2022年《数列的概念与简单表示法》导学案

1、2.1数列的概念与简单表示法导学案【学习目标】1. 理解数列的概念；2. 掌握数列简单的几种表示方法；3. 了解数列是一种特殊的函数. 【学习新课】1.战国时代哲学家庄周著的庄子 天下篇引用过一句话：一尺之棰日取其半万世不竭 . 2. 某地 9 月 1 日至 9月 8 日的日最高气温3.我国在 1988 年汉城以后奥运会上的金牌数：4. 1的 1 次幂， 2 次幂， 3 次幂， 排列成一列数. 新授课阶段从上面的三个例子我们得到了如下四列数：1. 2. 23, 21, 18, 20, 20, 22, 21, 19 11111 24816， 精品学习资料 可选择p d f - - - - - -

2、 - - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - -3. 5, 16, 16, 28, 32, 51,38 4. 1,1, 1,1, 1,请观察以上四组数据，找到它们的共同特征？答案：. 1数列的概念：按照一定排列着的一列数叫做数列，其中构成该组数的每一个数叫做，数列中的每一个数，我们以后把其称为数列的项，各项依次叫做数列的第1 项（或首项） ，第 2 项， ，第 n 项， .那么，数列一般可表示为a1，a2，

3、a3，an， . 其中数列的第n项用 an来表示 .数列还可简记作an.数列 an的第 n 项 an与项数 n 有一定的关系吗？2.数列的通项公式如果数列 an的第 n 项 an与 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的. 数列与数的集合都是具有某种共同属性的数的全体. an与 an又有何区别和联系？an表示数列； an表示数列的项.具体地说， an表示数列 a1，a2，a3，a4，an，而 an只表示这个数列的第n 项.其中 n 表示项的位置序号，如：a1，a2，a3，an分别表示数列的第 1 项，第 2 项，第 3 项及第 n 项. 数列是否都有通项公式？数列的通

4、项公式是否是惟一的？从映射、 函数的观点来看，数列也可看作是一个定义域为正整数集n*(或它们的有限子集1 ，2，3，n）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式. 例 1 数列 0， 2，0， 2， 0，2， 的一个通项公式为（）a.an1 (1)n1 b.an1( 1)nc.an1(1)n+1d.an2sinn2解析：3.递推公式递推公式： 如果已知数列 an的第 1 项(或前 n 项 )，且任一项an与它的前一项an1(或前n 项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的.精品学习资料 可选择p d f - - - - - -

5、 - - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - -说明：数列的递推公式揭示了数列的任一项an与它的前一项an1（或前 n 项）的关系，也是给出数列的一种重要方法. 下面，我们结合例子来体会一下数列的递推公式. 例 2 已知数列 an 的第 1 项是 1，以后的各项由公式an11an1给出，写出这个数列的前 5 项. 分析：解：例 3 已知数列 an中， a11，a22，an3an1 an2(n 3) ，试写出

6、数列的前4 项. 解：例 4 写出下面数列 an 的前 5 项. a15，anan13(n2)a12，an2an1(n 2).a11，anan11an1(n 2)解：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - -课堂小结这节课我们主要学习了数列的另一种给出方法，即递推公式及其用法，课后注意理解.另外，还要注意它与通项公式的区别在于：1. 2. 作业课后

7、作业课本 p32习题4， 5，6 拓展提升1把自然数的前五个数排成1，2，3，4，5；排成 5，4，3，2，1；排成3，1，4，2，5；排成2，3， 1，4，5，那么可以叫做数列的有个a.1 b.2 c.3 d.4 2已知数列的an的前四项分别为1，0，1， 0，则下列各式可作为数列an的通项公式的个数有（）an121（ 1）n+1；ansin2n2；(注 n 为奇数时， sin2n21；n 为偶数时， sin2n20.)；an121(1)n+1(n1)(n2)；an1cosn2，(nn*)( 注： n 为奇数时， cosn 1，n 为偶数时， cosn 1)；an1 （n为正偶数）0 （n为

8、正奇数）a.1 个b.2 个c.3 个d.4 个3数列 1，85，157，249，的一个通项公式an是（）a.(1)nn22n1b.(1)nn（n2）n1c.(1)n（n1）2 12（n1）d.(1)nn（n2）2n14数列 0，2，0，2，0，2， 的一个通项公式为（）a.an1 (1)n1 b.an1( 1)n精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - -

9、 - -c.an1(1)n+1d.an2sinn25以下四个数中是数列n(n1) 中的一项的是（）a.17 b.32 c.39 d.380 6数列 2，5，11，20，x，47， 中的 x 等于（）a.28 b.32 c.33 d.27 7数列 1，2，1，2，1，2 的一个通项公式是. 8求数列25，215，235， 的通项公式 . 9根据下列各数列的首项和递推公式，分别写出它的前五项，并归纳出通项公式：（1）a10，an+1an(2n1)(nn*) ；(2)a11，an+12anan2(nn*) 10若 a12，a24，anlog2(an1 an2)(n 3) ，写出 an 的前 4 项.

10、 11若 a13，anan12an1(n 2) ，bn1an，写出 bn的前 3 项. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - -参考答案新授课阶段都是一列数，都是按照一定顺序. 1数列的概念：顺序；数列的项，2.数列的通项公式通项公式 . 例 1解析： 根据数列的特征，可以得到该数列的一个通项公式为1( 1)nna. 答案 ：b 3.递推公式递推

11、公式例 2 分析：题中已给出an 的第 1 项即 a11，递推公式： an 11an1解：据题意可知：a1 1，a211a12， a3 11a232，a411a353，a585. 例 3解：由已知得a1 1，a22，a33a2a17，a43a3 a2 23 例 4 解：解法一： a15；a2a138；a3a2311；a4 a3314；a5a4317. 解法二：由anan1 3(n2) ，得 anan13 则 a2a13，a3a23， a4a33， a5a43， ，an1an23，anan13 将上述 n1 个式子左右两边分别相加，便可得ana13(n1)，即 an 3n2(n2)又由 a15

12、满足上式，an3n2(n1) 为此数列的通项公式. 解法一：由a12 与 an 2an1(n 2)精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - -得： a12，a2 2a14，a32a28，a4 2a316，a5 2a432. 解法二：由an2an1(n 2) ，得anan12(n 2) ，且 a12 则：a2a12，a3a22，a4a32，an1an2

13、2，anan12 若将上述n1 个式子左右两边分别相乘，便可得ana12n1即： an2n(n 2) ，又由 a12 满足上式an2n(n 1) 为此数列的通项公式. a222 4，a3 23 8，a424 16，a52532. 解：由 a11， anan11an1(n 2),得 a11， a2a11a12, a3a21a252, a4a31a352252910, a5a41a429101029941290课堂小结这节课我们主要学习了数列的另一种给出方法，即递推公式及其用法，课后注意理解.另外，还要注意它与通项公式的区别在于：1.通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(

14、或 n 项)之间的关系. 2.对于通项公式，只要将公式中的n 依次取 1，2，3即可得到相应的项.而递推公式则要已知首项 (或前 n 项)，才可依次求出其他的项. 拓展提升1d【解析】数列的定义中所说的“ 一定次序 ” 不是要求按自然数次序，所以这四种排法都可叫做数列. 2c【解析】对于，将n3 代入， a3 31 ，故不是 an的通项公式；由三角公式知；和实质上是一样的，不难验证，它们是已知数列1，0，1，0 的通项公式；对于，易看出，它不是数列 an的通项公式；显然是数列 an的通项公式 .综上可知，数列 an的通项公式有三个，即有三种表示形式. 3d 精品学习资料 可选择p d f -

15、- - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - -4b 5d 6b【解析】 523 1，1153 2，20113 3， x203 432.【点评】用观察归纳法写出数列的一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律、观察、 分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，要能观察出特点，观察出项与项数之间的关系、规律，这类问题就是要观察各项与项数之间的联系，利用我们熟知的一些基本数列（如自然数列、 奇偶

16、数列、自然数的前n 项和数列、自然数的平方数列、简单的指数数列，） ，建立合理的联想、转换而达到问题的解决. 7an1121（ 1）n. 8分析：可通过观察、分析直接写出其通项公式，也可利用待定系数法求通项公式.解：通过观察与分析，不难写出其三个分数中分母5，15，35， 的一个通项公式10 2n1 5.故所求数列的通项公式为：an210 2n1 5. 9解：（1） a10；a2 a111；a3a234；a4a35 9；a5a4 716； a102；a212；a3 22；a4 32；a542.可归纳出an(n1)2.(2)a11，a22a1a1223，a32a2a2 212，a42a3a3225，a52a4a4 213，a1122；a223；a31224；a425；a51326；由此可见：an2n1.【评述】适当配凑是本题进行归纳的前提，从整体上把握一件事情是现代数学的重要手段，加强类比是探索某些规律的常用方法之一. 10 解： a12，a2 4，anlog2(an1 an2)(n 3)a3log2(a2 a1)log2(2 4)3，a4log2(a3 a2)log212