2022年2圆周角定理与垂径定理教师

1、毕业班解决方案模块课程初三数学 .圆周角定理与圆内接图形.教师版page 1 of 15 圆周角定理与圆内接图形 2015 年中考解决方案学生姓名：上课时间：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - -毕业班解决方案模块课程初三数学 .圆周角定理与圆内接图形.教师版page 2 of 15 内容基本要求略高要求较高要求旋转了解图形的旋转，理解对应

2、点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前、后的图形，指出旋转中心和旋转角能 运 用 旋 转 的 知识解决简单问题圆心角和圆周角1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1的圆心角，我们也称这样的弧为1的弧圆心角的度数和它所对的弧的度数相等2.圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角3.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等推论 2：半圆 (或直径 )所对的圆周角是直

3、角，90的圆周角所对的弦是直径推论 3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形4.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等5.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等6.圆的基本性质有：直径所对的圆周角是直角同弧所对的圆周角相等经过圆心及一弦中点的直线垂直平分该弦7.不在同一直线上的三个点确定一个圆8.圆的内接四边形对角互补，外角等于内对角自检自查必考点圆周角定理中考说明精品学习资料 可选择p d f - - - -

4、- - - - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - -毕业班解决方案模块课程初三数学 .圆周角定理与圆内接图形.教师版page 3 of 15 模块一 圆周角定理【例 1】若oe的一条弧所对的圆周60，则这条弧所对的圆心角是（）a30b60120以上答案都不对【答案】【例 2】如图，bc是圆o的弦，圆周角50abc,则oca的度数是 _ bcao【答案】40【例 3】如图，oe正方形abcd的外接圆，点

5、p在oe上，则apb等于（）opdcbaa30b45c55d60【答案】45【例 4】如图，点c在oe上，将圆心角aob绕点o按逆时针方向旋转到a ob,旋转角为，（0）若30aob,40bca,则_ ocbaba【答案】110【例 5】如图，ab是oe的直径，cd是oe的弦。若48dab,则acd=_ bodca中考必做题精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - -

6、- - - - - -毕业班解决方案模块课程初三数学 .圆周角定理与圆内接图形.教师版page 4 of 15 【答案】42【例 6】如图，点abc、 、都在oe上，且点c在弦ab所对的优弧上，若50abo，则acb是（）ocbaa20b25c40d50【答案】 c 【例 7】如图，abc的外接圆上，,ab bc ca三弧的度数比为12 13 11自bc上取一点d,过d分别作直线,ac ab的并行线，且交?bc于,e f两点，则edf的度数为（）a55b60c65d70fedcba【答案】【例 8】如图，oe中，弦abcd、相交于点p若3070aapd，则b等于（）opdbcaa30b35c4

7、0d50【答案】【例 9】如图，已知oe的直径8abcm，c为oe上的一点，30bac,则bc_ ocba【答案】4cm精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - -毕业班解决方案模块课程初三数学 .圆周角定理与圆内接图形.教师版page 5 of 15 【例 10】 如图，在以ab为直径的半圆o中，c点是它的中点，若2ac,则abc的面积是（）o

8、cba【答案】2【解析】考查直径所对圆周角为90，90acb,?1,2.2abcacbcacbcsq【例 11】 如图所示，ab为oe的直径，cd为弦，且cdab，垂足为h（1）如果oe的半径为4，4 3cd，求bac的度数；（2）若点e为 ?adb的中点，连接oece，求证：ce平分ocd；（3）在（1）的条件下，圆周上到直线ac距离为3的点有多少个？并说明理由【答案】（1）解： ab为oe的直径，cdab12 32chcd在rt coh中，3sin2chcohoc60coh1302baccoh（2）证明：点e是?adb的中点oeab又cdab，oecdecdoec又oecoceocedce

9、ce平分ocd（3）解：圆周上到直线ac的距离为 3 的点有 2 个因为圆弧?ac 上的点到直线ac的最大距离为2，?adc 上的点到直线ac的最大距离为6，236，根据圆的轴对称性，到直线ac距离为 3 的精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - -毕业班解决方案模块课程初三数学 .圆周角定理与圆内接图形.教师版page 6 of 15 点有

10、2 个【例 12】 如图，oe是abc的外接圆，ab是oe的直径，d为oe上一点，odac，垂足为e，连接bd（1）求证：bd平分abc；（2）当30odb时，求证：bcod【答案】证明：（1） odacod，为半径，?cdadcbdabd，bd平分abc；（2）obod，030obddb，303060aodobdodb，又odac于e，90oea，180180906030aoeaaod，又ab为oe的直径，90acb，在rt acb中，12bcab12odabbcod模块二 三角形外接圆【例 13】 如图，在平面坐标系中，已知一圆弧过小正方形网格的格点,a b c,a点的坐标是(3,5)，则

11、该圆弧所在圆的圆心坐标是_ oyxcba精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - -毕业班解决方案模块课程初三数学 .圆周角定理与圆内接图形.教师版page 7 of 15 【答案】1,0【例 14】 如图所示，abc内接于oe，若28oab，则c的大小是（）obcaa56b62c28d32【答案】 b 【例 15】 如图， o 是等边三角形ab

12、c 的外接圆，o 的半径为2，则等边三角形abc 的边长为（）ocbaa3b5c2 3d2 5【答案】 c【解析】此题主要考查等边三角形外接圆半径的求法ocba解：连接oa，并作odab于d，则30oad，2oa，cos303adoag，2 3ab【例 16】 如图， abc 是 o 的内接三角形，ad bc 于 d 点，且 ac=5 ，cd=3 ，ab=4 ，则 o 的直径等于（）dobcaa522b3 2c5 2d【答案】 c 【解析】此题主要考查等边三角形外接圆半径的求法,利用直径所对的圆周角是90 度构造直角三角形是常精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - -

13、- - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - -毕业班解决方案模块课程初三数学 .圆周角定理与圆内接图形.教师版page 8 of 15 用的辅助线方法edobca解：作直径ae，连接be，adbc，adc是rt，由勾股定理得4ad acd= aeb ， （同弧圆周角相等）90abe， （半圆上的圆周角是直角）adcabe，:ae acab ad， 54 25 24ae，则直径5 2ae【例 17】 如图所示， 点a

14、、b、p在oe上，且50apb若点m是oe上的动点， 要使abm为等腰三角形，则所有符合条件的点m有（）a1 个b2 个c2 个d4 个opba【答案】 d 【解析】50apbq,弦ab不是直径，apb不是等边三角形 （ 1）当mamb时，mab是等腰三角形，这时m点是弦ab的垂直平分线与圆o的交点，有两个； （2）当abam时，这样的m点只有一个（3）当abmb时，这样的m点只有一个综上可得符合条件的点m有4 个【例 18】 已知：如图，abc内接于oe, ab为oe的直径，5 2acbc, 点d是?ac上一个动点，连结,ad cd bd, bd与ac相交于点e, 过点c作pccd于c, p

15、c与bd相交于点p,连结op和ap. (1) 求证：adbp; （2）如图 1，若1tan2acd， 求证：dcap；（3) 如图 2，设adx, 四边形apcd的面积为y,求y与x之间的关系式 . 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - -毕业班解决方案模块课程初三数学 .圆周角定理与圆内接图形.教师版page 9 of 15 图一epobc

16、da图二pecdoba【答案】 (1) 证明 : pccd, ab为oe的直径90dcpacbadbdcpacdacp，acbacpbcpacdbcpacbcabc是等腰直角三角形45bac45bdcbacdcp是等腰直角三角形dcpc，adcbpc，adbp(2)证明： abdacd1tantan2abdacd，12adbd，12pbbd，p是bd的中点， adpbpd，adp是等腰直角三角形45apd， apdbdc，dcap（3）解：acpacdacpbcpabcabpyssssss=21252x（05 2x）【例 19】 已知，如图，在abc中，abac,以ab为直径的oe分别交bc、

17、ac于点d、e,连结eb交od于点f（ 1）求证：odbe；（ 2）若5de,5ab,求ae的长fdbocea【答案】 （1）联结adab是oe的直径，90adbaeb,abaccdbdq,oaobodacqp,odbe精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - -毕业班解决方案模块课程初三数学 .圆周角定理与圆内接图形.教师版page 10 of

18、 15 （2）方法一：90cebaebq，,5,5cdbd abde. 5,22 5acabbcde.在abe、bce中，90cebaeb，设aex，则有2222abaebcec，22225(25)(5)xx解得：3x，3ae方法二：,odbebdde bfefq设1,2aexofx， 在obf、bdf中，90ofbbfd2222bddfobof5de，5ab，2251(5)()22x，解得：3,3xae方法三：,beac adbcqbe ac ad bc, 1122abcsbc adac begg，bc adac begg，22 5,5bcdeacabq4,be3aefdbocea【例 20

19、】 我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆例如线段ab的最小覆盖圆就是以线段ab为直径的圆（1）请分别作出图1 中两个三角形的最小覆盖圆；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论；（不要求证明）（3）某地有四个村庄efgh， ， ，（其位置如图2 所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？请说明理由精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 15

20、 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - -毕业班解决方案模块课程初三数学 .圆周角定理与圆内接图形.教师版page 11 of 15 【答案】： （1）如图所示：（2）若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆（3）此中转站应建在efh的外接圆圆心处 （线段ef的垂直平分线与线段eh的垂直平分线的交点处）理由如下：47.835.182.9hefhegge

21、f，50.047.1ehfefh，efh是锐角三角形，所以其最小覆盖圆为efh的外接圆，设此外接圆为oe，直线 eg 与oe交于点 em，则50.053.8emfehfegf故点 g 在oe内，从而oe也是四边形efgh的最小覆盖圆所以中转站建在efh的外接圆圆心处，能够符合题中要求模块三 圆的内接四边形【例 21】 下列关于圆内接四边形叙述正确的有（）个圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - -

22、- - - - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - -毕业班解决方案模块课程初三数学 .圆周角定理与圆内接图形.教师版page 12 of 15 圆内接四边形对角相等；圆内接四边形中不相邻的两个内角互补；在圆内部的四边形叫圆内接四边形a1 b2 c3 d4 【答案】 b 【例 22】 如图，四边形abcd 是圆内接四边形，e 是 bc 延长线上一点，若bad=105 ，则 dce 的大小是（）edcbaa115b105c100d95【答案】 b 【解析】考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补也考查了邻补角的定义以及等角的补角相等解： 四

23、边形 abcd 是圆内接四边形，180badbcd，而180bcddce，dcebad，而105bad， 105dcedce【例 23】 已知：四边形abcd是oe的内接四边形，50d，则abc等于（）a100b110c120d130【答案】 d 【解析】考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补也考查了邻补角的定义以及等角的补角相等解： 四边形abcd是oe的内接四边形180abcd50d180130abcd【例 24】 四边形 abcd 为 o 的内接四边形，若bcd=110 ，则 bad 为（）a140b110c90d70accbo精品学习资料 可选择p d f - - - - -

24、 - - - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - -毕业班解决方案模块课程初三数学 .圆周角定理与圆内接图形.教师版page 13 of 15 【答案】 d 【解析】考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补【题 1】 如 图 ， 点,a b c d都 在oe上 ，?cd的 度 数 等 于84，ca是ocd的 平 分 线 ， 则abdcao_ ocbda【答案】48【解析】q?cd的度数为84

25、，84doc,故18084482ocdodc, 又oacacoacd,12abdacdocd, 48abdcao【题 2】 如图，oe是等边三角形abc的外接圆，点p在劣弧?ab上，22abp,则bcp的度数为_ ocpba【答案】38【解析】同弧所对圆周角相等因为abc是等边三角形，所以60acb,22acpabp, 602238bpcacbabp【题 3】 在数轴上，点a所表示的实数为3，点b所表示的实数为a，ae的半径为2下列说法中不正确的是（）a当5a时，点b在ae内b当5a点b在ae内课后作业精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第

26、13 页，共 15 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - -毕业班解决方案模块课程初三数学 .圆周角定理与圆内接图形.教师版page 14 of 15 c当a时，点b在ae外d当5a时，点b在ae外【答案】 a 【解析】由图可知b当5a时点b在ae内；当5a或 1 时点b在ae上；当a或5a点b在ae外a543-1021o【题 4】 如图，35bac,40ced,则bod的度数是（）a75b80c150d135oaedcb【答案】 d 【解析】考查同弧所对圆