条件泊松过程

1、主讲人：李超一 统计1102班条件泊松过程泊松过程定义3.1.2 计数过程 称为参数为 的Poisson过程，如果： ( ),0N t t () ()( )n,(0,1,2!nttP N tsN senn，）(0) 0 =0N （ ） ；（2）过程有独立增量（3）在任一长度为 的区间中事件发生的次数服从均值为 的Poisson分布，即对一切 ，有tt0,0st（1）回顾：（泊松过程定义）条件泊松过程在风险理论中常用条件Poisson过程作为意外事件出现的模型，但由于意外事件发生的频率无法预知，只能用随机变量来表示，但一段时间之后频率确定下来，这个Poisson过程就有了确定的参数。因此，Poi

2、sson过程描述的是一个有着“风险”参数为 的个体发生的某一件事情的频率 这时，可以将该率分布式解释为给定 时, 的条件分布为 ,即()()( )n!nttPN tsN sen|()( )()( )n |!ntNtPtN tsN sen |( )NPt( )N t条件泊松过程定义3.3.4（P52）设随机变量 0,在 = 的条件下,计数过程 是参数为 的Poisson过程，则称 为条件Poisson过程设 的分布为 ，那么随机选择一个个体在长度为 的时间区间发生n次事件的概率为：Gt0() ()( )( )!nttP N tsN snedGn( ),0N t t ( ),0N t t ( ),

3、0N t t 注： 不是一个Poisson过程，虽然它具有平稳增量，但不具有独立增量定理3.3.3设 是条件Poisson过程，且 则：（1）（2 2） ( ),0N t t 2E ( ) E N ttE2( ) Var N tt VartE 补充：条件期望及其性质定理3.3.3 证明（2 2）22( )( )( ( )Var N tE NtE N t22 ( )|( )E E NttE222= ()( )EtttE 2 t VartE 证明：（1）( ) ( )|E N tE E N t=( )| E N tP E ttE 离散型随机变量条件期望如果X与Y是离散型变量，对一切使得 的y,给定

4、Y=y时，X的条件概率定义为 =y0P Y,=x |P Xx YyP XYyP YyX的条件分布函数定义为：X的条件期望定义为：( | )|F x yP Xx Yy|( | )|xE X YyxdF x yxP Xx Yy离散型随机变量条件期望的性质以随机变量EX|Y表示随机变量Y的函数，它在Y=y时，取值为EX|Y=y。条件期望一条重要的性质为是对一切变量X和Y，当期望存在时，有： |( )YE XE E X YE X Yy dFy当Y为一个离散型随机变量时，则可化为：| yE XE X Yy P Yy例 3.3.7设意外事故发生频率受某种未知因素的影响有两种可 能 且 为已知。已知到时刻t

5、已发生了n次事故。求下一次事故在 之前不会到来的概率。另外，这个发生的频率为 的概率是多少？12，12=,=)1,01Pp Ppqp（）（ts1解：( ,)|( )P t tsN tn内无事故2121( ),()( )0,( ),iiiiP N tn N tsN tP N tn 例 3.3.7 解答2121 ( ),()( )0| ( )|iiiiiiPP N tn N tsN tPP N tn 2121 ()| ( )|iiiiiiPP N tsnPP N tn 11221122 ()| ()| ( )| ( )|PP N tsnPP N tsnPP N tnPP N tn 例 3.3.7 解答1212()()1212()(1)()()(1)()s ts tnnttnnptepteptepte1212()()1212s ts tnnttnnpeqepeqe发生频率为的概率是：11,( )|( )( )P