2022年“数形结合”在压轴题中的作用,适用于中考数学

1、学习必备欢迎下载“ 数形结合 ” 在压轴题中的作用一般性数学试卷的最后一题在测试学生的数学素养的基础上，本着适度区分的原则，最后一题的三个小题的坡度逐渐提升，达到分层的效果 这些试题一般性取材于课本但高于课本，强调知识的灵活运用，综合性较强，原创题较少，大多属于改编体，它们的基本图形在几何画板中加以研究，达到推陈出新的效果，绝大多数属于改编题下面以08 年静安、杨浦两区模拟考最后一题为例，进行归纳分析它们的难度略低于中考的压轴题例 1 （08 静安）如图，在四边形 abc d 中，b=90，ad/bc，ab=4，bc=12，点 e 在边 ba 的延长线上， ae=2，点 f 在 bc 边上，

2、ef 与边 ad 相交于点 g，dfef，设 ag=x, df=y（1）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域；（2）当 ad=11时，求 ag 的长；（3）如果半径为 eg 的e 与半径为 fd 的f 相切，求这两个圆的半径分析：本题以直角梯形为载体， 第 1 小题梯形结合相似形知识来研究两条线段的数量关系，探求函数关系式和定义域;第 2 小题在研究特殊情况下知道函数值ad=11求自变量 ag 的值，第三小题结合圆的内容以两圆相切（外切和内切） 这一知识点来压轴其实如果学生基础扎实，利用两圆相切关系建立等式：当e与f 外切时，ef=eg+fd=eg+fg，当e 与f 内切时，ef= f

3、deg，相关的量都用含自便量的代数式来表示，从而利用关系等式建立方程， 解方程求出自便量的值，再求出两个圆的半径，考察了方程思想略解：（1） ad/bc， b=90o， eag=b=90o， eg=.42x,aeegabfgfg=2242244xxaeegab dfg =eag=90o，ega=dgf ， dfg eagagaegfdf，xxy2422， y 关于 x 的函数解析式为xxy244，定义域为40 x（2） dfg eag，,agfgeggdgd=xx228 当 ad=11 时，11282xxx，38, 121xx经检验它们都是原方程的根，且符合题意，所以ag 的长为 1 或38（

4、3）当 e 与 f 外切时， ef=eg+fd =eg+fg， fd =fg， dfg eag， e=age= fgd= gdf ag=ae=2； e 的半径eg=22， f 的半径dgbcaef精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载fd =24当 e 与 f 内切时， ef= fd eg，32224444xxxx，1x e 的

5、半径 eg=514， f 的半径 fd=54 所以 e 的半径为22， f 的半径为 42；或 e 的半径为5， f 的半径为45例 2 （08 杨浦）如图， rtabo 在直角坐标系中， abo=900，点 a（-25，0） ，a 的正切值为34，直线 ab 与 y 轴交于点 c（1）求点 b 的坐标；（2）将abo 绕点 o 顺时针旋转， 使点 b 落在 x 轴正半轴上的 b/处。试在直角坐标系中画出旋转后的a/b/o，并写出点 a/的坐标；（3）在直线 oa/上是否存在点 d，使cod 与aob相似，若存在，求出点d的坐标；若不存在，请说明理由分析：本题以直线 (一次函数 )为载体，它与

6、坐标轴的结合镶嵌了母子直角三角形在内，结合三角比知识求点 b 的坐标就构成了第一小题; 第二小题结合我们上海考题的一贯特色，图形三大运动之一旋转来考察学生的画图能力，直接写出坐标则秉承了上海06 年中考 24 题的一贯分格，只不过06 年的 24 题以二次函数为载体；第三小题则结合了相似形只是考察分类讨论的数学思想和方程思想其实这种习题如果学生留意一下 ,就会成为傻瓜题,不管是否结合坐标系背景,只要是文字语言叙述的存在性问题,都会保证一个字母相同(提供一个相等的角)分两种情况；如果没有相同字母时一定会隐藏相等的叫在里面，分类讨论的方法相同,如挖掘出 a=coa/当abaoodco或aoabod

7、co时,第1、2 比例项不变，第3、第 4 比例项调换位置，最多时有三个答案略解：（1）易得 b（ 16，12） （2）正确画图a/（20，15） （3）在 rt aoc 中， ao=25 ，tga=34， oc=3100设 oa/的解析式为y=kx ，则 15=20k，则 k=43， y=43x abo 旋转至 a/b/o， aob= a/ob/， aob+ a=900，coa/+a/ob/=900， a=coa/在直线oa/上存在点 d 符合条件， 设点 d 的坐标为（x，43x） ，则 od=x451)当abaoodco即1525453100 x，也即 x=16 时， cod 与 aob

8、 相似，此时d（16，12）2)当aoabodco即2515453100 x， 即 x=9400时 cod 与 aob 相似，此时 d （3100,9400） 1对于两类压轴题的对比分析a o b x yc 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载图形(1) (2) 共同点代数、几何的高度综合（数形结合） ；着力于数学本质及核心内

9、容的考查; 四大数学思想：数学结合、分类讨论、方程、函数不同点以形为载体，研究数量关系以数为平台，研究形的特征通过设、表、列获得函数关系式通过方程思想确定点的坐标或函数关系式研究特殊情况下的函数值研究特殊图形的存在性我市今年各区最后两题均属于一道以形为载体，研究数量关系、一道以数为平台，研究形的特征，这也和最近两年中考题最后两题吻合2习惯于思考试题编制方法与策略要结合想考察的内容，有针对性地选好起点题，这个起点题可以是课本上的例习题，也可以是往年的中考题只要题的基础好，有它的发展的空间，就可以将它进行拓展、引申 , 即变式或改编改编的方法很多，例如，改换或置换题设与结论，强化或弱化条件；改变或

10、转换考查目标与题型，纵向挖掘，横向发展，以及改换试题背景，改变命题的呈现形式（如开放、探索式），改换图形（如由等腰直角三角形改为等边三角形或直角三角形或一般等腰三角形）等同一起点题需要进行多方面、 多角度进行改编， 在控制难度的前提下， 达到试题需要所要发挥的功效譬如说（ 08 静安）就是以直角梯形作为载体, 结合相似形知识编制出 1、2 小题，也只有结合圆的知识形成探索，利用圆与圆的位置关系这一基础知识点渗透方程和分类讨论的数学思想，其次，（08 杨浦）题则以直线（一次函数）作为载体，结合相似形中的基本图形（母子三角形）或是运用三角比知识来确定点的坐标，最后一小题则是相似形知识渗透分类讨论和

11、方程思想来确定点的坐标其实这题还可以再添一条线，作其它变化例 3 如图， 已知 p与x轴相切于坐标原点 o ， 点 a(0 ,2)是p 与y轴的交点，点 b)0 ,22(, 连结 bp交p 于点 c,连结 ac并延长交x轴于点 d(1) 求线段 bc的长；(2) 求直线 ac的函数解析式；(3) 当点 b 在x轴上移动时， 是否存在点 b，使bop相似于 aod? 若存在， 求出符合条件点的坐标 ;若不存在，请说明理由该题还可以作出其它变化， 这里对它的开放性不一一列举 编制习题如改换dgbcaefa o b x yc yxpodcba精品学习资料 可选择p d f - - - - - - -

12、 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载题设, 拓展知识深度和广度 ; 改变图形，追求知识本质的理解 ; 改换题型，增强思维的灵活性和深刻性 ; 改换角度，理清知识之间相互联系 ; 改编情景，训练理解能力和建模能力等以下举例进行对比分析:例 4 （1） （06 松江）如图，已知在直角梯形abcd 中，abcd，c=90o，cd=9，bc=53，5atgp、q 分别是边 ab、cd 上的动

13、点（点 p 不与点a、点 b 重合） ，且有 bp=2cq（1）求 ab 的长；（2）设 cq=x,四边形 padq 的面积为 y ，求 y 关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3） 若以 c 为圆心、cq 为半径作 c， 以 p 为圆心、以 pa 的长为半径作 p 当c 与p 外切时，试判断四边形padq 是什么四边形，并说明理由分析：本题从载体到每个小题考察的内容都是和08 静安的最后一题的编制手法类似的（ 2 ） 如 图 ， 已 知 二 次 函 数cbxxy2)0(c的 图 象 经 过 点),2(ma)0(m，与 y轴交于点 b ， abx轴，且obab23（1）求m的值；（2）求

14、二次函数的解析式；（3）如果二次函数的图象与x轴交于 c、d 两点（点 c 在左恻） 问线段 bc 上是否存在点 p，使poc 为等腰三角形；如果存在，求出点p 的坐标；如果不存在，请说明理由分析：本题从载体到每个小题考察的内容都是和08 杨浦的最后一题的编制手法类似的压轴的点从06 年的等腰三角形的存在性变化为08 杨浦相似形的存在性，共性在于：分类讨论和方程思想的使用下面再以一道习题感悟习题的改编的策略例 6 【起点题】如图 1，cae是abc的外角， ad bc ，且 1=2，求证： ab=ac. 改编 1. 如图 1，cae 是abc的外角， ab=ac ，且1=2，求证： adbc.

15、 改编 2. 如图 2，cae 是abc的外角，ad bc ，且1=2，af为abc 的中线，求证： af ad. 改编 3. 如图 3，cae是abc的外角， ad bc ，且1=2，过 ac的中点 h作 ad的垂线交 ae于 g ，求证 :ag=21ab. 改编 4. 如图 4，cae是abc 的外角， ad bc ，且 1=2，过 c作 cg ad于g ，f为 bc的中点，连结 fg. （1）ac与 fg有何数量关系？并说明理由；（2）当 ac fg时，abc应为什么三角形？a q p d c b d y o abx c 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - -

16、 - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载改编 5. 已知：如图，在 abc 中，ab=ac，adbc，垂足为点 d，an 是abc 外角cam 的平分线，cean，垂足为点 e，（1）求证：四边形 adce 为矩形；（2）当abc 满足什么条件时，四边形adce 是一个正方形？并给出证明这类习题只属于常规的中档题. 就不在加以论述 . 其实，上述例题很常规，流行于外省市中考题的中档题，上海还没有

17、改编. 但是最后压轴题以几何为载体的不过是分为圆与三角形、特殊的四边形，如果是前者，最后一小题用等腰、直角、相似性存在性问题压轴；如果是后者，一般性最后一小题就是加入圆的内容，运用直线与圆相切（07 上海最后一题）、圆与圆的位置关系的讨论（ 08 上海最后一题）等 . 3.让试题成为教师的朋友一般性 , 试题的八个维度：看题，做题，选题，组题，讲题，编题，研题，评题. 从题上显功夫 . 与试题对话 . 教师先要做题，知道关键所在；将题目分类，同类题中将题目分层分类理顺；观察、比较、研究题目之间的内在联系；最后总结提炼出带规律性的东西来；这时精选题目，将题目分组, 回归应用；让学生经历自己相类似

18、的发现过程再对学生进行指导促进提高他们的数学素养. 譬如, 去年上海数学卷 24 题学生的失分很多 , 原因在于南汇的同行们类似的习题就讲解不多 , 学生们读不懂该题 , 感觉陌生 . 许多同学第 2 小题都作不出来，导致得分率不高 . 如图，在直角坐标平面内， 函数myx（0 x，m是常数）的图象经过(14)a ，()b ab，其中1a过点 a作x轴垂线，垂足为 c ，过点 b作 y 轴垂线，垂足为 d ，连结 ad ， dc ， cb（1）若abd的面积为 4，求点 b 的坐标；（2）求证： dcab；（3）当 adbc 时，求直线 ab 的函数解析式分析：于同时具有以形为载体，研究数量关系，以数为平台，研究形的特征图xcodbaya b c d m n e 图 5 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载略解： （1） （2） （3）方法 1:dcab，当 adbc 时，有两种情况：当adb