小结无穷级数35080

1、1. 部分和部分和:nnkknuuuus 2112. 部分和数列部分和数列: ,21nsss3. 收敛收敛:ssnnlim称级数收敛称级数收敛sunn1nnssr称为级数余项称为级数余项极限不存在极限不存在,称级数发散称级数发散例例1. 判断下列级数的部分和判断下列级数的部分和,并判断其敛散性并判断其敛散性:(1). )!1(1)!(1)!1(11)!1( nnnnnnun解：解： 1)!1(nnn级数收敛其和是级数收敛其和是1(2).)( 1)!1(11)!1(1!1()! 31! 21()! 211( nnnnsn 1212nnn)2(212232232121)1(212252321132

2、32 nnnnnnnsns解解：级数收敛其和是3(3). nnslim故故级数发散111132232232122112121221212122121)2()1( nnnnnnnnns得得3lim2321lim nnnnss即即故有故有)1(1nnn 11)1()23()12( nnnsn 1212nnn级数收敛其和是级数收敛其和是3二二. 数项级数的性质数项级数的性质性质性质1若级数若级数 收敛于和收敛于和 s, k 为常数为常数,则则1nnuksukkunnnn 11推论推论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数后级数的每一项同乘一个不为零的常数后,敛散性不变敛散性不变性质性质2. 两个收敛级

3、数可以逐项相加或逐项相减两个收敛级数可以逐项相加或逐项相减 111)(nnnnnnnsvuvu 性质性质3. 改变有限项不影响级数的敛散性改变有限项不影响级数的敛散性例例2:)3121(1nnn因为因为 和和 都收敛都收敛131nn121nn级数收敛级数收敛性质性质4. 收敛级数各项加括号后所得新级数仍收敛且和不变收敛级数各项加括号后所得新级数仍收敛且和不变注意注意: (1). 加括号后所得新级数发散加括号后所得新级数发散,则原级数发散则原级数发散.(2). 加括号后所得新级数收敛加括号后所得新级数收敛,原级数不一定收敛原级数不一定收敛.例如例如: (11)+ (11)+ (11)+.收敛收敛

4、而而11+11+11+.发散发散.性质性质5.(级数收敛必要条件级数收敛必要条件)若级数若级数 收敛收敛,则则1nnu0limnnu注意注意:(1). 若若 ,则级数则级数 发散发散1nnu0limnnu(2). 时时,级数级数 不一定收敛不一定收敛0limnnu1nnu判断级数发散判断级数发散的第一步骤的第一步骤01limlimnunnn例如例如:调和级数调和级数 n131211但级数发散但级数发散(2)11)1(nnnn1) 1(limlimnnunnnn不存在不存在级数发散级数发散例例3. 判断级数敛散性判断级数敛散性:(1)11100nnn010011100limlimnnunnn级数

5、发散级数发散(3) 12)1cos1(nnn021)2(121sin21lim21sin2lim)1cos1 (limlim22222nnnnnnunnnnn发散故原级数发散.lim) 1()()()(3)(2)(.)(,111112101231201111收敛存在则项和为的前记项和为的前记nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnasansnasnaaaaaaanaaaaaanaansna收收敛敛证证明明收收敛敛收收敛敛已已知知数数列列例例 111,)(,. 4nnnnnnnaaannax 数项级数的审敛法数项级数的审敛法一一.正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法每一项都非负每一项都非负其部

6、分和数列有界其部分和数列有界定理定理1(基本定理基本定理)正项级数正项级数 收敛的充要条件是收敛的充要条件是1nnu定理定理2(比较审敛法比较审敛法)1nnu设设 和和 都是正项级数都是正项级数,1nnv且且)., 2 , 1( nvunn1nnu1nnv若若 收敛收敛,则则 收敛收敛;1nnu1nnv若若 发散则发散则 发散发散.注意注意: 定理定理2可以与第一节的性质相结合可以与第一节的性质相结合,灵活运用灵活运用.定理定理3(比较审敛法极限形式比较审敛法极限形式)设设 和和 都是正项级数都是正项级数,1nnu1nnv如果如果)0(limllvunnn则则 和和 同时收敛或同时发散同时收敛

7、或同时发散.1nnu1nnv定理定理4.(比值审敛法比值审敛法)设设 是正项级数是正项级数,1nnu如果如果nnnuu1lim则则:10).1 (1).2(收敛收敛;发散发散;1).3(无法确定无法确定.定理定理5.(根值审敛法根值审敛法)设设 是正项级数是正项级数,1nnu如果如果nnnulim则则:10).1 (1).2(收敛收敛;发散发散;1).3(无法确定无法确定.(证明略证明略)例例 证明证明 nn13121132收敛收敛并估计以并估计以 近似代替和近似代替和 s 所产生的误差所产生的误差ns01limlimnunnnn解解则级数收敛则级数收敛 321)3(1)2(1)1(1|nnn

8、nnnnrnnnnnnnnn)1(1)1(1)1(1)1(1321 pppn131211例例: p-级数的敛散性级数的敛散性解解0p时时,级数显然发散级数显然发散.因为因为 , 而而 发散发散,则则 p-级数发散级数发散nnp1111nn1p时时,)+=()()()(spppppppppn 它的各项不大于下面的等比级数各项它的各项不大于下面的等比级数各项+=+mppppppppppppp)()()()()()( 收敛收敛收敛收敛因此因此 p-级数的部分和有界级数的部分和有界,故收敛故收敛. 发散发散 收敛收敛1p1p10 p时时,例例5. 判断级数敛散性判断级数敛散性:1)2)(1(1).1

9、(nnn21)2)(1(1nnn而而 收敛收敛121nn收敛收敛1) 1(14).2(nnnnnnnnnnn24) 1(1422而而 发散发散1)211 (22nn发散发散nnn1sin1).3(1231111sin1nnnnn而而 收敛收敛1231nn收敛收敛dxxxnn 1102)1().4(2310102)1(3210ndxxdxxxunnn 由由于于而 收敛231)1(32 nn收敛 1ln)(ln1).5(nnnnnnnnnenulnln)ln(lnlnln11)(ln1 时时时时，即即当当22lnlneenn 收敛例例6. 判断级数敛散性判断级数敛散性:!10).1 (1nnn)0

10、( :!).2(1annannnnnnuu1lim1010!)!1(10lim1nnnnnnnnuu1limeanannnannnnn!) 1()!1(lim11收敛收敛当当级数发散时级数收敛时,.,eaea1!nnnnneea此时原级数为时，比值法失效，当enneuunnnn)11 ( , 1)11 (110limnnu故发散发散:)(ln).3(1lnnnnnn1)1(2).4(nnnnnnulim1212lim)1(nnnnnennnnnnnnlnlimlnlim2lnln由于0lnlim2nnnnnnulim收敛收敛0 故故二二.任意项级数及其审敛法任意项级数及其审敛法各项为任意实数的

11、级数1. 交错级数:11) 1(nnnu,.)2 , 1, 0( ,) 1(1nuunnnn或定理6 (莱布尼兹定理)若交错级数11) 1(nnnu满足:0lim).(,.)2 , 1( ;).(1nnnnuiinuui则级数收敛,且其和 ,其1us 1|nnur证)()()(21243212nnnuuuuuus 1543212)()(uuuuuusn 单调有界12limussnnsussnnnnn)(limlim122121limussnn则同理.|121 nnnnuuur交错级数例如 nn1)1(41312111,.)2 , 1( ;111).(1nunnuinn01limlim).(nu

12、iinnn收敛且s 1p 1比较法比较法比值法比值法根值法根值法积分法积分法交错级数交错级数), 2 , 1( 1 nuunn.0lim nnu. u1 un+1._ _,_ 10_. _ 9._ , 1|lim 1lim 8 ._ ._ 711*o*o111o11o且且新新级级数数的的和和为为，则则其其乘乘积积是是新新级级数数，两两个个绝绝对对收收敛敛级级数数其其和和，且且后后，新新级级数数绝绝对对收收敛敛级级数数各各项项重重排排则则级级数数或或者者，若若有有对对级级数数条条件件收收敛敛，是是指指级级数数绝绝对对收收敛敛，是是指指级级数数 nnnnnnnnnnnnnnnnnnvsuuuuuu

13、uu收敛收敛若若 | 1 nnu, | 1发散发散若若 nnu收敛收敛而而 1 nnu必定发散必定发散仍然收敛仍然收敛不变不变 )()(1121122111vuvuvuvuvuvunnn s.）（，则此级数收敛，则此级数收敛满足满足若正项级数若正项级数）（收敛收敛绝对绝对则则收敛收敛收敛收敛若若）（且和不变且和不变收敛收敛则则收敛收敛若若）（收敛收敛）（收敛收敛必必则则发散，发散，若若）（必发散必发散则则收敛收敛若若）（收敛收敛则则收敛收敛若若 .1 14 ., , 13 ., , 12 . )0001. 01( 11 .1 10 .1, 9 ., 811o11212o101o12o11o11

14、o112o nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnuuubabauunuuuuuu.例：例： 11nn111 nnuunn._ _)(2)_;_ _._ _)1(000收收敛敛区区间间的的方方法法是是求求幂幂级级数数是是求求它它的的收收敛敛区区间间的的方方法法收收敛敛半半径径的的方方法法是是求求幂幂级级数数 nnnnnnxxaxa,lim 1 nnnaa求求.先求出先求出r, 令令 y = xx0, , 0 nnnya的收敛区间的收敛区间.;1 , 0 r当当先考虑先考虑再换回再换回 x 的收敛区间。的收敛区间。3. 确定幂级数收敛域确定幂级数收敛域. 0 , r 当当; ,

15、 0 r 当当:r再推得再推得.再考虑端点再考虑端点x=r处的敛散性处的敛散性.4 判断级数敛散性判断级数敛散性1 ).0( 11 1 aann的敛散性的敛散性判断级数判断级数:1 a当当, 111nnaa 收敛，收敛，因级数因级数 1 1 nna. 原原级级数数收收敛敛:1 a当当:1 a当当. 021111limlim nnnu. 原原级级数数发发散散. 0111limlim nnnnau. 原原级级数数发发散散.解：解： 2 . 1)sin( 12的敛散性的敛散性判断级数判断级数 nnnn , 1)sin( 22nnn 因为因为收敛，收敛，而级数而级数 12 1 nn. )sin(12绝

16、绝对对收收敛敛 nnn 发散，发散，而而 1 1 nn. 原级数发散原级数发散.解：解：. )!1( 1 nonnn 时，时，当当 用用级级数数理理论论证证明明：，考虑级数考虑级数 ! 1 nnnnnnnnu! !)1(! )1(limlim11nnnnuunnnnnn nnnn)1(lim 由比值法：由比值法：. ! 1收收敛敛级级数数 nnnn由收敛的必要条件：由收敛的必要条件：0lim nnu0!lim nnnn即即：. 1e1 解：解：3. )!1( 1 nonnn 时，时，当当 . tan)1( )1( ),2, 0( . ) , 2 , 1( 01211的敛散性的敛散性级数级数判断

17、判断常数常数收敛收敛，且，且设设 nnnnnnnnnannuana 收敛，收敛，级数级数 1 nna. 12收敛收敛级数级数 nnannaunnnn tanlimlim 2 因因为为 . 121同同收收敛敛与与级级数数级级数数 nnnnau. )1( 1收敛收敛绝对绝对级数级数 nnnu.解：解：4.) (2的子列的子列项和序列项和序列是前者前是前者前项和序列项和序列后者前后者前nmsnsm.（为什么？）（为什么？）三三. 课堂练习课堂练习. )11e ()1( . 2111的敛散性的敛散性判断级数判断级数 nnnn. )2( )54ln()( . 3其其收收敛敛域域，并并指指出出的的幂幂级级

18、数数展展为为将将函函数数 xxxf. 0)( )( . 11121121的敛散性的敛散性判断级数判断级数 aaannn三三 1. 解答解答. 0)( )( 1121121的敛散性的敛散性判断级数判断级数 aaannn用级数收敛的定义用级数收敛的定义.)()()(121121315131 nnnaaaaaasaan 121 1a )( n所以，原级数收敛，且其和为所以，原级数收敛，且其和为 1 a .三三 2. 解答解答. )11e ()1( 111的敛散性的敛散性判断级数判断级数 nnnnxn 1 令令xxfx 1e)(1e)( xxf)0( 0 x )(xf0)11e ( )11e (11 nnnn且且0)11e ( lim1 nnn又：又：由莱布尼茨定理知级数收敛。由莱布尼茨定理知