高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 第2课时 利用导数研究函数的最值课件 新人教B版选修2-2

1、第2课时利用导数研究函数的最值第一章1.3.2利用导数研究函数的极值学习目标1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1知识点函数的最大(小)值与导数观察a，b上函数yf(x)的图象，试找出它的极大值、极小值.答案答案答案极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4).如图为yf(x)，xa，b的图象.思考2结合图象判断，函数yf(x)在区间a，b上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？答案答案答案存在，f(x)minf(a)，f(x)maxf(x3).思考3函数yf(x)在a，b上的最

2、大(小)值一定是某极值吗？答案答案答案不一定，也可能是区间端点的函数值.思考4怎样确定函数f(x)在a，b上的最小值和最大值？答案答案比较极值与区间端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值.(1)函数的最值假设函数yf(x)在闭区间a，b上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在a，b内一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在 或 取得，由于可导函数在区间(a，b)内的极值只可能在使_的点取得，因此把函数在 的值与区间内使 的点的值作比较，最大者必为函数在a，b上的最大值，最小者必为最小值.梳理梳理f(x)0极值点区间端点区间端点f(x)0(2)求函数yf(x)在a，b上的最大(小)值的

3、步骤求f(x)在开区间(a，b)内所有使 的点；计算函数f(x)在区间内使 的所有点和 的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.f(x)0f(x)0端点题型探究例例1已知函数f(x)x33x，xr.(1)求f(x)的单调区间；解答类型一求函数的最值命题角度命题角度1不含参数的函数求最值不含参数的函数求最值解解f(x)3x233(x1)(x1)，当x1时，f(x)0；当1x1时，f(x)0，b2，当x1,1时，求f(x)的最小值.解答解解f(x)3ax23x3x(ax1).若 1，即0a1，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(1,0)0(0,1)f(x)0f(x)极

4、大值若0 1，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(1,0)0(0， )( ，1)f(x)00f(x)极大值极小值跟踪训练跟踪训练2求函数f(x) x34x4在0，a(a0)上的最大值和最小值.解答解解f(x)x24.令f(x)0，得x2或x2(舍去).因为0 xa，所以当02时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：综上可得：类型二由函数的最值求参数解答例例3(1)已知函数f(x)ax36ax2b，x1,2的最大值为3，最小值为29，求a，b的值.解解由题设知a0，否则f(x)b为常函数，与题设矛盾.求导得f(x)3ax212ax3ax(x4)，令f(x)0，得x10

5、，x24(舍去).当a0，且当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1,0)0(0,2)2f(x) 0f(x)7abb16ab由表可知，当x0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在1,2上的最大值，f(0)b3.又f(1)7a3，f(2)16a3f(1)，f(2)16a329，解得a2.当af(1)，f(2)16a293，解得a2.综上可得a2，b3或a2，b29.解答(2)已知h(x)x33x29x1在区间k,2上的最大值是28，求k的取值范围.解解h(x)x33x29x1，h(x)3x26x9.令h(x)0，解得x13，x21，当x变化时，h(x)及h(x)的变化情况如下表：

6、x(，3)3(3,1)1(1，)h(x)00h(x)284当x3时，f(x)取极大值28；当x1时，f(x)取极小值4.而h(2)30，求f(x)的最小值为2时的m的值.解答所以当x(0，m)时，f(x)0，f(x)在(m，)上是增函数，所以当xm时，f(x)取得极小值，也是最小值，即极小值为2，即f(m)ln m 2，所以me.类型三与最值有关的恒成立问题例例4(1)已知2xln xx2ax3对一切x(0，)恒成立，则a的取值范围为_.答案解析(，4解析解析由2xln xx2ax3，当x(0,1)时，h(x)0，h(x)为单调增函数.h(x)minh(1)4.ah(x)min4.(2)设函数

7、f(x)tx22t2xt1(xr，t0).求f(x)的最小值h(t)；解答解解f(x)t(xt)2t3t1(xr，t0)，当xt时，f(x)取最小值f(t)t3t1，即h(t)t3t1.若h(t)2tm对t(0,2)恒成立，求实数m的取值范围.解答解解令g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由g(t)3t230，得t1，t1(不合题意，舍去).当t变化时，g(t)，g(t)的变化情况如下表：t(0,1)1(1,2)g(t)0g(t)1mg(t)在(0,2)内有最大值g(1)1m.h(t)2tm在(0,2)内恒成立等价于g(t)0在(0,2)内恒成立，即等价于1m0，m的取值范围为(1，).分

8、离参数求解不等式恒成立问题的步骤反思与感悟跟踪训练跟踪训练4设f(x)ln x，g(x)f(x)f(x).(1)求g(x)的单调区间和最小值；解答解解由题设知f(x)的定义域为(0，)，令g(x)0，得x1.当x(0,1)时，g(x)0，故(1，)是g(x)的单调增区间.因此，x1是g(x)在(0，)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)1.解答即ln a0成立.由(1)知，g(x)的最小值为1，所以ln a1，解得0ae.故a的取值范围为(0，e).当堂训练1.函数f(x)x33x(x0，f(x)为单调增函数；当x(1,1)时，f(x)0时，x0；当f(x)0时，2x0.当x0时，f(0)0；当x1时，f(1)e2，所以函数的最大值为e2.故选c.23451答案解析21 1,e2 22345121e221 1,e2 24.已知函数f(x) x42x33m，xr，若f(x)90恒成立，则实数m的取值范围是_.解析答案所以f(x)2x36x2，令f(x)0，得x0或x3，经检验知x3是函数的最小值点，所以函数的最小值为f(3)3m .不等式f(x)90恒成立，即f(x)9恒成立，2345123451解析答案23451规律与方法1.求函数在