2022年[高三数学]高中数学总复习之基础知识要点共11章

1、高 中 数 学 总 复 习 之 基 础 知 识 要 点高 中 数 学 总 复 习 (一 )高中数学第一章 -集合1. 集合中元素具有确定性、无序性、互异性. 2. 集合的性质：任何一个集合是它本身的子集，记为aa；空集是任何集合的子集，记为a；空集是任何非空集合的真子集；如果ba，同时ab，那么 a = b. 如果cacbba，那么，. 注： z= 整数 （）z = 全体整数 （）已知集合 s 中 a 的补集是一个有限集，则集合 a 也是有限集. （） （例：s=n； a=n， 则 csa= 0 ）空集的补集是全集. 若集合a=集合 b，则 cba=， cab =cs（cab） =d（注：ca

2、b =）. 3. （x，y）|xy =0，x r，yr坐标轴上的点集. （x，y）|xy0，xr，yr二、四象限的点集. （x，y）|xy0，xr，yr 一、三象限的点集. 注：对方程组解的集合应是点集. 例：1323yxyx解的集合 (2 ，1). 点集与数集的交集是. （例： a =( x，y)| y =x+1 b= y|y =x2+1 则 ab =）4. n 个元素的子集有 2n个. n 个元素的真子集有 2n1 个. n 个元素的非空真子集有2n2 个. 5. 一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题逆命题 . 一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题逆否命题 . 精品

3、学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 41 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 41 页 - - - - - - - - -例：若325baba或，则应是真命题 . 解：逆否： a = 2 且 b = 3，则 a+b = 5，成立，所以此命题为真. 例：，且21yx3yx. 解：逆否： x + y =3x = 1 或 y = 2. 21yx且3yx,故3yx是21yx且的既不是充分，又不是必要条件. 小范围推出大范围；大范围推不

4、出小范围. 例：若255xxx或，. 高 中 数 学 总 复 习 (二 )高中数学第二章 - 函数1. 函数的三要素：定义域，值域，对应法则.2. 函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分. 对于具体的函数来说可能有单调区间，也可能没有单调区间，如果函数在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，2）上为减函数，就不能说函数在），（），（2110上为减函数 . 3. 反函数定义：只有满足yx唯一，函数)(xfy才有反函数 . 例：2xy无反函数 . 函数)(xfy的反函数记为)(1yfx， 习惯上记为)(1xfy. 在同一坐标系， 函数)(xfy与它的反函数)(1xfy的图象关于xy

5、对称 . 注 ：一般地，3)f(x3)(xf1的反函数. 3)(xf1是先f(x)的反函数，在左移三个单位.3)f(x是先左移三个单位，在)f(x的反函数 . 4. 单调函数必有反函数，但并非反函数存在时一定是单调的. 因此，所有偶函数不存在反函数. 如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数. 设函数y = f（x）定义域，值域分别为x、y. 如果y = f（x）在 x上是增（减）函数，那么反函数)(1xfy在 y上一定是增（减）函数，即互为反函数的两个函数增减性相同. 一般地，如果函数)(xfy有反函数，且baf)(，那么abf)(1. 这就是说点（ba,）在函数)(xfy图

6、象上，那么点（ab,）在函数)(1xfy的图象上 . yxo1y=axa1y=axa10精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 41 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 41 页 - - - - - - - - -5. 指数函数：xay（1,0 aa） ，定义域r，值域为（, 0）. 当1a，指数函数：xay在定义域上为增函数；当10a，指数函数：xay在定义域上为减函数. 当1a时，xay的a值越大，越靠近y轴；当10a时，

7、则相反 . 6. 对数函数：如果a（1,0 aa）的b次幂等于n ，就是nab，数b就叫做以a为底的 n 的对数，记作bnalog（1,0 aa，负数和零没有对数） ；其中a叫底数，n叫真数 . 对数运算：nanaaacbaaaaaacbn1121loglog.loglog1logloglog32推论：（以上10且.aa,a1,c0,c1,b0,b1,a0,a0,n0,mn21）注：当0,ba时，)log()log()log(baba. ：当0m时，取“ +” ，当n是偶数时且0m时，0nm，而0m，故取“” . 例如：xxxaaalog2(log2log2中x0 而2log xa中xr）.

8、xay（1,0 aa）与xyalog互为反函数 . 当1a时，xyalog的a值越大，越靠近x 轴；当10a时，则相反 . 7. 奇函数，偶函数：偶函数：)()(xfxf设（ba,）为偶函数上一点，则（ba,）也是图象上一点. annnamnmbbananaaloglogloglog1loglog换底公式：)12)1(logloglogloglogloglog)(logmnmnmnmnmnmanaaaaaaa精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 41 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - -

9、- - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 41 页 - - - - - - - - -偶函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于y轴对称，例如：12xy在) 1, 1上不是偶函数. 满足)()(xfxf，或0)()(xfxf，若0)(xf时，1)()(xfxf. 奇函数：)()(xfxf设（ba,）为奇函数上一点，则（ba,）也是图象上一点. 奇函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于原点对称，例如：3xy在)1, 1上不是奇函数. 满足)()(xfxf，或0)()(xfxf，若0)(xf时，1)()(xfxf. 8. 对称变换：y = f（x）（轴对称xfyyy

10、 =f（x）（轴对称xfyxy =f（x）（原点对称xfy9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：再进行讨论 . 10. 外层函数的定义域是内层函数的值域. 例如：已知函数f（x） = 1+xx1的定义域为a，函数ff（x） 的定义域是b，则集合a与集合b之间的关系是 . 22122212122222121)()()(bxbxxxxxbxbxxfxfx）（ab精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 41 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - -

11、- - - - - - - 第 4 页，共 41 页 - - - - - - - - -解：)(xf的值域是)(xff的定义域 b ，)(xf的值域r， 故rb，而a1| xx， 故ab. 11. 常用变换：)()()()()()(yfxfyxfyfxfyxf. 证：)()()()()()()(yfyxfyyxfxfxfyfyxf)()()()()()(yfxfyxfyfxfyxf证：)()()()(yfyxfyyxfxf12. 熟悉常用函数图象：例：|2xy| x关于 y 轴对称 . | 2|21xy|21xy|2|21xyxyxy(0,1)xy(-2,1)|122|2xxy| y关于 x

12、轴对称 . xy熟悉分式图象：例：372312xxxy定义域, 3|rxxx，值域,2|ryyy值域x 前的系数之比. xy23精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 41 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 41 页 - - - - - - - - -高三数学总复习（三）高中数学第三章数 列1. 等差、等比数列：看数列是不是等差数列有以下三种方法：),2(1为常数dndaann211nnnaaa(2n) bknan(kn,为

13、常数 ). 看数列是不是等比数列有以下四种方法：)0, 2(1且为常数qnqaann112nnnaaa(2n，011nnnaaa)注： i. acb，是 a、b、c 成等比的双非条件，即acba、b、c 等比数列 . 等差数列等比数列定义daann 1)0(1qqaann递推公式daann1；mdaanmnqaann1；mnmnqaa通项公式dnaan)1(111nnqaa（0,1qa）中项2knknaaa（0,*knnkn）)0(knknknknaaaag（0,*knnkn）前n项和)(21nnaansdnnnasn2) 1(1)2(111) 1(111qqqaaqqaqnasnnn重要性质

14、),(*qpnmnqpnmaaaaqpnm),(*qpnmnqpnmaaaaqpnm精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 41 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 41 页 - - - - - - - - -ii. acb（ac0） 为 a、b、c 等比数列的充分不必要. iii. acb为 a、b、c 等比数列的必要不充分. iv. acb且0ac 为 a、b、c 等比数列的充要. 注意：任意两数a、c 不一定有等比中项，

15、除非有ac0，则等比中项一定有两个. nncqa(qc,为非零常数 ). 正数列 na 成等比的充要条件是数列nxalog（1x）成等比数列. 数列 na 的前 n 项和ns与通项na的关系：)2()1(111nssnasannn注： danddnaan111（d可为零也可不为零为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）若d不为 0，则是等差数列充分条件）. 等差 na前 n 项和ndandbnansn221222d可以为零也可不为零为等差的充要条件 若d为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件. 非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列

16、）2. 等 差 数 列 依 次 每k项 的 和 仍 成 等 差 数 列 ， 其 公 差 为 原 公 差 的k2倍.,232kkkkksssss；若等差数列的项数为2nnn，则，奇偶ndss1nnaass偶奇；若等差数列的项数为nnn12，则nnans1212，且nass偶奇，1nnss偶奇得到所求项数到代入12nn. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 41 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 41 页 - - - - -

17、 - - - -3. 常用公式：1+2+3 + n=21nn61213212222nnnn2213213333nnn注：熟悉常用通项：9， 99，999，110nna； 5，55， 555，11095nna. 4. 等比数列的前n 项和公式的常见应用题：生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a，年增长率为r ，则每年的产量成等比数列，公比为r1. 其中第 n 年产量为1)1(nra，且过 n年后总产量为：.)1(1)1()1(.)1()1(12rraarararaann银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a 元，利息为 r ，每月利息按复利计算，则每月的a 元过

18、 n 个月后便成为nra)1(元. 因此，第二年年初可存款：)1(.)1()1 ()1(101112rararara=)1(1)1(1)1(12rrra. 分期付款应用题：a为分期付款方式贷款为a 元； m 为 m 个月将款全部付清；r 为年利率 . 1111111.11121mmmmmmmrrarxrrxraxrxrxrxra5. 几种常见的数列的思想方法：等差数列的前 n项和为ns，在0d时，有最大值. 如何确定使ns取最大值时的 n值，有两种方法：一是求使0,01nnaa， 成立的 n 值；二是由ndandsn)2(212利用二次函数的性质求n的值. 精品学习资料 可选择p d f -

19、- - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 41 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 41 页 - - - - - - - - -如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n 项和可依照等比数列前n项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：,.21)12,.(413,211nn两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差21dd ，的最小公倍数 . 高 中 数 学 总 复 习 （

20、 四 ） 高中数学第四章 - 三角函数1. 与（ 0 360 ） 终 边 相 同 的 角 的 集 合 （ 角与 角的 终 边 重 合 ）：zkk,360|终边在x 轴上的角的集合：zkk,180|终边在y 轴上的角的集合：zkk,90180|终边在坐标轴上的角的集合：zkk,90|终边在y=x 轴上的角的集合：zkk,45180|终边在xy轴上的角的集合：zkk,45180|若角与角的终边关于x 轴对称，则角与角的关系：k360若角与角的终边关于y 轴对称，则角与角的关系：180360 k若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：k180角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：90360 ky

21、xsin cos三角函数值大小关系图sinxcosx1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域12341234sinxsinxsinxcosxcosxcosx精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 41 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 41 页 - - - - - - - - -2. 角度与弧度的互换关系：360 =2180 =1 =0.01745 1=57.30 =57 18注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数

22、为负数，零角的弧度数为零. 3. 三角函数的定义域：三角函数定义域)(xfsinxrxx|)(xfcosxrxx|)(xftanxzkkxrxx,21|且)(xfcotxzkkxrxx,|且)(xfsecxzkkxrxx,21|且)(xfcscxzkkxrxx,|且4. 三角函数的公式：（一）基本关系公式组二公式组三xxkxxkxxkxxkcot)2cot(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(公式组四公式组五公式组六xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(x

23、xxxxxxxcot)2cot(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(xxxxxxxxc o t)c o t (t a n)t a n (c o s)c o s(s i n)s i n (（二）角与角之间的互换公式组一sinxcscx=1tanx=xxcossinsin2x+cos2x=1cosxsecxx=xxsincos1+tan2x =sec2xtanxcotx=1 1+cot2x=csc2x=1精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 41 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d

24、f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 41 页 - - - - - - - - -公式组一公式组二sinsincoscos)cos(c o ss i n22s i nsinsincoscos)cos(2222s i n211c o s2s i nc o s2c o ssincoscossin)sin(2t a n1t a n22t a nsincoscossin)sin(2c o s12s i ntantan1tantan)tan(2cos12costantan1tantan)tan(公式组三公式组四公式组五2tan12tan2sin22tan12tan

25、1cos222tan12tan2tan242675cos15sin,42615cos75sin,3275cot15tan,3215cot75tan. coscos21sinsincoscos21coscossinsin21sincossinsin21cossin2cos2sin2sinsin2sin2cos2sinsin2cos2cos2coscos2sin2sin2coscossincos1cos1sincos1cos12tansin)21cos(cos)21sin(cot)21tan(sin)21cos(cos)21sin(cot)21tan(精品学习资料 可选择p d f - - - -

26、 - - - - - - - - - - 第 11 页，共 41 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 41 页 - - - - - - - - -5. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：xaysin（a、0）定义域r r r 值域 1, 1 1, 1r r aa,周期性222奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当,0非奇非偶当,0奇函数单调性22,22kk上为增函数；223,22kk上为减函数（zk）2,12kk；上 为 增 函 数12,2kk上为减函数（zk）kk2,2上为增函数（zk

27、）1, kk上 为 减 函数（zk）)(212),(22akak上为增函数；)(232),(22akak上为减函数（zk）注意：xysin与xysin的单调性正好相反；xycos 与xycos的单调性也同样相反. 一般地，若)(xfy在,ba上递增（减） ，则)(xfy在,ba上递减（增） . xysin与xycos的周期是. )sin(xy或)cos( xy（0）的周期2t. 2tanxy的周期为2（2tt，如图，翻折无效）. )sin(xy的对称轴方程是2kx（zk） ，对称中心（0,k） ；)c o s (xy的对称轴方程是kx（zk） ，对称中心（0,21k） ；)t a n (xy的

28、对称中心（0,2k）. zkkxrxx,21|且zkkxrxx,|且xycotxytanxycosxysinoyx精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 41 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 41 页 - - - - - - - - -xxyxy2cos)2cos(2cos原点对称当tan, 1tan)(2zkk； tan, 1tan)(2zkk. xycos与kxy22sin是同一函数 ,而)( xy是偶函数，则)c

29、os()21sin()(xkxxy. 函数xytan在r上为增函数 .（ ） 只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，xytan为增函数，同样也是错误的. 定义域关于原点对称是)(xf具有奇偶性的必要不充分条件. （奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：)()(xfxf，奇函数：)()(xfxf）奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：xytan是奇函数，)31tan(xy是非奇非偶 .（定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若x0的定义域， 则)(xf一定有0)0(f.（x0的定义域， 则无此性质）xysin不是周期函数；xysin为周期函数（t）

30、 ；xycos是周期函数（如图） ；xycos为周期函数（t） ；212cos xy的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：rkkxfxfy),(5)(. abbabaycos)sin(sincos22有yba22. yxy= cos|x|图象1/2yxy=|cos2x+1/2|图象精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 41 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 41 页 - - - - - - - - -

31、高 中 数 学 总 复 习 （ 五 ）高中数学第五章 - 平面向量1. 长度相等且方向相同的两个向量是相等的量. 注意：若ba,为单位向量，则ba.（）单位向量只表示向量的模为1，并未指明向量的方向 . 若ba，则ab. （）2. a=aaaababa设ryxbyxa,22112121,yyxxba2121,yyxxba21, yxa2121yyxxba2121yxa（向量的模，针对向量坐标求模）平面向量的数量积：cosbabaabbabababacbcacba注意：cbacba不一定成立；cbbaca. 向量无大小（ “大于”、 “小于”对向量无意义），向量的模有大小. 长度为0 的向量叫零

32、向量，记0，0与任意向量平行，0的方向是任意的，零向量与零向量相等，且00. 若有一个三角形abc，则0；此结论可推广到n 边形 . 若anam（rnm,） ，则有nm. （） 当a等于0时，0anam，而nm,不一定相等 . aa=2|a，| a=2a（针对向量非坐标求模），|ba|ba. 当0a时，由0ba不能推出0b，这是因为任一与a垂直的非零向量b，都有ab=0. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 41 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - -

33、 - - - 第 14 页，共 41 页 - - - - - - - - -若ab，bc，则ac（）当b等于0时，不成立 . 3. 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数，使得ab（平行向量或共线向量） . 当a,0与b共线同向： 当,0a与b共线反向； 当b则为0,0与任何向量共线. 注意：若ba,共线，则ba（）若c是a的投影，夹角为，则cacos，cacos（）设a=11, yx，22, yxbab01221yxyxbababa, ab001221yyxxba设332211,yxcyxbyxa，则 a、b、c 三点共线=（0）（1212,yyxx）=（1313,yyxx） （

34、0）（12xx） （13yy）=（13xx） （12yy）两个向量a、b的夹角公式：222221212121cosyxyxyyxx线段的定比分点公式：（0 和1）设p1p=pp2（或p2p=1p1p） ，且21,ppp的坐标分别是),(),( ,2211yxyxyx）（，则推广 1：当1时，得线段21pp的中点公式：推广 2：mbam则1pbpapm（对应终点向量）. 222121xxxyyy112121xxxyyyabpm精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 41 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p

35、 d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 41 页 - - - - - - - - -三角形重心坐标公式：abc 的顶点332211,yxcyxbyxa，重心坐标yxg,：注意：在 abc 中，若 0 为重心，则0ocoboa，这是充要条件. 平移公式：若点pyx,按向量a=kh,平移到 p, yx，则kyyhxx4. 正弦定理： 设 abc 的三边为 a、b、c， 所对的角为a、b、c，则rccbbaa2s ins ins in. 余弦定理：cababcbaccababccbacos2cos2cos2222222222正切定理：2tan2tanbab

36、ababa三角形面积计算公式：设 abc 的三边为 a，b，c，其高分别为ha，hb，hc，半周长为p，外接圆、内切圆的半径为r，r. s= 1/2aha=1/2bhb=1/2chcs=pr s=abc/ 4r s= 1/2sincab=1/2acsinb=1/2cbsina s=cpbpapp海伦公式 注：到三角形三边的距离相等的点有4 个，一个是内心，其余3 个是旁心 . 如图：图1图 2图3图4附：三角形的五个“心”：重心：三角形三条中线交点. 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点. abcoabciabcdef

37、iabcdefrararabcaabcacbnef33321321yyyyxxxx精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 41 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 41 页 - - - - - - - - -旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点. 已知 o 是 abc 的内切圆， 若 bc=a，ac=b，ab=c 注：s 为 abc 的半周长 ,即2cba 则： ae=as= 1/2（b+c-a ）b

38、n=bs= 1/2（a+c-b ）fc=cs= 1/2（a+b-c ）综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4） . 特例：已知在rtabc，c 为斜边，则内切圆半径r=cbaabcba2（如图 3）. 在 abc 中，有下列等式成立cbacbatantantantantantan. 证明：因为,cba所以cbatantan，所以cbabatantantan1tantan，结论！在 abc 中， d 是 bc 上任意一点，则dcbdbcbcabbdacad222. 证明：在 abcd 中，由余弦定理，有bbdabbdabadcos2222在 abc 中，由余弦定理有

39、bcabacbcabb2cos222，代入，化简可得，dcbdbcbcabbdacad222（斯德瓦定理）若 ad 是 bc 上的中线，2222221acbma；若 ad 是 a 的平分线，appbccbta2，其中 p 为半周长；若 ad 是 bc 上的高，cpbpappaha2，其中 p为半周长 . abc 的判定：222bacabc 为直角a + b =22c22baabc 为钝角a + b2dacb图 5精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 41 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f -

40、 - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 41 页 - - - - - - - - -2c22baabc 为锐角a + b2附：证明：abcbac2cos222，得在钝角 abc 中，222222,00coscbacbac平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和. )(22222bababa高 中 数 学 总 复 习 （ 六 ）高中数学第六章- 不 等 式1. 平方平均算术平均几何平均调和平均（a、b 为正数）：2221122abababab（当 a = b 时取等）特别地，222()22ababab（当 a = b 时，222()22ababab）)

41、,(332222时取等cbarcbacbacba幂平均不等式：22122221).(1.nnaaanaaa含立方的几个重要不等式（a、b、c 为正数）：3322aba bab3332223()()abcabcabc abcabacbc3333abcabc（等式即可成立0cba，时取等或0cbacba） ；33abcabc33abcabc3333abc2)(31cbaacbaab（时取等cba）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 41 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - -

42、 - - - - - - - - 第 18 页，共 41 页 - - - - - - - - -绝对值不等式：123123(0)aaaaaaababab ab时, 取等算术平均几何平均（a1、a2an为正数）：1212nnnaaaa aan（a1=a2=an时取等）柯西不等式：设),2, 1(,nirbaii则)()(222212222122211nnnnbbbaaabababa等号成立当且仅当nnbababa2211时成立 .（约定0ia时，0ib）例如：22222()()()acbdabcd. 常用不等式的放缩法：21111111(2)1(1)(1)1nnnn nnn nnn11111(1

43、)121nnnnnnnnnn2. 常用不等式的解法举例（x为正数）：231124(1)2 (1)(1)()22327xxxxx2222232(1)(1)1 242 3(1)()22 3279xxxyxxyy类似于22sincossin (1 sin)yxxxx111| |()2xxxxxx与同号，故取等精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 41 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 41 页 - - - - - - - -

44、 -高 中 数 学 总 复 习 （ 七 ） 高中数学第七章 - 直线和圆的方程一、直线方程. 1. 直线的倾斜角： 一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是)0(1800. 注：当90或12xx时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在. 每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地，当直线经过两点), 0(),0,(ba，即直线在x轴，y轴上的截距分别为

45、)0, 0(,baba时，直线方程是：1byax. 注：若232xy是一直线的方程，则这条直线的方程是232xy，但若)0(232xxy则不是这条线 . 附：直线系：对于直线的斜截式方程bkxy， 当bk,均为确定的数值时， 它表示一条确定的直线，如果bk,变化时，对应的直线也会变化.当b为定植，k变化时，它们表示过定点（0，b）的直线束 .当k为定值，b变化时，它们表示一组平行直线. 3. 两条直线平行：1l212kkl两条直线平行的条件是：1l和2l是两条不重合的直线. 在1l和2l的斜率都存在的前提下得到的 . 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“ 前提 ” 都会导致结论的错误. （

46、一般的结论是： 对于两条直线21,ll， 它们在y轴上的纵截距是21,bb， 则1l212kkl， 且21bb或21,ll的斜率均不存在，即2121abba是平行的必要不充分条件，且21cc）推论：如果两条直线21,ll的倾斜角为21,则1l212l. 两条直线垂直：两条直线垂直的条件：设两条直线1l和2l的斜率分别为1k和2k，则有12121kkll这里的前提是21,ll的 斜 率 都 存 在 . 0121kll， 且2l的 斜 率 不 存 在 或02k， 且1l的 斜 率 不 存 在 . （ 即01221baba是垂直的充要条件）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - -

47、- - - - - - - 第 20 页，共 41 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 41 页 - - - - - - - - -4. 直线的交角：直线1l到2l的角（方向角） ；直线1l到2l的角，是指直线1l绕交点依逆时针方向旋转到与2l重合时所转动的角，它的范围是),0(，当90时21121tankkkk. 两条相交直线1l与2l的夹角：两条相交直线1l与2l的夹角，是指由1l与2l相交所成的四个角中最小的正角，又称为1l和2l所成的角，它的取值范围是2, 0，当90，则有211

48、21tankkkk. 5. 过两直线0:0:22221111cybxalcybxal的交点的直线系方程(0)(222111cybxacybxa为参数，0222cybxa不包括在内）6. 点到直线的距离： 点 到 直 线 的 距 离 公 式 ： 设 点),(00yxp， 直 线pcbyaxl,0:到l的 距 离 为d， 则 有2200bacbyaxd. 两条平行线间的距离公式：设两条平行直线)(0:, 0:212211cccbyaxlcbyaxl，它们之间的距离为d，则有2221baccd. 7. 关于点对称和关于某直线对称：关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等. 关于

49、某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线. 点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程）可解得所求对称点. 注：曲线、直线关于一直线（bxy）对称的解法： y 换 x，x换 y.精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 41 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - -

50、- - - - 第 21 页，共 41 页 - - - - - - - - -例：曲线 f(x ,y)=0 关于直线 y=x 2 对称曲线方程是f(y+2 ,x 2)=0. 曲线 c: f(x ,y)=0 关于点 (a ,b)的对称曲线方程是f(a x, 2b y)=0. 二、圆的方程. 1. 曲线与方程： 在直角坐标系中， 如果某曲线c上的与一个二元方程0),(yxf的实数建立了如下关系：曲线上的点的坐标都是这个方程的解. 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）. 曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点),(yxm其坐标与方程0),

51、(yxf的一种关系，曲线上任一点),(yx是方程0),(yxf的解；反过来，满足方程0),(yxf的解所对应的点是曲线上的点. 注：如果曲线c 的方程是 f(x ,y)=0 ，那么点 p0(x0 ,y)线 c 上的充要条件是f(x0 ,y0)=0 2. 圆的标准方程：以点),(bac为圆心，r为半径的圆的标准方程是222)()(rbyax. 特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：222ryx. 注：特殊圆的方程：与x轴相切的圆方程222)()(bbyax),(),(,bababr或圆心与y轴相切的圆方程222)()(abyax),(),(,babaar或圆心与x轴y轴都相切的圆方程222

52、)()(aayax),(,aaar圆心3. 圆的一般方程：022feydxyx. 当0422fed时，方程表示一个圆，其中圆心2,2edc，半径2422fedr. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 41 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 41 页 - - - - - - - - -当0422fed时，方程表示一个点2,2ed. 当0422fed时，方程无图形（称虚圆）. 注：圆的参数方程：sincosrbyrax（

53、为参数） . 方程022feydxcybxyax表示圆的充要条件是：0b且0ca且0422afed. 圆的直径或方程：已知0)()(),(),(21212211yyyyxxxxyxbyxa（用向量可征） . 4. 点和圆的位置关系：给定点),(00yxm及圆222)()( :rbyaxc. m在圆c内22020)()(rbyaxm在圆c上22020)()rbyax（m在圆c外22020)()(rbyax5. 直线和圆的位置关系：设圆圆c：)0()()(222rrbyax；直线l：)0(022bacbyax；圆心),(bac到直线l的距离22bacbbaad. rd时，l与c相切；附：若两圆相切

54、，则002222211122fyexdyxfyexdyx相减为公切线方程. rd时，l与c相交；附：公共弦方程：设有两个交点，则其公共弦方程为0)()()(212121ffyeexdd. rd时，l与c相离 .0:0:222222111221fyexdyxcfyexdyxc精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 41 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 41 页 - - - - - - - - -附：若两圆相离，则0022

55、22211122fyexdyxfyexdyx相减为圆心21oo的连线的中与线方程. 由代数特征判断：方程组0)()(222cbxaxrbyax用代入法，得关于x（或y）的一元二次方程，其判别式为，则：l0与c相切；l0与c相交；l0与c相离 . 注：若两圆为同心圆则011122fyexdyx，022222fyexdyx相减，不表示直线. 6. 圆的切线方程：圆222ryx的斜率为k的切线方程是rkkxy21过圆022feydxyx上一点),(00yxp的切线方程为：0220000fyyexxdyyxx. 一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则 (x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=r

56、2. 特别地，过圆222ryx上一点),(00yxp的切线方程为200ryyxx. 若点 (x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则1)()(2110101rxakybrxxkyy，联立求出k切线方程 . 7. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图： abcd 四类共圆 . 已知o的方程022feydxyx又以 abcd 为圆为方程为2)()(kbxyyaxxxaa4)()(222byaxraa，所以 bc 的方程即代，相切即为所求. abcd(a,b)精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 页，共 41

57、 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 页，共 41 页 - - - - - - - - -高 中 数 学 总 复 习 （ 八 ）高中数学第八章 -圆锥曲线方程一、椭圆方程. 1. 椭圆方程的第一定义：为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2ffffapfpfffapfpfffapfpf椭圆的标准方程：i. 中心在原点， 焦点在 x 轴上：)0(12222babyax. ii. 中心在原点， 焦点在y轴上：)0(12222babxay. 一般方程：)0,0( 122b

58、abyax. 椭圆的标准参数方程：12222byax的参数方程为sincosbyax（一象限应是属于20）. 顶点：),0)(0,(ba或)0,)(,0(ba. 轴：对称轴： x 轴，y轴；长轴长a2，短轴长b2. 焦点：)0,)(0,(cc或),0)(,0(cc.焦距：2221,2baccff. 准线：cax2或cay2. 离心率：)10(eace. 焦点半径：i. 设),(00yxp为椭圆)0(12222babyax上的一点，21,ff为左、右焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出. ii. 设),(00yxp为椭圆)0(12222baaybx上的一点，21,ff为上、下焦点，则由椭圆方程的

59、第二定义可以推出. 0201,exapfexapf0201,eyapfeyapfasinacos,()bsinbcos(),nyxn的轨迹是椭圆精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 25 页，共 41 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 25 页，共 41 页 - - - - - - - - -由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002200201xaexxcaepfxexacaxepf归结起来为 “ 左加右减 ” . 注意：椭圆参数方程的

60、推导：得)sin,cos(ban方程的轨迹为椭圆.通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：),(2222abcabd和),(2abc共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12222babyax的离心率是)(22bacace，方程ttbyax(2222是大于0 的参数，)0ba的离心率也是ace我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. 若 p 是椭圆：12222byax上的点 .21,ff为焦点，若21pff，则21fpf的面积为2tan2b（用余弦定理与apfpf221可得） . 若是双曲线，则面积为2cot2b. 二、双曲线方程. 1. 双曲线的第一定义：的一个端点的一条射线以无轨迹方程为双曲