随机变量的数学期望与方差

1、第 9 讲 随机变量的数学期望与方差教学目的 ：1. 把握随机变量的数学期望及方差的定义；2. 娴熟能运算随机变量的数学期望与方差；教学重点：1随机变量的数学期望2随机变量函数的数学期望3数学期望的性质4方差的定义5方差的性质教学难点： 数学期望与方差的统计意义；教学学时： 2 学时；教学过程：第三章随机变量的数字特点§ 3.1数学期望在前面的课程中，我们争论了随机变量及其分布，假如知道了随机变量x 的概率分布，那么x 的全部概率特点也就知道了；然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的，而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特点就够了；因

2、此，在对随机变量的争论中，确定其某些数字特点是重要的，而在这些数字特点中，最常用的是随机变量的数学期望和方差；1离散随机变量的数学期望我们来看一个问题：某车间对工人的生产情形进行考察；车工小张每天生产的废品数x 是一个随机变量，如何定义 x 取值的平均值呢？如统计 100 天， 32 天没有出废品， 30 天每天出一件废品， 17 天每天出两件废品，21 天每天出三件废品；这样可以得到这 100 天中每天的平均废品数为0321001301002171003211001.27这个数能作为 x 取值的平均值吗？1可以想象，如另外统计100 天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的

3、100 天一般不会完全相同，这另外100 天每天的平均废品数也不肯定是1.27 ；对于一个随机变量x，如它全部可能取的值是x1 , x2 ,， 相应的概率为p1 , p2 ,，就对 x 作一系列观看 试验 所得 x 的试验值的平均值是随机的；但是，假如试验次数很大，显现xk 的频率会接近于pk ，于是试验值的平均值应接近xk pkk 1由此引入离散随机变量数学期望的定义；定义 1 设 x 是离散随机变量，它的概率函数是p xk p xx k pk ,k1, 2,假如| xkk 1| p k 收敛，定义 x 的数学期望为e x xk pkk 1也就是说 , 离散随机变量的数学期望是一个确定收敛的

4、级数的和；例 1某人的一串钥匙上有n 把钥匙， 其中只有一把能打开自己的家门，他随便地试用这串钥匙中的某一把去开门；如每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数的数学期望；解设试开次数为 x，就p xk n ， k1, 2, n1于是e x n1kk 1n11nnnn1222. 连续随机变量的数学期望为了引入连续随机变量数学期望的定义，我们设x 是连续随机变量，其密度函数为 f x，把区间 , 分成如干个长度特别小的小区间，考虑随机变量 x 落在任意小区间x , xdx 内的概率，就有2p xxxdx =x dx xf t dxf xdx由于区间x , xdx 的长度特别小，随机变量x 在 x

5、 , xdx 内的全部取值都可近似为x ，而取值的概率可近似为f xdx ；参照离散随机变量数学期望的定义，我们可以引入连续随机变量数学期望的定义；定义 2 设 x 是连续随机变量，其密度函数为f x ；假如| x | f xdx收敛，定义连续随机变量x 的数学期望为e x x f x dx也就是说 , 连续随机变量的数学期望是一个确定收敛的积分；由连续随机变量数学期望的定义不难运算：如 x u a, b ，即 x 听从 a , b 上的匀称分布 , 就如 x 听从参数为的泊松分布，就abe x 2e x 如 x 听从 n ,2 ,就e x 3. 随机变量函数的数学期望设已知随机变量x 的分布

6、，我们需要运算的不是随机变量x 的数学期望，而是x的某个函数的数学期望，比如说g x 的数学期望，应当如何运算呢？这就是随机变量函数的数学期望运算问题；一种方法是，由于g x 也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的x 的分布求出来；一旦我们知道了g x 的分布，就可以依据数学期望的定义把e g x 运算出来，使用这种方法必需先求出随机变量函数g x 的分布，一般是比较复杂的；3那么是否可以不先求g x 的分布，而只依据 x 的分布求得e g x 呢？答案是确定的，其基本公式如下：设 x 是一个随机变量， yg x ，就e ye g x g xk pk ,k 1x离散g xf xdx

7、 ,x连续当 x 是离散时 ,x 的概率函数为p xk p xx k pk , k1, 2,；当 x 是连续时， x 的密度函数为f x ；该公式的重要性在于，当我们求e g x 时, 不必知道 g x 的分布，而只需知道x的分布就可以了，这给求随机变量函数的数学期望带来很大便利；4. 数学期望的性质（1）设 c是常数，就 ec= c ；（2）如 k 是常数，就 e kx= ke x ；（3） ex 1x 2 ex 1 ex2 ；推广到 n 个随机变量有nex i i 1ne x i ；i 1（4）设 x、y 相互独立，就有e xy= e x e y ；推广到 n 个随机变量有nex i i

8、1ne x i i 15. 数学期望性质的应用例 2求二项分布的数学期望；解如x bn, p，就 x 表示 n 重贝努里试验中的“胜利”次数， 现在我们来求 x 的数学期望；如设1如第i 次试验胜利ix0如第i 次试验失败i =1,2 ， n4就 xx 1x 2x n ， 由于p x i1p ， p x i01pq所以 e x i 0q1pp ，就e x nex i i 1ne x i npi 1可见，听从参数为n 和 p 的二项分布的随机变量x 的数学期望是np ；需要指出，不是全部的随机变量都存在数学期望；例 3设随机变量 x 听从柯西分布 , 概率密度为f x1 x 21 ,x求数学期望

9、 e x ；解依数学期望的运算公式有e x 12x dxx1由于广义积分xx 2 1dx 不收敛，所以数学期望e x 不存在；§ 3.2方差前面我们介绍了随机变量的数学期望，它表达了随机变量取值的平均水平，是随机变量一个重要的数字特点；但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的平均值是不够的，仍需要知道随机变量取值在其平均值邻近的离散程度，这就是我们要学习的方差的概念；1. 方差的定义定义 3设随机变量 x 的数学期望e x 存在，如e xe x 2 存在，就称e xe x 2 3.1为随机变量 x 的方差，记作d x ，即d x e xe x 2 ；方差的算术平方根d x 称为随机变

10、量 x 的标准差，记作 x ，即 x d x 由于 x 与 x 具有相同的度量单位，故在实际问题中常常使用；5方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度，如x 的取值相对于其数学期望比较集中，就其方差较小；如x 的取值相对于其数学期望比较分散，就方差较大；如方差d x =0，就随机变量 x 以概率 1 取常数值；由定义 1 知，方差是随机变量x的函数g x xe x 2的数学期望，故d x xkk 1e x 2pk ,当x 离散时 xke x 2f xdx ,当x连续时当 x 离散时 ,x 的概率函数为p xk p xx k pk , k1, 2,；当 x 连续时， x 的密度函数为f

11、x ；运算方差的一个简洁公式：d x 证e x 2 e x 2d x e x e x 2e x 2 2 xe x e x 2 e x 2 e x 2请用此公式运算常见分布的方差；例 4 设随机变量 x 听从几何分布，概率函数为pkp1p k1 ,k=1,2, n其中 0<p<1，求d x ；解记 q =1- pe x kpq k 1k 1pq k 'k 1pq k 'k 1pq'11qpe x 2 k 2 pq k 1k 1pk kk 11q k 1kq k 1 k 1qpkqk 1+e xqpq1qp212q11qp1q3pp 2p6d x e x 2 e

12、 x 22p2p11p22pp2. 方差的性质（1）设 c是常数 , 就 d c=0 ；（2）如 c是常数 , 就 d cx （3）如 x 与y独立，就c 2 d x ；d xy d x d y ；证 由数学期望的性质及求方差的公式得d xy e xy 2 e xy 2e x 2y 22xy e xey 2e x 2 ey 2 2e x ey e x 2 ey 2e x 2 d x 2e x ey e x 2d yey 2 ey 2可推广为：如x 1 ,x 2 ，x n 相互独立，就ndx i i 1nd x i i 1ndc i x i i 1niic 2 d x i 1（ 4） d x=0p x= c=1 ， 这里 c =e x ；请同学们摸索当x 与y 不相互独立时， d xy .下面我们用例题说明方差性质的应用；例 5二项分布的方差；解 设 x bn, p,就 x 表示 n 重贝努里试验中的“胜利”次数；如设1如第i 次试验胜利ix0如第i 次试验失败i =1,2 ， nn就 xx ii 1是 n 次试验中“胜利”的次数，e x i 0q1pp ，故7d x i e x i e x i pp 2p1p ， i1,2, l, n由于 x 1 , x 2