高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.3 导数的几何意义课件8 新人教B版选修2-2

1、导数的几何意义 1.由导数的定义可知由导数的定义可知,求函数求函数y=f(x)在点在点x0处处的导数的基本步骤是的导数的基本步骤是:00(1)()();yf xxf x 求函数的增量00()()(2);f xxf xyxx求平均变化率00(3)()lim.xyfxx 取极限，得导数回回顾顾2.函数平均变化率的几何意义过曲线 上的点 割线的斜率。( )yf x00(,()xf x 和00(x,(x)xf x 回顾回顾oabxyy=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y2cl1问 题 : 如 图 直 线 l 是 曲 线 的 切 线 吗 ？呢 ？l2l1ab0

2、xyy=f(x)pqmxyoxypy=f(x)qmxyoxy如图：如图：pq叫做曲线的割线叫做曲线的割线 那么，它们的那么，它们的 横坐标相差（横坐标相差（ ） 纵坐标相差（纵坐标相差（ ） yx请问：是割线pq的什么?xy斜率斜率当当q点沿曲线靠近点沿曲线靠近p时，割线时，割线pq怎么变化？怎么变化？x呢？呢？y呢？呢？pqoxyy=f(x)割割线线切线切线t 我们发现我们发现,当点当点q沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点p即即x0时时,割线割线pq如果有一个极限位置如果有一个极限位置pt.则我则我们把直线们把直线pt称为曲线在点称为曲线在点p处的处的切线切线.yxo)(xfy p相切相交

3、 设切线的倾斜角为设切线的倾斜角为,那那么当么当x0时时,割线割线pq的斜的斜率率,称为曲线在点称为曲线在点p处的处的切切线的斜率线的斜率.即即:00000()( )( )limlimxxf xxf xykf xxx 切线这个概念这个概念: 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; 切线斜率的本质切线斜率的本质函数在函数在x=x0处的导数处的导数.pqoxyy=f(x)割割线线切切线线t( )yf xfffffk 000000 x0 曲线在点（x , (x )）的切线的斜率等于 (x )(x + x)- (x ) 即 (x )=limx导数的几何意义：(2

4、)2fffx 2x0 x0 x0解：过点（1，1）的切线的斜率是(1+ x)- (1)(1+ x) -1(1)=limlimxxlim因此，抛物线过点（1，1）的切线的斜率是2112例：求抛物线y=x 在点（， ）的切线的斜率（4）根据点斜式写出切线方程根据点斜式写出切线方程求求斜斜率率【总结总结】求曲线求曲线y=f(x)y=f(x)在点在点p(xp(x0 0,f(x,f(x0 0)处的切线的方法：处的切线的方法： (1)求y=f(x0+ x)-f(x0)xy求)2(xykx0lim3）（ k=xxfxxfxyxx)()(0000limlim112 24122ffxx x0 x0 x011-(

5、 2 +x ) - ( 2 )2 +2解 ：l i ml i mxxl i m（）所 以 ， 这 条 双 曲 线 过 点 （， ） 的 切 线 的 斜 率1为 -411224yx 由直线方程的点斜式得切线方程为（）即x+4y-4=01221变式1：求双曲线y=在点（ ，）的切线的方程。x2变式2：函数y=x 在点a处的切线与直线4x-y-6=0平行,则点a的坐标为(2,4)53622变式 ：求抛物线y=x 过点（ ， ）的切线方程。2205622()2662560,2 352ffxxxxx 20020000 x0 x0 x0022200000000解：点（ ， ）不在抛物线上，设此切线过抛物线

6、上的点（x ,x）,(x + x)- (x )(x + x)-x limlim=limxx5 所以此抛物线的斜率为2x，又因为此直线过点（ ， ）和点2x （x ,x），所以x 即xx解得x、x 因此，过切点（2，4），（3，9）的切线方程分别为 y-4=4(x-2),y-9=6(x-3). 即所求切线方程为4x-y-4=0,6x-y-9=0. (5)根据点斜式写出切线方程【总结总结】求过曲线求过曲线y=f(x)外点外点p(x1,y1)的切线的步骤：的切线的步骤： xykx0lim2）利用所设切点求斜率（ k=xxfxxfxyxx)()(0000limlim(1) 设切点(x0，f (x0)(

7、3) 用(x0，f (x0)， p(x1,y1)表示斜率表示斜率(4) 根据斜率相等求得x0，然后求得斜率k巩固练习巩固练习: :21(1)22114yxpyxp 曲线上的点 处的切线与直线垂直，则点 的坐标为（4，6）巩固练习巩固练习: :b2(2)1yax 的图象与直线y=x相切，则a=( )111a. b. c. d. 18422ff x0 x0(4+ x)- (4)4+ x解： limlimxx(2)(2)(2) x04+ x4+ x =limx4+ x(2)x x0 =limx4+ x114(2) x0lim4+ x14 241(4)x-4y+4=0.4x这条曲线过点（ ， ）的切线的斜率为得切线方程为y-2=即(3)4 2pyx试求过点（ ， ）且与曲线相切的直线方程。归纳总结归纳总结判断已知点是否在曲线上，若不在曲判断已知点是否在曲线上，若不在曲线上则设切点为线上则设切点为(x0,y0)；利用导数的定义式求切线斜率利用导数的定义式求切线斜