【题37】已知x6，求yx的最小值___________

x2

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名校真题练

【练习1】已知1≤a≤2，﹣1≤b≤4，则a﹣2b的取值范围是（）

A．[﹣7，4]B．[﹣6，9]C．[6，9]D．[﹣2，8]

【练习2】（）下列不等式中成立的是（）

A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2B．已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，则

C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则

【练习3】若1＜a＜3，﹣4＜b＜2，那么a﹣|b|的范围是（）

A．﹣3＜a﹣|b|≤3B．﹣3＜a﹣|b|＜5C．﹣3＜a﹣|b|＜3D．1＜a﹣|b|＜4

【练习4】若正实数x，y满足x+y+xy＝8，则下列结论不正确的是（）

A．x+y的最小值为4B．xy的最大值为4

C．x+2y的最小值为D．x2+y2的最大值为8

【练习5】若a＞0，b＞0且a+b＝3，则的最小值为（）

A．1B．2C．3D．4

【练习6】以下说法正确的是（）

A．的最小值为2B．的最小值为2

C．的最小值为2D．若正实数a，b满足a+b＝1，则的最小值为4

【练习7（多选）】设a，b为正实数，现有下列命题中的真命题有（）

A．若a2﹣b2＝1，则a﹣b＜1B．若，则a﹣b＜1

C．若，则|a﹣b|＜1D．若|a3﹣b3|＝1，则|a﹣b|＜1

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【练习8（多选）】以下正确的选项是（）

A．若a＞b，c＜d，则a﹣c＞b﹣dB．若a＞b，c＜d，则

C．若ac2＞bc2，则a3＞b3D．若a＞b，m＞0，则

【练习9（多选）】已知a＞0，b＞0，且a+2b＝2（）

A．B．C．a2+b2的最小值为D．

【练习10（多选）】下列说法正确的是（）

A．函数的最小值为2

B．若正数x，y满足4x2+9y2+3xy＝30，则xy的最大值是2

C．已知实数x，y满足﹣1＜x+y＜4且2＜x﹣y＜3，则2x﹣3y∈（﹣2，13）

D．若对任意x∈[1，+∞），恒成立，则a＞﹣3

【练习11（多选）】若a＞0，b＞0，且a+4b＝1（）

A．ab有最大值B．有最大值2

C．有最小值5D．a2+16b2有最小值

【练习12（多选）】设正整数a，b满足a+b＝1，则（）

A．B．

C．D．

【练习13】若实数x，y满足﹣1≤2x+3y≤2且﹣3≤x﹣y≤1，则M＝3x+4y的取值范围是．

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【练习14】若2＜x＜8，4＜y＜6，则的取值范围是．

【练习15】已知实数a＞b＞0，当取得最小值时，则的值为．

【练习16】已知0＜a＜2，则的最小值为．

【练习17】某地政府为进一步推进地区创业基地建设，助推创业带动就业工作，拟对创业者提供x（0≤x≤20），

将产量增加到m＝（x+2）万件万元，并以每件（注：收益＝销售金额+创业补助﹣

成本）

（1）求该企业获得创业补助后的收益y万元与创业补助x万元的函数关系式；

（2）当创业补助为多少万元时，该企业所获收益最大？

【练习18】（1）已知x＞﹣1，求的最小值．

（2）已知x＞0，y＞0，且，求x+y的最小值．

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【练习19】（1）已知x＞0，y＞0且xy﹣4x﹣y＝0，求使不等式x+y≥m恒成立的实数m的取值范围．

（2）已知x，y∈（1，+∞），且xy﹣4x﹣y+2＝0

【练习20】（1）若正实数x，y满足2x+y＝2，求的最小值；

（2）若正实数x，y满足，求x+y的最小值．

【练习21】求下列式子的最值．

（1）已知，求的最小值；（2）已知x＞0，y＞0，且，求x+y的最小值．

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第3讲一元二次不等式

【知识点梳理】

1.1对于含有参数的一元二次不等式，解法步骤总结如下：

①首先应判定二次项系数是否为零，分别加以讨论；

②在二次项系数不为零的条件下，将二次项系数化为正的，讨论对应的二次方程是否有根，即讨论判别式的正负；

③在有根的情况下进行因式分解或利用求根公式求出二次方程对应的根；

④比较两根的大小，分别得到参数的范围，写出解集．

⑤最后将可以合并的合并，并按参数的范围分别写出解集．

【注】含参数的一元二次不等式的解答是以后要学习的求导数的单调性的基础，在高考中是必考的，需要对参数

进行各种分类讨论，不重不漏，遵循一定的原则，养成良好的分类习惯．

1.2已知一元二次不等式解集求参数范围

（1）由一元二次不等式的解集的形式考虑对应的二次函数的图象，把解集转换为二次函数的图象与x轴的交点问

题，进而转化为对应的关于参数的不等式，从而解出参数的范围．

（2）我们把含参数的不等式看成一个含有两个变量的不等式．若通过整理，可以将这个不等式中的两个变量分别

调整到不等号的两端，使之每一边仅含有一个变量，这个方法通常叫做分离参数．

对于一个含参不等式，如果我们可以对它分离参数，那么我们不论知道哪一个变量的取值范围，去求另一个的

范围都很容易了，因为我们要研究的都只是一个含有一个自变量的函数的值域问题．

1.3对于含有分式的不等式解法思路：

fxfx

先将不等式整理为0或≥0，再化为整式不等式求解．

gxgx

fxfxfxgx≥0

0fxgx0；≥0

gxgxgx0

1.4含有参数的不等式恒成立问题

【注】解决含有参数不等式恒成立问题，一般都可以转化为一元二次不等式相关的问题，其处理方法大致有两种：

①整体分析法：

将不等式问题转化为含参的一元二次函数的零点分布问题，再利用根的判别式或数形结合的思想，得到相关不等

式，使问题得到解决；

②参数分离法：

将参数分离出来，将恒成立问题转化为求函数最大值或最小值的问题．

一般参数容易分离时，第②个方法比较容易；当参数不容易分离或分离后得到的函数太复杂时，再考虑用整

体分析法，通过数形结合与分类讨论得到结果．

还有一种不是很常用的方法，不等式含有两个变量时，可以灵活的将代数式看成其中任一个变量的函数，复杂程

度往往有很大的区别．

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【类型1一元二次不等式（不含参）的求解】

【题1】不等式15x6x20的解集为（）

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A．{xx1或x}