数值分析考试卷及详细答案解答

1、 姓名 班级 学号 一、选择题1.表示多少个机器数(C ).A 64 B 129 C 257 D 2562. 以下误差公式不正确的是( D) A B C D3. 设, 从算法设计原则上定性判断如下在数学上等价的表达式，哪一个在数值计算上将给出较好的近似值？(D )A B C D 4. 一个30阶线性方程组, 若用Crammer法则来求解, 则有多少次乘法? ( A )A 31×29×30! B 30×30×30! C 31×30×31! D 31×29×29!5. 用一把有毫米的刻度的米尺来测量桌子的长度, 读出的

2、长度1235mm, 桌子的精确长度记为（ D ） A 1235mm B 1235-0.5mm C 1235+0.5mm D 1235±0.5mm二、填空1.构造数值算法的基本思想是 近似替代、离散化、递推化 。2.十进制123.3转换成二进制为。3.二进制110010.1001转换成十进制为 50.5625 。4. 二进制转换成十进制为 。5.已知近似数有两位有效数字，则其相对误差限 5% 。6. ln2=0.69314718，精确到的近似值是 0.693 。7.，则，的有效数位分别为 5 和3 。8.设是由精确值经四舍五入得到的近似值，则的误差限 0.55×10-3 。9

3、设 ，取5位有效数字，则所得的近似值 2.3150 。10设有多项式函数，给出计算的计算量较小的一个算法 (2x+10)x-7)x+8 。三、计算1.指出下列经四舍五入得的有效数字位数，及其绝对误差限和相对误差限。2.000 4 0.002 00解： 因为x1=2.000 40.200 04×101， 它的绝对误差限0.000 05=0.5×10 15，即m=1，n=5，故x=2.000 4有5位有效数字. a1=2，相对误差限x2=0.002 00，绝对误差限0.000 005，因为m=2，n=3，x2=0.002 00有3位有效数字. a1=2，相对误差限er=0.00

4、2 52.对准确值和它的两个近似值为和分别计算它们的有效数位及绝对误差限，根据结果判断以下结论是否正确：对准确值的两个近似值，则有效数位大的则其绝对误差限就越小? 解答：，越大，通常绝对误差限越小，但绝对误差限也与有关 ，因此上述结论并不总是正确。如准确值 ，它的两个近似值为 和， 的绝对误差限均为，但有3位有效数字，而则有4位有效数字。3.如要求的近似值的相对误差小于，则至少要取几位有效数字？解： 从而，又，即要求，从而解出4.设，已知近似值的相对误差为，估计的绝对误差。解： 从而姓名 班级 学号 一、选择题1.通过点， ， 所作的插值多项式是( C )(A) 二次的 (B) 一次的 (C)

5、 不超过二次的 (D) 大于二次的3.通过四个互异节点的插值多项式P(x)，只要满足( C )， 则P(x)是不超过一次多项式。(A) 初始值y0=0 (B) 所有一阶差商为0 (C) 所有二阶差商为0 (D) 所有三阶差商为03.通过点,的Lagrange插值基函数满足（A，C） 4已知n对观察数据。这n个点的拟合直线，则是使（C）最小的解。 (A) (B)(C) (B)5.设是在区间上的a,b上的分段线性插值函数，以下条件中不是必须满足的条件是（C）（A）在a,b上连续，（B），（C）在a,b上可导，（D）在各子区间上是线性函数二、填空1.设一阶差商, 则二阶差商 11/6 2.设， ，则

6、 3 ，和 0 。3.设, 取5个不同节点作的拉格朗日插值多项式，则是_3_次多项式。 那么由这些数据构造的牛顿插值多项式的最高次幂的系数是 1 。5.区间a,b上的三次样条插值函数在a,b上具有直到_2 _阶的连续导数。三、计算与证明1.已知函数y=f(x) 的观察数据为xk2045yk5131试构造f(x)的拉格朗日多项式Pn (x)，并计算f(1)。解：先构造基函数 所求三次多项式为P3(x)= P3(1)xkf(xk)-2-56-1-160-21-2342.已知函数的数据如下表。计算它的各阶差商和的形式， -2 -56 -1 -16 40 0 -2 14 -13 1 -2 0 -7 2

7、 3 4 3 1 2 0解:先构造差商表如下：N3(x) = 56 + 40(x + 2) 13(x + 2)(x + 1) + 2(x + 2)(x + 1) x 3.设，试证： 证：由于的线性插值 （直线的点斜式）于是 （） 4.要给出等距节点函数表，如用线性插值计算y的近似值，使其截断误差限为，则函数表的步长应取多大？5给定数据表试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据.6已知，求的二次最佳平方逼近，其中取权为1，并求平方误差。解：由于勒让得多项式在-1，1上正交，所以设， 而得，所以其平方误差为=0.0524489姓名 班级 学号 一、选择题1.已知等距节点的插值型求积公式，那么（C）

8、A1 B. 2 C. 3 D. 42.已知求积公式，则k（D） A 1/6 B. 1/3 C. 1/2 D. 2/3 3.在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（B）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用A. B. C. D. 4.为使两点数值求积公式具有最高阶代数精度，则求积结点应为（D ） A任意 B. C. D. 5.三点的高斯求积公式的代数精度为( B ).A. 2 B.5 C. 3 D. 4二、填空1.已知n=3时，Cotes系数，那么 1/8 2.已知，则用抛物线（辛卜生）公式计算求得2.367，用三点式求得 1/4 .3.求积公式的代数精度以

9、( 高斯型 )求积公式为最高，具有( 2n+1 )次代数精度。 4.数值微分中，已知等距节点的函数值, 则由三点的求导公式，= 5. 运用梯形公式和Simpson,计算积分，其结果分别为0.5 和0.25三、解答与证明1.确定求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出所得公式的代数精度。解:令，假定求积公式均准确成立，从而有：解以上三元线性方程组从得：，代回求积公式有 令代入公式，有：左边=4,右边=。令代入公式，有：左边=，右边=,则，左右不等，因此代数精度为32如果用复化梯形公式计算定积分，要求截断误差不超过0.5×104，试问n至少取多少？解：复化的梯形公式的截断误差为，

10、n=40.8 ，取n³41。3对于，根据下表数据求的近似值，计算复合梯形公式时的，以及复合Simpson公式的值。001.000 000 050.6250.936 155 610.1250.997 397 860.750.908 851 620.250.989 615 870.8750.877 192 530.3750.976 726 7810.841 470 940.50.958 851 0解：，h h h （或利用）4建立高斯型求积公式解：令代入求积公式有下列线性方程组：解之得，所以，高斯型求积公式为5对于求积公式 （1）求待定参数使得该求积公式代数精度尽量高，并指明求积公式所具

11、有的代数精度； （2）用所求公式计算的值。 姓名 班级 学号 一、选择题1.当a（ D ）时, 线性方程组的迭代解一定收敛。A >=6 B =6 C <6 D >62.解方程组AX=b的简单迭代格式收敛的充要条件是（ A ）A (A)<1 B (B)<1 C (A)>1 D (B)>13.设，则( C ).A 不存在 B I C 0 D 0.54.对方程组AX=b的建立迭代格式求解，下列说法不正确的是（ A ）。A 若Jacobi迭代收敛，则Gauss-Seidel迭代一定收敛。B Gauss-Seidel迭代收敛，Jacobi迭代不一定收敛。C Ja

12、cobi迭代收敛，Gauss-Seidel迭代不一定收敛。D 若Jacobi迭代与Gauss-Seidel迭代都收敛，则Gauss-Seidel迭代收敛速度较快。5. 设有方程组AX=b，下列说法正确的是（ C ）。A 若A对称正定，则Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代都收敛。B 若A对称正定，则Gauss-Seidel迭代和超松弛迭代都收敛。C 若A严格对角占优，则Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代都收敛。D 超松弛迭代收敛的充要条件是超松弛因子。二、填空1.用高斯赛德尔迭代法解线性方程组的迭代格式中 。（）2.，则A的谱半径 。（） 3.设，则Jacobi法迭代矩阵

13、 。（）4.方程组AX=b中，则求解方程组的Jacobi迭代与Gauss-Seidel迭代均收敛的a的范围是_。（-0.5<a<0.5）5.取，用Gauss-Seidel迭代求解方程组，迭代一次所得结果为： 。（）三、计算与证明1讨论用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解方程组Ax=b的收敛性，如果收敛，比较哪种方法收敛快。其中.解 ， 即Jacobi迭代收敛 ，得 又< 迭代快。2已知方程组 （1） 证明高斯塞德尔法收敛；（2） 写出高斯塞德尔法迭代公式；（3） 取初始值，求出。解：（1）因为严格对角占优矩阵，所以高斯塞德尔迭代法收敛。 （2）高斯塞德尔法迭代公

14、式为： （3）取初值，计算得，3试证明以下方程Jacobi迭代收敛，而Seidel迭代不收敛。解：的等特征方程因此Jacobi迭代收敛收敛的等特征方程因此GS法不收敛。4.设线性代数方程组的系数矩阵为，证明：（1） 当时，用Gauss-Seidel迭代法及SOR（）法求解收敛（2） 时，用Jacobi迭代法求解收敛证明：（1）只要证对称正定即可，对称易知，-1/21 ,顺序主子式， ，故对称正定，由定理知GS及SOR法收敛.（2）时，为严格对角占优矩阵，由定理知Jacobi迭代法收敛，此时Gauss-Seidel迭代法也收敛。5.给定线性方程组，用迭代公式求解，间取什么实数可使迭代收敛？什么可

15、使迭代收敛最快？解：所给迭代公式的迭代矩阵为其特征方程为即从而（通过做图可看出）当且仅当所以取迭代收敛，当时，达到最小值，此时收敛最快。 姓名 班级 学号 一、填空1.，则A的LDLT分解中， 2. 已知 A=，则= 4 ；= 4 ；= 4 ；。 3设,则, ,.（，）4解线性方程组的主元素消元法中，选择主元的目的是 。（减少舍入误差）5求解线性方程组Ax=b的LLT分解法中，A须满足的条件是 。（各阶顺序主子式均大于零）6.设n×n矩阵G的特征值是1,2,.n, 则矩阵G的谱半径) (G )=_ _. 二、解答1.试举例证明：非奇异矩阵不一定都有分解。解：令，显然非奇异，若有分解，

16、则有：比较等式两边元素得，显然矛盾，故非奇异阵不能进行LU分解。2.用顺序消去法解线性方程组解：顺序消元 于是有同解方程组：回代得解： x3=1， x2=1，x1=1。原线性方程组的解为X(1，1，1)T。3.用列主元消去法解线性方程组解：即4.已知方程组 .(1)     证明系数矩阵正定；(2)     用平方根法 (LLT分解)解此方程组。解：(1)>0 >0 >0 （2） 由LL分解得 由 得 再由得 5用追赶法求解方程组解：由Ly=f解出y又由Ux=y解出x 姓名 班级 学号 一、填空题

17、1 用二分法求方程在区间0,1内的根,进行一步后根的所在区间为 , 进行两步后根的所在区间为 。（0.5,1， 0.5,0.75）2 求方程根的牛顿迭代格式是。3 要使迭代式局部收敛到，则的取值范围是 。（）4 二分法求非线性方程在区间(1,3)内的根时，二分9次后的误差限为 2-9 。5 迭代法收收敛于，此迭代式是 二 阶收敛。6 求方程的近似根，用迭代公式，取初始值，那么 .（1.5）7 如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分 10 次。8 方程的一个有根区间为 ，可构造出它的一个收敛的迭代格式为 。 （0，1），）9 解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法具有 收敛。（局部平

18、方收敛）10 迭代过程（k=1,2,）收敛的充要条件是 。（）二、 计算与证明1为求方程在区间内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，判断各迭代公式的收敛性，给出理由。(1) （2）(3) 解：在(1)中，故迭代不收敛。(2)中，故迭代收敛。(3)中，故迭代收敛。2设（1） 写出解 的Newton迭代格式（2） 证明此迭代格式是线性收敛的 证明：（1）因，故 ，由Newton迭代公式： 得， （2）因迭代函数，而。又，而，故此迭代格式是线性收敛的。 3 设方程的迭代法 (1) 证明对,均有,其中为方程的根.(2) 取=4,求此迭代法的近似根，使误差不超过,并列出各次迭代值.(3) 此迭代法收敛阶是多少?证明你的结论.解：（1）迭代函数