现代通信原理PPT课件第2章随机信号分析

1、12345第第2章章随机信号分析随机信号分析6随机变量与概率分布随机变量与概率分布随机变量的函数随机变量的函数随机过程随机过程通信系统的噪声通信系统的噪声窄带高斯噪声振幅特性和相位特性窄带高斯噪声振幅特性和相位特性正弦波加窄带高斯噪声的统计特性正弦波加窄带高斯噪声的统计特性n21概率论基础知识 （略）n22随机变量与概率分布n221 随机变量n随机变量的定义：在随机试验中可能取这个值，也可能取那个值的量称为随机变量。n我们常用 、 或 、 等字母表示。n随机变量 ，代表的是随机事件的取值，这个取值是随机的n （取值可以是连续的，也可以是离散的，取值最大范围为 ）xyn随机变量举例： 1）电话站

2、一天接到电话的次数 ：0 ，属离散型随机变量（取值是有限或为可数无穷）n 2）收音机输出的噪声 ：-3 +3伏，属连续型随机变量(取值充满某一空间)n222 概率分布函数与概率密度 1) 分布函数：随机变量 取值不超过 的概率， 即 称为 的概率分布函数，记为 =n概率分布函数特点： a . 是概率 所以 b . (取值不会比 再小) c . (取值总是不 超过 ) d . 是 的单调不减函数n曲线：(1).离散随机变量的分布函数曲线为阶梯波(见p16) (2).连续随机变量是 光滑不減曲线 (见p16)x()px( )f x()px( )f x( )f x( )f x0( )1f x()0f

3、 ( )1f xn2)概率密度：分布函数的导数称为概率密度函数，记为 概率密度函数曲线 (见p16)( )f x()()dfxfxdx则 ： 12345nxxxxxxx( )f x离散随机变量的概率密度函数曲线1122334455()()()()()()nnp x x p x xp x xp x xp x xp x x 概率密度函数特点： a）由于 是单调不減函数，所以 b）离散随机变量的概率密度函数为冲激函数，冲激强度为对应取该值的概率，见前页曲线。 c） -面积为l d） e）边际概率密度： f） e） 条件概率密度： ( )f x( ) 0f x ( )()()1f x dxff ( )

4、( )( )()baf x dxf bf ap axb( ,)( )f x y dxfy( ,)( )fx y dyfx( , )( )( )f x yf xf y、 独立(,)(/)()fxyfxyfyn223多维随机变量和多维概率分布 许多随机试验中，用一维分布函数与概率密度来描述是不够的，如射击的弹着点位置,要从纵横两个坐标的位置来确定；体检要求血压、脉膊、体温、转氨酶等多个指标衡量 多维随机变量： 二维分布函数： 多维分布函数： 二维概率密度： 多维概率密度： 12(,)n121122( , )(,)f x xpxx121122( ,)(,)nnnf x xxpxxx2121212(

5、,)( ,)f x xf x xxx121212( ,)( ,)nnnnf x xxf x xxxxx224 随机变量的n1)数学期望：随机变量的统计平均值（随机变量所有可能的取值和它对应概率乘积的和）-物理意义：平均值 记为：离散型： 式中 取值 取值为 的概率 离散取值的 个数连续型： 单积分型式 或 重积分型式( ) eeeee x、等等1niiiexpixipn( )ex f x dx( ,)exf x y dxdyix1)数学期望：随机变量的统计平均值（随机变量所有可能的取值和它对应概率乘积的和）-物理意义：平均值 记为：离散型： 式中 取值 取值为 的概率 离散取值的 个数连续型：

6、 单积分型式 或 重积分型式( ) eeeee x、等等1niiiexpixipn( )ex f x dx( ,)exf x y dxdyix数学期望性质： 1. 2. 3. 4. 5.e cc()eee ,()eee 独立()e cce()ecce 数学期望的证明仅举两个例子讲解n例1证明 n例2 证明 n =()eee()() ( , )exy f x y dxdy ( ,)( ,)xf x y dxdyyf x y dxdy ( , )( , )xf x y dy dxyf x y dx dy( )( )xf x dxyf y dyee,()eee 独立()( , )ex yf x y

7、dxdy ,()( )( )f x yf xf y 因为独立()( )( )ex yf xf y dxdy ( )( )xf x dxyfy dyeen2). 方差 ： 随机变量与其数学期望之差平方的数学期望-物理意义：偏离中心值的程度 记为 等等性质：1. 2. 3. 4. 5. 式中 ( )dddd0d c ()( )dcd2()( )d cc d()( )( )ddd、 独立22()dee22()ee也可写为n举例2：证明n所以 ： 方差 = 平方的数学期望 数学期望的平方。22()dee2()dee222() eee222()eeee e2222()()eee22()een3)相关矩

8、数学期望和方差是随机变量的重要数字特征，其实它们是“矩”的特例。随机变量矩的定义： 当 称为原点矩 当 称为中心矩 称阶数所以 当 即为数学期望 当 即为方差n矩的概念扩展到多维随机变量（二维）： 在多维矩中最有用的是二维二阶矩() kmecc式中 为常数0c cek0c ,1k1(0)meece,2k2()meed121122( ,)() () jkjkmecc n在多维矩中最有用的是二维二阶矩： 1)二维二阶原点矩：相关函数 记为 2)记为二维二阶中心矩：协方差函数 记为12012ccjkj k 所以11121212( ,)(0)(0)()mee 1212()re 112212c ecej

9、 kj k 所 以11121122(,)()()meee 1 21122()()ceee n3)相关系数： 若 称不相关(即协方差函数等于0)。 独立一定不相关，不相关不一定独立。 即证明当 独立时 证明：因 根据数学期望的性质，当 , 独立,乘积的数学期望等于数学期望的乘积。 则 n 对正态分布则：不相关就是独立(其它分布此结论不一定成立)1212121212ccdd 120 12, 1 20c 121122()()ceee 121 21122()() 0 0 0ceeee 2. 2. 5 通信系统中常见的概率分布 1. 均匀分布-白噪声的相位为均匀分布00()02212f102()20f其

10、 它20202()121( 2)22efdd2222220322( )()2()()( )1(2)233deeeeee efd 2. 正态分布-同类、大量、互不相关的随机变量的取值服从正态分布,如噪声的瞬时值为正态分布。n概率密度函数： 22()21()2xafxe 特点：1. 数学期望 方差 2 . 图形以 为轴对称 3. 4. 曲线右移 曲线变矮变胖。 5 .曲线与横轴包围的面积为l 同时： 6 . .称为标准正态，曲线见下页。 7. ea2dxa a函数单调上升a函 数 单 调 下 降a()1fxd x 1()2afx d x 1()2afxd x0 ,1a当 22()21( )( )2

11、()x axxf xf x dxedxxa n 对标准正态 因此积分不便计算，数学家已为我们制成了表格，称为正态函数数值表。 a）该表是对标准正态而制作的，对非标准正态则按公式 折算并查表，即可求出非标准正态分布函数。 b）当 0,则依据正态分布曲线对称性和它与横轴包围的面积为1则 2221( )( )2xxxf xf x dxedx()xxaxx()1()fxfx 8 的误差函数表示： 误差函数： 误差反函数： 上述四个表达式都能用来求 ，但考虑到表列的 仅是 为正值时的值，因此可供计算时选用。202xzerf xed z222022111,xzzxxerfcxercxedzedzexerf

12、cxx 若因此误差函数能很方便地化为指数函数。11()()1()2222111()1()2222axaxfxerfcerfxaxaerfcerf()fxerf xerfc x和x()fxn3 瑞利分布-噪声的包络为瑞利分布注意：a） b） 噪声包络属瑞利分布 222220()022(1)4xxexfxed其 它2dn4 莱斯分布-正弦波加窄带高斯噪声的包络为莱斯分布 2221()2022()0( )00 xaxaxeixf xxn23 随机变量的函数 随机变量的函数研究的问题： 已知 和 与 的关系，求 或 1. 一维随机变量函数的分布： 已知： 为随机变量， 的取值为 ,概率密为 ， 的取值

13、为 , 若 有单值关系 则 : 2 二维随机变量函数分布-雅可比行列式 已知： 并且反函数成立 则： 121211122212(,)(,)(,)(,)yfxxyfxx1111212212(,)(,)xfyyxfyy121212121211121222(,)(,)(,)(,)(,)xxfyyfxxyyxxyyfxxxxyy ( )f xxy( )f y( )f y, x( )f xy( )g()()d xfyfxd y，( )yg x习习 题题5、6、7、8。2 .4 随随 机机 过过 程程 241 随机过程的概念 ： 定义1：随着时间推移不断出现的一族无穷多个随机变量称为随机过 程，记为 。

14、例：收音机输出的噪声就是一个随机过程记为 在 时刻，收音机输出是一个随机变量，记为 在 时刻，收音机输出是一个随机变量，记为 在 时刻，收音机输出是一个随机变量，记为 在 时刻，收音机输出是一个随机变量，记为 这些随着时间推移不断出现的 多个随机变量就称为随机过程 这是随机过程的一种定义。( ) t1t1( )t2t2( )tnt( )ntt()t 共多个随机变量 定义2： 随机过程可用无穷多次实现的集合来表示。例：我们对收音机输出的噪声进行观察并记录，得到时间波形 ，它常称为随机过程的一次取样或称一次实现 ,它 是时间的确知函数。随机过程的随机性体现在：某一次观 察,到底是那一个实现出现，它

15、是随机的。 第1次观察得到时间波形 第2次观察得到时间波形 第 次观察得到时间波形 第 次观察得到时间波形 这 多个实现便构成随机过程 每一个实现都是时间的确知函数，随机过程的随机性体现在试验中这无穷多个实现中那一个实现会出现，它是随机的。1( )x t2( )x tn( )nx t( )xt共多个实现( )nx t 242 随机过程的分布函数与概率密度11111(, ) ( )f x tptx1( , )fx t11111(,)(,)f xtfxtx1( , )fx t12121122(,;,)( ),(),()nnnnnfxxxtttptxtxtx1212121212(,; ,)(,; ,

16、)nnnnnnnfxxxt ttfxxxt ttxxx 243 随机过程的数字特征111()(,)etxfx td x 1tt1( )(, )etxfx t dx t( )( )eta t 2( )( )( )dteta t212( )(, )( )xatfx t d xt 2 ( ) ( )( )dteta t22( )2 ( )( )( )etta ta t 22( ) 2 ( )( )( )etet a tea t222( )2( )( )eta ta t 222( )( )( )etatt t 3. 协方差和相关函数(见p31页图) 3. 协方差和相关函数 协方差： 相关函数： 与 的

17、关系： 由此可见相关函数比协方差大 ，今后常常研究相关函数。 121122( , ) ( )( ) ( )( )c t teta tta t1122121212( )( ) (,; ,)xa txa tf x x t tdx dx1212( ,)()()r ttett122121212(,;,)x xfxxttdx dx12( , )c t t12( , )r t t121122( ,)( )( )()()c t teta tta t12122112 ( )( )( )( )( ) ( )( )( )etta tta tta ta t12122112 ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

18、 ( )( )ette a tte a tte a ta t12121212 ( )( )( )( )( ,)( )( )etta ta tr t ta ta t12( )( )a ta t 4互相关函数 把相关函数的概念引到两个随机过程-互相关函数（为区別，前面研究的同一随机过程两个不同时刻的相关性，则称为自相关函数） 显然它是 的函数，或视为 和 的函数， 其中,1212( , ) ( )( )rt tett 12( ,; ,)x y f x yt tdxdy 12,tt1t21tt 244 平稳随机过程平稳随机过程 1 定义：若随机过程n维分布函数与概率密度与时间起点没有关系，则称此随机

19、过程为平稳随机过程。 对一维概率密度： 它表示对平稳随机过程无论何时测量，一维分布的概率密度都是相同的。12121212( , ,; , ,)( , ,;,)nnnnnnf x xx t ttf x x xtt tttt 111112113111( ; )( ; )( ; )( )( )( )f x tf x tf x tf xf xf x 2 平稳随机过程的数字特征： 1 ）数学期望： 平稳随机过程的数学期望为常数(物理意义是：直流成 份) 2 ）方差： 平稳随机过程的方差为常数(物理意义是：交流功率)1( )(, )( )etxfxt dxxfx dxa22211 ( )()( , )()

20、( )dtxaf x t dxxaf x dx 3 ）协方差函数与自相关函数： (由于时间 可以任取， 因此与 时间 无关, 便可去掉) 平稳随机过程的自相关函数与时间的起点无关，仅是时间 间隔 的函数(协方差函数讨论从略)121 2121212( , )( ,; , )r t tx x f x x t t dx dx 12121112( ,; ,)x x f x x t tdx dx 21式中=t -t121212(,;)x x fxxdx dx ( )r1t1t 4) 广义平稳： 如果随机过程的数学期望、方差是常数， 自相关函数是 的函数， 那么这样的随机过程称为广义平稳随机过程。 前述的

21、n维分布函数与n维概率密度与时间起点没有关系，被称为严格平稳或狭义平稳。 通常, 狭义平稳 广义平稳 对正态分布, 狭义平稳 = 广义平稳 2. 4. 5 平稳随机过程平稳随机过程 的自相关函数及功率谱密度的自相关函数及功率谱密度 1 .平稳随机过程的自相关函数为偶函数证明： 121221( ,)( ) ( )( )r t tretttt21()( )ett22 ( )()()ettr 2 . 随机过程的统计平均功率(均方值) 根据： 2(0)( )( )( )rettet222222 ( )( )( ) ( )(0)dtetaetdtara所以：即 (0)r 3 .证明： ( 0 )()rr

22、22222 ( )()0( )2 ( )()()02( )2 ( )0( )( )0(0)( )0(0)( )ettetettetetretrrrrr 4. 自相关函数与功率谱密度是一对富氏变换 正变换 反变换 此关系常被用来求功率谱密度。( )( )pfr 2( )( )jfpfred 2( )( )jfrpf edf 例：已知平稳随机过程例：已知平稳随机过程 内均匀分布内均匀分布求：求： 及功率。及功率。 解： 式中 功率 1212(,)cos(2)cos(2)ccr tte af taf t21212cos2()cos2()2)2ccaefttftt2212cos 2cos2()2)22

23、ccaafeftt12tt2221201c o s 2c o s 2()2)222ccaaffttd2c o s 2()2cafr2( ) ( )cos22cap frf ff222cos22()()44cccafaaffff f2(0)2apr ( )cos(2)02ctaf t在 ( )p f 2. 4. 6 各态历经性与时间平均值 随机过程的各个实现，如果都同样经历了随机过程的各种许可状态，那 么我们把此特性称为各态历经性。具有各态历经性的平稳随机过程称为遍历 平稳随机过程。 遍历平稳随机过程在同一时刻 有如下的取值： 等许多取值 遍历平稳随机过程的某一实现在不同时间有如下的取值： 也有

24、许多取值如果是遍历平稳随机过程,则上述两组取值有相同的分布。111211( ):( ),( ),( )tx tx txt12( ):( ),( ),()nnnntx tx tx t1t 如果是遍历平稳随机过程,则上述两组取值有相同的分布。 -时间平均值 -时间平均值 -时间平均值 各态历经性有重要的实用价值： 它用于检验，对一台设备长期观察能代表对无数台设备同对进行观察。只要是具有各态历经性的平稳随机过程两者结果是相同的。221lim( )tttx t d tatte 22221l( )im( )tttx tadttdt 221lim( )()( )( )tttx tx tdtrtr 习题：

25、9 本节重点是对随机过程概念的理解。2 .4 .7 平稳随机过程通过线性系统平稳随机过程通过线性系统 平稳随机过程通过线性系统的分析是完全建立在确知信号通过线性系统理论基础之上。00( )( )( )()()()iivtvth tvfvfhf( )( )h th f( )( )iiv tv f( )( )oov tv f( )( )( )iovth tvt()()()iovfhfvf 卷积公式：00( )( )( )( )()( ) ()iitiv tv th thv tdvh td或 随机过程加到线性系统，可以看成它的每一个实现(或称样本)加到线性系统。由于每一实现是时间确知信号，它加到线性

26、系统，则对应一个输出信号。由于输入的实现有无穷多个，则对应的输出信号也有无穷多个，这无穷多个输出信号的集合便构成输出随机过程。 我们需要研究的是输出过程的 00( )()()()()itithtdhtd 数学期望方差相关函数功率谱密度输出过程的概率分布 对平稳随机过程 -就是系统对 直流的放大量 因此上式说明：输出信号的数学期望是常数,它等于输入信号的数学期望与网络对直流的放大量的乘积。 (因为数学期望是统计平均值，对随机信号而言数学期望是它的直流成份,输出直流=输入直流乘系统对直流放大量。)1. 数数 学学 期期 望望00( )( )()ietehtd 0( )()ihetd ()( )ii

27、ieteta00( )()ietahd20()()jfhedhf2000( )( )(0)jhdhedh0( )( 0 )ietah2. 自相关函数：自相关函数：012011( ,)( ,)r t tr t t0101( )()ett1100( ) ()( ) ()iiehtdhtd 1100( ) ( ) ()()iiehhttd d 1100( ) ( ) ()()iihhettdd 根据平稳随机过程：上述定积分的结果只能是 的函数。根据公式： 以上我们已经证明了：平稳随机过程通过线性系统，其输出过程的数学期望、方差是常数，相关函数是 的函数，因此输出过程也是平稳的。1111()()()(

28、)()iiiiettrttr01200( ,)() ()()irtthhrdd 0022000( )(0)(0)rrra是 的函数，而则为常数,前己证明输出过程的数学期望为常数，因此输出过程的方差一定是常数。记为：22( )(0)( )tra t0120(,)()rttr3. 功率谱密度：功率谱密度： 根据维纳辛钦定理： 输出功率谱密度 = 输入功率谱密度2,00()()jfpfred 200() ()()jfihhrdded dd令2()00( ) ( )( )jfihhrd ded 22200( )( )( )jfjfjfihedhedred ,2,()()()()()iihfhfpfpf

29、hf2()hf4. 概率分布：概率分布： 分析很复杂 (可运用随机变量函数的分布求，不过这个函数非常复杂,它就是传递函数) 若输入为正态分布，则输出仍为正态分布，但数字特征发生了变化。2.5 通信系统的噪声通信系统的噪声 2.5.2高斯噪声 n维高斯噪声的概率密度表示式：1212( ,; , ,)nnnfx xx t tt111221211exp()()22nnjjkknjkjkjknxmxm 式中： 它是随机变量 的数学期望； 它是随机变量 的方差 相关系数矩阵行列式： 是行列式中元素 所对应的代数余因式。 ( )kkme x t( )kx t22 ( ) kkke x tm( )kx t1

30、 11 212 12 2212. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .nnnnn n 12121212111nnnn ( ) ( )jjkkjkjkex tmx tm jkjk该表达式很复杂，但有如下特点： 1高斯过程的 n维概率密度完全由二阶以下的数字特征决定(即仅由数学期望、方差和协方差函数决定)。 2 对高斯过程，广义平稳 = 狭义平稳。 3 对高斯过程，不相关 = 独立。(教材40页有证明) 4 线性系统若输入为高斯过程，则输出也为高斯过程，但数字特征可能会发生改变。253

31、 高斯白噪声及带限高斯白噪声高斯白噪声及带限高斯白噪声 1）高斯白噪声(见下页图) 式中 - 称双边功率谱密度 - 称单边功率谱密度 - 自相关函数，它为冲激函数。0()2nnpf0( )( )2nr 02n0n 2) 低通带限高斯白噪声(见下页图) 当以 对低通带限高斯白噪声取样则 ， 所以样值不相关，因是高斯分布，因此各样值独立。 它的物理意义是：当以 对低通带限高斯白噪声取样，则所得各噪声样值独立。0( )20hnnffpf其它0( )2hhrn f saf2hktf()02nhkrf2hktf 3） 带通高斯白噪声(见下页图)0( )2220cnnbbfffp f其它0( )() co

32、s 2crn b sabf,( )()cos2( )0cncnfrsabfr 由于乘了cos2这个因子的零点增加了很多，无论是由产生的零点或由产生的零点，只要，按此时间间隔取样，所得各样值也都是独立的。习习 题题n10、13、14、15、26 窄带高斯噪声的窄带高斯噪声的振幅特性和相位特性振幅特性和相位特性 窄带高斯噪声是比窄带高斯白噪声更为常见的一种噪声。 2.6.1窄带高斯噪声的数学表示式： 1. 窄带确知信号表示式： 只要式中 与 随时间是作缓慢变化，则 的频带不会很宽，则为窄带信号。( )( ) cos2( )cs ta tf tt( )a t( ) t( )s t 2. 窄带随机过程

33、表示式： 仿照上式，窄带随机过程为： - 窄带高斯噪声 (也称窄带随机过程) - 窄带高斯噪声的振幅 (随t缓慢变化) - 窄带高斯噪声的相位 (随t缓慢变化)( )( ) cos2( )icntr tf tt( )in t( )r t( ) t 式中： 并且：( )( ) c o s2( )icntrtf tt( )cos ( ) cos2( )sin ( ) sin2ccr ttf tr ttf t( ) cos 2( ) sin 2ccscntf tntf t( )( )cos ( )( )( )sin( )csn tr ttn tr tt窄带高斯噪声同相分量窄带高斯噪声正交分量22(

34、)( )( )( )( )arctan( )csscr tntntnttnt 窄带高斯噪声的振幅窄带高斯噪声的相位 ( )cn t( )r t( )r t( ) t0( )sn t3. 窄带高斯噪声研究的任务及方法窄带高斯噪声研究的任务及方法 1) 研究的任务： 已知 是平稳、零均、窄带、高斯噪声。 求： 的分布。2( )0( )iine ntd nt平 稳 过 程零 均即 己 知 ：方 差高 斯 分 布( )in t( )( )r tt及 2)研究方法： a. 先求 的概率密度及联合 概率密度 b. 用求随机变量函数分布的方法求 出 的联合概率密度 c.用边际概率密度分别求出 的概率密度。(

35、 )( )r tt及( )( )csn tn t和( )( )r tt和2.6.2. 概率密度的推导概率密度的推导: 1. 证明 是广义平稳，并且服从高斯分布 1)证明 的数学期望为零(常数)： 由于 正交若要上式成立则：( )( )csn tn t和( )( )csn tn t和:( )0ie nt已 知( )cos2( )sin20ccsce n tf tn tf t ( )cos2 ( )sin20ccsce n tf te n tf tcos2sin2ccf tf t和( )( )0cse nte nt 2）证明自相关函数是 的函数 由于 数学期望为0，所以( )in t( ,)( ,

36、)( )()iinniict trt te n tn t( )cos2( )sin2ccscen tf tn tf t()cos2()()sin2()ccscn tf tn tf t( )()cos2sin2()cscce n tn tf tf t( )()sin2cos2()sccce n tn tf tf t( )()sin 2sin 2()sscce ntntf tft ( )()cos2cos2()cccce n t n tf tf t( ,)inct t所以:( ,)cos2cos2()cnccct tf tf t( ,)cos2sin 2()csn nccct tf tft( ,)

37、sin2cos2()s cn nccct tf tf t( ,)sin2sin2()snccct tf tf t -它与 无关 当 将上述结果带入 表示式： 所以： ( ,)( )iiinnnct tc因为 是平稳的，tcos21sin20,1,2,cos2()cos2sin2()sin2cccccccf tf tntnf tfff tf则( ,)inct t( ,)cos2( ,)sin2( )cc sincn ncnct tfct tfc( ,)( )ccnnct tc( ,)( )cscsn nn nct tc ( ,)inc t t 同理当 将上述结果带入 表示式： 所以： 所以 和

38、的协方差函数仅是 的函数。411,2,4cntnfcos20sin 21cos2()sin 2sin 2()cos2ccccccf tf tftfftf 则( ,)inct t( ,)inc t t( ,)sin2( ,)cos2( )scsin ncncnct tfct tfc ( ,)( )scscn nn nct tc( ,)( )ssnnct tc()cn t()sn t 3） 证明 和 是平稳的 已证明 和 的协方差函数仅是 的函数。 又因 为 和 的数学期望为0， 所以 由于 和 的数学期望为常数（等于0），方差为常数，协方差函数仅是 的函数。所以 和 是广义平稳，由于它们是正态分

39、布，所以也是狭义平稳。( )cn t()sn t()cn t( )sn t22(0)(0)ccssnnnncc均为常数( )cn t()sn t( )cn t( )sn t ()cn t( )sn t 2. 证明证明 和和 独立独立 前已证明: 也可写为： 所以( ,)cos2( ,)sin2( )ccsincn ncnct tfct tfc( ,)sin2( ,)cos2( )scsin ncncnct tfct tfc( ) cos 2( )sin 2( )ccsincn ncncfcfc( )sin 2( ) cos 2( )scsin ncncncfcfc( ) cos 2( ) si

40、n 2ccsncn nccfcf( ) sin 2( ) cos 2scsn ncnccfcf ( )cn t( )sn t根据上式，正交项系数相等，所以：因为上两等式右边也相等，因此得到： 所以它是奇函数则 它表示 在同一时刻不相关，由于是正态分布，因 此独立。( )( )csscn nn ncc ( ) ( )() ()( )()c ss cn ncsscn nce n t n te n tn tc()( )s cs cn nn ncc (0)0scn nc( )( )csntnt与( )( )csntnt与 均为零均正态分布 所以： 所以：,csnn2221()2cnncnfne 222

41、1()2snnsnfne 222221(,)() ()2csnnncscsnf n nf nf ne3.求求 分布分布 -雅可比行列式雅可比行列式(,)(,)cscscsnnrrf rf nnnn22222cossin1sincos2csnnnnerr22222nrnrer和 4. 求求 和和 -概率密度概率密度 -瑞利分布 -均匀分布( )f r( )f( )f r 20( ,)f rd2022222nrnred 22220nrnrer( )f022222nrnredr1202222nrnredr 12习习 题题16、17、18。 27 正弦波加窄带高斯噪声的统计特性 正弦波加窄带高斯噪声也

42、是通信系统分析中常遇 到的情况，正弦波代表信号，而 噪声就是窄带高斯白噪 声。我们主要研究它们叠加后幅度和相位的分布。2.7.1正弦波加窄带高斯噪声的数学表示式： 1. 正弦波加窄带高斯噪声的表示(1)正弦波表示式： cos(2)caf ta其中 为幅度， 为初相角，它们均为确知量 ( )cos(2)( )cos cos2sin sin2( )cos2( )sin2 cos( )cos2 sin( )sin2( )cos2( )sin2( )cos2( )( )cos( )( )cosciccccscccscccsccccr taf tn taf t af t n tf t n tf tan tf tan tf tz tf t z tf tz tf ttz tan tz t式中 ：( )( )cos( )( )sin ( )sctz tan tz tt 22( )( )( )( )( )arctan( )csscz tz tz tz ttz t正弦波加窄带高斯噪声叠加后的振幅正弦波加窄带高斯